В абстрактной алгебре , в магма , БИНАР [1] или, реже, группоидом является основным видом алгебраической структуры . В частности, магма состоит из набора, оснащенного одной бинарной операцией, которая должна быть закрыта по определению. Никаких других свойств не налагается.
История и терминология
Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом при описании своего группоида Брандта (в переводе с немецкого Gruppoid ). Затем этот термин был присвоен Б. А. Хаусманном и Ойстейном Оре (1937) [2] в смысле (множества с бинарной операцией), используемом в этой статье. В нескольких обзорах последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласился с такой перегруженностью терминологией. Группоид Брандта является группоидом в том смысле, который используется в теории категорий, но не в смысле, используемом Хаусманном и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, включая Клиффорда и Престона (1961) и Хоуи (1995), используют группоид в том смысле Хаусманна и Оре. Холлингса (2014) пишут, что термин группоид «возможно, наиболее часто используется в современной математике» в том смысле, который ему дан в теории категорий. [3]
Согласно Бергману и Хаускнехту (1996): «Не существует общепринятого слова для обозначения множества с необязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово группоид используется многими универсальными алгебраистами, но специалисты в теории категорий и смежных областях категорически возражают против этого использования. потому что они используют одно и то же слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Термин « магма» использовал Серр [Алгебры Ли и группы Ли, 1965] ». [4] Он также появляется в Бурбаки «s ЭЛЕМЕНТОВ де Mathematique , Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970. [5]
Определение
Магма - это набор M , которому соответствует операция •, которая отправляет любые два элемента a , b ∈ M другому элементу a • b . Символ • является общим заполнителем для правильно определенной операции. Чтобы считаться магмой, набор и операция ( M , •) должны удовлетворять следующему требованию (известному как аксиома магмы или замыкания ):
- Для всех а , Ь в М , результат операции с • Ь также находится в М .
И в математической записи:
- .
Если • вместо этого является частичной операцией , то ( M , •) называется частичной магмой [6] или чаще частичным группоидом . [6] [7]
Морфизм магм
Морфизм магм является функция, F : М → Н , отображение магмы М в магматической N , который сохраняет бинарную операцию:
- f ( x • M y ) = f ( x ) • N f ( y )
где • M и • N обозначают двоичную операцию над M и N соответственно.
Обозначения и комбинаторика
Операция с магмой может применяться многократно, и в общем, неассоциативном случае имеет значение порядок, который указан в скобках. Кроме того, операция • часто опускается и обозначается противопоставлением:
- ( a • ( b • c )) • d = ( a ( bc )) d
Сокращение часто используется для уменьшения количества скобок, в которых самые внутренние операции и пары скобок опускаются, заменяются просто сопоставлением, xy • z = ( x • y ) • z . Например, приведенное выше сокращено до следующего выражения, все еще содержащего круглые скобки:
- ( a • bc ) d .
Способом полностью избежать использования круглых скобок является префиксная запись , в которой одно и то же выражение будет записано •• a • bcd . Другой способ, знакомый программистам, - это постфиксная нотация ( обратная польская нотация ), в которой одно и то же выражение будет записано abc •• d • , в котором порядок выполнения просто слева направо (без каррирования ).
Набор всевозможных цепочек, состоящий из символов, обозначающих элементы магмы, и наборов сбалансированных скобок называется языком Дайка . Общее количество различных способов написания п применений оператора магмы определяется числом каталонского , C н . Таким образом, например, C 2 = 2 , что является просто утверждением, что ( ab ) c и a ( bc ) - единственные два способа соединения трех элементов магмы с двумя операциями. Менее тривиально C 3 = 5 : (( ab ) c ) d , ( a ( bc )) d , ( ab ) ( cd ) , a (( bc ) d ) и a ( b ( cd )) .
Существует n n 2 магм с n элементами, поэтому есть 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (последовательность A002489 в OEIS ) магмы с 0, 1, 2, 3, 4, ... элементами. Соответствующее количество неизоморфных магм составляет 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (последовательность A001329 в OEIS ), а количество одновременно неизоморфных и неантиизоморфных магм составляет 1, 1, 7, 1734. , 89521056, ... (последовательность A001424 в OEIS ). [8]
Свободная магма
Бесплатно магма , M X на множестве, X , является «наиболее общей возможной» магмой , порожденной X (то есть, не существуют никаких отношений или аксиом , налагаемые на генераторах, см свободного объекта ). Бинарная операция над M X формируется путем заключения каждого из двух операндов в круглые скобки и их сопоставления в одном и том же порядке. Например:
- a • b = ( a ) ( b )
- a • ( a • b ) = ( a ) (( a ) ( b ))
- ( a • a ) • b = (( a ) ( a )) ( b )
M X можно описать как набор неассоциативных слов на X с сохранением круглых скобок. [9]
Это также можно рассматривать в терминах , знакомых в информатике , как магма бинарных деревьев с листьями , помеченных элементами X . Операция заключается в соединении деревьев в корне. Следовательно, он играет основополагающую роль в синтаксисе .
Свободная магма обладает универсальным свойством : если f : X → N является функцией от X до любой магмы, N , то существует уникальное расширение f до морфизма магм, f ′
- е ': М Х → Н .
Типы магмы
Магмы не часто изучаются как таковые; вместо этого существует несколько различных видов магмы, в зависимости от того, каким аксиомам должна удовлетворять операция. Обычно изучаемые типы магмы включают:
- Квазигруппа
- Магма, где всегда возможно разделение
- Петля
- Квазигруппа с элементом идентичности
- Полугруппа
- Магма, где операция ассоциативна
- Обратная полугруппа
- Полугруппа с инверсией.
- Полурешетка
- Полугруппа, в которой операция коммутативна и идемпотентна
- Моноид
- Полугруппа с элементом идентичности
- Группа
- Моноид с инверсными элементами , или, что то же самое, ассоциативная петля или непустая ассоциативная квазигруппа
- Абелева группа
- Группа, в которой операция коммутативна
Обратите внимание, что каждое из делимости и обратимости подразумевает свойство отмены .
Классификация по свойствам
Групповые структуры | |||||
---|---|---|---|---|---|
Целостность α | Ассоциативность | Личность | Обратимость | Коммутативность | |
Полугрупоидный | Ненужный | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Малая категория | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Группоид | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Магма | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Квазигруппа | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Обязательный | Ненужный |
Единая Магма | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Петля | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Полугруппа | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Обратная полугруппа | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Ненужный |
Моноид | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Коммутативный моноид | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Обязательный |
Группа | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Абелева группа | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный |
^ α Замыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной тотальности, хотя и определяется по-другому. |
Магма ( S , •) с x , y , u , z ∈ S называется
- Медиальный
- Если он удовлетворяет тождеству, xy • uz ≡ xu • yz
- Левый полусредний
- Если он удовлетворяет тождеству, xx • yz ≡ xy • xz
- Правый полусредний
- Если он удовлетворяет тождеству, yz • xx ≡ yx • zx
- Полумедиальный
- Если это и левый, и правый полумедиальный
- Левый распределительный
- Если он удовлетворяет тождеству, x • yz ≡ xy • xz
- Правый дистрибутив
- Если он удовлетворяет тождеству, yz • x ≡ yx • zx
- Автораспределение
- Если и левый, и правый распределительный
- Коммутативный
- Если он удовлетворяет тождеству, xy ≡ yx
- Идемпотент
- Если он удовлетворяет тождеству, xx ≡ x
- Унипотентный
- Если он удовлетворяет тождеству, xx ≡ yy
- Нулевой потенциал
- Если он удовлетворяет тождествам, xx • y ≡ xx ≡ y • xx [10]
- Альтернатива
- Если он удовлетворяет тождествам xx • y ≡ x • xy и x • yy ≡ xy • y
- Властно-ассоциативный
- Если подмагма, порожденная каким-либо элементом, ассоциативна
- Гибкий
- если xy • x ≡ x • yx
- Полугруппа , или ассоциативный
- Если он удовлетворяет тождеству, x • yz ≡ xy • z
- Левый унар
- Если он удовлетворяет тождеству, xy ≡ xz
- Правильный унар
- Если он удовлетворяет тождеству, yx ≡ zx
- Полугруппа с нулевым умножением или нулевая полугруппа
- Если он удовлетворяет тождеству, xy ≡ uv
- Unital
- Если в нем есть элемент идентичности
- Лево- сокращения
- Если для всех х , у , и, г , х = хг влечет у = г
- Право-отменяющий
- Если для всех х , у , и, г , уй = ге означают у = г
- Отменяющий
- Если это одновременно правая отменяющая и левая отменяющая
- Полугруппа с левыми нулями
- Если это полугруппа и для всех х , тождества, х ≡ х , имеет место
- Полугруппа правых нулей
- Если это полугруппа и для всех х , тождество, х ≡ уг , имеет место
- Тримедиал
- Если любая тройка (не обязательно различных) элементов порождает медиальную подмагму
- Энтропийный
- Если это гомоморфное медиальной отмена магмы. [11]
Категория магм
Категория магм, обозначаемая Mag , - это категория , объектами которой являются магмы, а морфизмы - гомоморфизмами магм . Категория Mag имеет прямые продукты , и есть функтор включения : Set → Med ↪ Mag как тривиальные магмы с операциями, заданными проекцией : x T y = y .
Важным свойством является то, что инъективный эндоморфизм может быть расширен до автоморфизма расширения магмы , просто копредела ( постоянной последовательности) эндоморфизма .
Поскольку одноточечный ({*}, *) является нулевым объектом из Mag , и потому , что Mag является алгебраическим , Mag заострен и полный . [12]
Обобщения
См. N -арную группу .
Смотрите также
- Категория магмы
- Объект авто магмы
- Универсальная алгебра
- Система компьютерной алгебры Magma , названная в честь объекта данной статьи.
- Коммутативные неассоциативные магмы
- Алгебраические структуры, аксиомы которых являются тождествами
- Группоидная алгебра
- Набор для прихожей
Рекомендации
- ^ Бергман, Клиффорд, Универсальная алгебра: основы и избранные темы
- ^ Hausmann, BA; Руда, Øystein (октябрь 1937), "Теория квази-групп", Американский журнал математики , 59 (4): 983-1004, DOI : 10,2307 / 2371362 , JSTOR 2371362
- ^ Холлингс, Кристофер (2014), Математика через железный занавес: история алгебраической теории полугрупп , Американское математическое общество, стр. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1
- ^ Бергман, Джордж М .; Хаускнехт, Адам О. (1996), Когруппы и ко-кольца в категориях ассоциативных колец , Американское математическое общество, с. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7
- ^ Бурбаки, Н. (1998) [1970], "Алгебраические структуры: §1.1 Законы композиции: определение 1" , Алгебра I: главы 1–3 , Springer, с. 1, ISBN 978-3-540-64243-5
- ^ а б Мюллер-Хойссен, Фолкерт; Палло, Жан Марсель; Сташеф, Джим, ред. (2012), Associahedra , Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift , Springer, p. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9
- ^ Евсеев, AE (1988), "Обзор частичных группоидов", в Silver, Ben (ed.), Девятнадцать статей по алгебраическим полугруппам , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3115-1
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Группоид» . MathWorld .
- ^ Роуэн, Луи Галле (2008), «Определение 21B.1». , Аспирантура по алгебре: некоммутативный взгляд , Аспирантура по математике , Американское математическое общество , с. 321, ISBN 0-8218-8408-5
- ^ Кепка, Т .; Němec, P. (1996), "Простые сбалансированные группоиды" (PDF) , Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica , 35 (1): 53–60
- ^ Ежек, Ярослав; Кепка, Томаш (1981), "Свободные энтропийные группоиды" (PDF) , Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae , 22 (2): 223–233, MR 0620359.
- ^ Борсё, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Springer. С. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0.
- М. Хазевинкель (2001) [1994], «Магма» , Энциклопедия математики , EMS Press
- М. Хазевинкель (2001) [1994], "Группоид" , Энциклопедия математики , EMS Press
- М. Хазевинкель (2001) [1994], «Свободная магма» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вайсштейн, Эрик В. «Группоид» . MathWorld .
дальнейшее чтение
- Брук, Ричард Хуберт (1971), Обзор двойных систем (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3