Число Маркова или число Маркофф является положительным целым числом х , у или г , что является частью решения Маркова уравнения диофантового
изучал Андрей Марков ( 1879 , 1880 ).
Первые несколько чисел Маркова
- 1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (последовательность A002559 в OEIS )
в виде координат марковских троек
- (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325) и др.
Чисел Маркова и троек Маркова бесконечно много.
Марковское дерево [ править ]
Есть два простых способа получить новую марковскую тройку из старой ( x , y , z ). Во-первых, можно переставить 3 числа x , y , z , так что, в частности, можно нормализовать тройки так, чтобы x ≤ y ≤ z . Во-вторых, если ( x , y , z ) - тройка Маркова, то по прыжку Виета так же и ( x , y , 3 xy - z). Применение этой операции дважды возвращает ту же самую тройную операцию, с которой было начато. Соединение каждой нормализованной марковской тройки с 1, 2 или 3 нормализованными тройками, которые можно получить из этого, дает граф, начинающийся с (1,1,1), как на диаграмме. Этот граф связан; другими словами, каждую марковскую тройку можно связать с (1,1,1) последовательностью этих операций. [1] Если мы начнем, например, с (1, 5, 13), мы получим его трех соседей (5, 13, 194), (1, 13, 34) и (1, 2, 5) в марковском tree, если z установлено в 1, 5 и 13 соответственно. Например, начиная с (1, 1, 2) и меняя y и z перед каждой итерацией преобразования, выводятся марковские тройки с числами Фибоначчи. Начиная с той же тройки и торгуя xа z перед каждой итерацией дает троек с числами Пелла.
Все числа Маркова в областях, прилегающих к области 2, являются числами Пелла с нечетным индексом (или числами n, такими, что 2 n 2 - 1 является квадратом, OEIS : A001653 ), и все числа Маркова в областях, прилегающих к области 1, являются числа Фибоначчи с нечетным индексом ( OEIS : A001519 ). Таким образом, существует бесконечно много марковских троек вида
где F x - x- е число Фибоначчи. Точно так же существует бесконечно много марковских троек вида
где P x - x- е число Пелла . [2]
Другие свойства [ править ]
Помимо двух наименьших особых троек (1,1,1) и (1,1,2), каждая марковская тройка состоит из трех различных целых чисел. [3]
Гипотеза единственности утверждает, что для данного числа Маркова c существует ровно одно нормализованное решение, имеющее c в качестве его наибольшего элемента: доказательства этой гипотезы были заявлены, но ни одно из них не кажется правильным. [4]
Нечетные числа Маркова на 1 больше, чем кратные 4, в то время как четные числа Маркова на 2 больше, чем кратные 32. [5]
В своей статье 1982 года Дон Загьер предположил, что n- е число Маркова асимптотически задается формулой
Более того, он указал, что приближение исходного диофантова уравнения эквивалентно с f ( t ) = arcosh (3 t / 2). [6] гипотеза была доказана [ оспариваются ] от Greg Макшейн и Игорь Ривина в 1995 году с использованием методов из гиперболической геометрии. [7]
П - го числа Лагранжа можно вычислить из п - го числа Маркова с формулой
Числа Маркова представляют собой суммы (неединственных) пар квадратов.
Теорема Маркова [ править ]
Марков ( 1879 , 1880 ) показал, что если
является неопределенной двоичной квадратичной формой с действительными коэффициентами и дискриминантом , то существуют целые числа x , y, для которых f принимает ненулевое значение абсолютного значения не более
если f не является марковской формой : [8] константа, умноженная на форму
такой, что
где ( p , q , r ) - марковская тройка.
Еще есть теорема Маркова в топологии , названная в честь сына Андрея Маркова, Андрея Андреевича Маркова . [9]
Матрицы [ править ]
Обозначим через Tr функцию следа над матрицами. Если X и Y принадлежат SL 2 ( ℂ ), то
- Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( X ⋅ Y ) + Tr ( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) + 2 = Tr ( X ) 2 + Tr ( Y ) 2 + Tr ( X ⋅ Y ) 2
так что если Tr ( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) = −2, то
- Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( X ⋅ Y ) = Tr ( X ) 2 + Tr ( Y ) 2 + Tr ( X ⋅ Y ) 2.
В частности, если X и Y также имеют целочисленные элементы, то Tr ( X ) / 3, Tr ( Y ) / 3 и Tr ( X ⋅ Y ) / 3 являются марковской тройкой. Если Х ⋅ Y ⋅ Z = 1 , то Тр ( Х ⋅ Y ) = Тр ( Z ), так что более симметрично , если X , Y и Z в SL 2 (ℤ) с Х ⋅ Y ⋅ Z = 1 и коммутатор из два из них имеют след −2, то их следы / 3 являются марковской тройкой.[10]
См. Также [ править ]
- Марковский спектр
Заметки [ править ]
- ^ Касселс (1957) стр.28
- ^ OEIS : A030452 перечисляет числа Маркова, которые появляются в решениях, где один из двух других членов равен 5.
- ^ Касселс (1957) стр.27
- ^ Guy (2004) с.263
- Перейти ↑ Zhang, Ying (2007). «Конгруэнтность и единственность некоторых чисел Маркова» . Acta Arithmetica . 128 (3): 295–301. arXiv : math / 0612620 . Bibcode : 2007AcAri.128..295Z . DOI : 10.4064 / AA128-3-7 . Руководство по ремонту 2313995 .
- ^ Загир, Дон Б. (1982). «О количестве номеров Маркова ниже заданной границы» . Математика вычислений . 160 (160): 709–723. DOI : 10.2307 / 2007348 . JSTOR 2007 348 . Руководство по ремонту 0669663 .
- ^ Грег МакШейн; Игорь Ривин (1995). «Простые кривые на гиперболических торах». Comptes Rendus де l'Академии наук, Série я . 320 (12).
- ^ Касселс (1957) с.39
- ^ Луи Х. Кауфман, Узлы и физика , стр. 95, ISBN 978-9814383011
- ^ Aigner, Martin (2013), "по Cohn дерево", теорема Маркова и 100 лет единственность гипотеза , Springer, С. 63-77,. Дои : 10.1007 / 978-3-319-00888-2_4 , ISBN 978-3-319-00887-5, Руководство по ремонту 3098784.
Ссылки [ править ]
- Касселс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45 . Издательство Кембриджского университета . Zbl 0077.04801 .
- Кьюсик, Томас; Флэхив, Мари (1989). Спектры Маркова и Лагранжа . Математика. Обзоры и монографии. 30 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023 .
- Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Springer-Verlag . С. 263–265. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001 .
- Малышев А.В. (2001) [1994], "Проблема спектра Маркова" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Марков А. "Sur les form quadratiques binaires indéfinies". Mathematische Annalen . Springer Berlin / Heidelberg. ISSN 0025-5831 .
- Марков, А. (1879). «Первое воспоминание» . Mathematische Annalen . 15 (3–4): 381–406. DOI : 10.1007 / BF02086269 .CS1 maint: ref=harv (link)
- Марков, А. (1880). «Второе воспоминание» . Mathematische Annalen . 17 (3): 379–399. DOI : 10.1007 / BF01446234 .CS1 maint: ref=harv (link)