Предельная стабильность

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Предельная стабильность»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В теории динамических систем и теории управления , линейная стационарная система является предельно стабильной , если она не является ни асимптотический устойчивой , ни неустойчивой . Грубо говоря, система является стабильной, если она всегда возвращается и остается в определенном состоянии (называемом устойчивым состоянием ), и нестабильна, если она уходит все дальше и дальше от любого состояния без ограничений. Маргинальная система, иногда называемая нейтральной стабильностью ^[1], находится между этими двумя типами: при смещении она не возвращается почти к общему устойчивому состоянию и не уходит без ограничений с того места, где она была начата.

Предельная стабильность, как и нестабильность, - это свойство, которого теория управления пытается избежать; мы хотим, чтобы при возмущении некоторой внешней силы система возвращалась в желаемое состояние. Это требует использования правильно разработанных алгоритмов управления.

В эконометрике наличие единичного корня в наблюдаемых временных рядах , что делает их незначительно стабильными, может привести к неверным результатам регрессии в отношении влияния независимых переменных на зависимую переменную , если не используются соответствующие методы для преобразования системы в стабильную систему.

Непрерывное время [ править ]

Однородная непрерывная линейная стационарная система незначительно устойчива тогда и только тогда , когда действительная часть каждого полюса ( собственные значения ) в системы передачи-функции является неположительны , один или несколько полюсов имеют нулевую действительную часть и ненулевую мнимую часть, и все полюса с нулевой действительной частью являются простыми корнями (т. е. все полюса на мнимой оси отличаются друг от друга). Напротив, если все полюса имеют строго отрицательные действительные части, система вместо этого асимптотически устойчива. Если один или несколько полюсов имеют положительные реальные части, система нестабильна.

Если система находится в представлении в пространстве состояний , предельная устойчивость может быть проанализирована путем вывода жордановой нормальной формы : ^[2], если и только если жордановы блоки, соответствующие полюсам с нулевой действительной частью, скалярны, система является маргинально устойчивой.

Дискретное время [ править ]

Однородная линейная инвариантная во времени система с дискретным временем является минимально устойчивой тогда и только тогда, когда наибольшая величина любого из полюсов (собственных значений) передаточной функции равна 1, а полюса с величиной, равной 1, различны. То есть спектральный радиус передаточной функции равен 1. Если спектральный радиус меньше 1, система вместо этого асимптотически устойчива.

Простой пример включает одно линейное разностное уравнение первого порядка : предположим, что переменная состояния x изменяется согласно

${\ displaystyle x_ {t} = ax_ {t-1}}$

с параметром a > 0. Если система возмущена значением, ее последующая последовательность значений равна. Если a <1, эти числа становятся все ближе и ближе к 0 независимо от начального значения, а если a > 1, числа становятся все больше и больше без граница. Но если a = 1, числа не делают ни то, ни другое: вместо этого все будущие значения x равны значению. Таким образом, случай a = 1 демонстрирует предельную стабильность.${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle ax_ {0}, \, a ^ {2} x_ {0}, \, a ^ {3} x_ {0}, \, \ dots.}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle x_ {0}.}$

Ответ системы [ править ]

Меньше стабильная система - это система, которая, если ей дать импульс конечной величины в качестве входа, не «взорвется» и не даст неограниченного выхода, но и выход не вернется к нулю. Ограниченное смещение или колебания на выходе будут сохраняться бесконечно, и поэтому, как правило, не будет окончательного установившегося выхода. Если в непрерывную систему подается вход с частотой, равной частоте полюса с нулевой действительной частью, выход системы будет неограниченно увеличиваться (это называется чистым резонансом ^[3] ). Это объясняет, почему для того, чтобы система была BIBO-стабильной , действительные части полюсов должны быть строго отрицательными (а не только неположительными).

Непрерывная система с воображаемыми полюсами, то есть с нулевой реальной частью полюса (полюсов), будет производить устойчивые колебания на выходе. Например, не демпфируемая система второго порядка, такая как система подвески в автомобиле (система масса-пружина-демпфер ), из которой демпфер удален, а пружина идеальна, т. Е. Отсутствует трение, теоретически будет колебаться вечно. когда-то беспокоил. Другой пример - маятник без трения . Система с полюсом в начале координат также незначительно устойчива, но в этом случае в отклике не будет колебаний, поскольку мнимая часть также равна нулю ( jw  = 0 означает w = 0 рад / сек). Примером такой системы является масса на поверхности с трением. Когда применяется боковой импульс, масса перемещается и никогда не возвращается к нулю. Однако масса остановится из-за трения, и движение вбок останется ограниченным.

Поскольку положение крайних полюсов должно быть точно на мнимой оси или единичной окружности (для систем с непрерывным и дискретным временем соответственно), чтобы система была предельно стабильной, такая ситуация вряд ли возникнет на практике, если предельная стабильность не является неотъемлемой теоретической особенность системы.

Стохастическая динамика [ править ]

Предельная устойчивость также является важным понятием в контексте стохастической динамики . Например, некоторые процессы могут следовать случайному блужданию , заданному в дискретное время как

${\ displaystyle x_ {t} = x_ {t-1} + e_ {t},}$

где - термин ошибки идентификатора . Это уравнение имеет единичный корень (значение 1 для собственного значения его характеристического уравнения ) и, следовательно, демонстрирует предельную стабильность, поэтому при эмпирическом моделировании системы, содержащей такое уравнение, необходимо использовать специальные методы временных рядов .${\ displaystyle e_ {t}}$

См. Также [ править ]

• Ляпуновская устойчивость
• Экспоненциальная стабильность

Ссылки [ править ]