Идентичность (математика)

В математике тождество — это равенство , связывающее одно математическое выражение A  с другим математическим выражением  B , так что A и B (которые могут содержать некоторые переменные ) дают одно и то же значение для всех значений переменных в пределах определенного диапазона достоверности. ^[1] Другими словами, A  =  B является тождеством, если A и B определяют одни и те же функции , а тождество — это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, и${\ Displaystyle (а + Ь) ^ {2} = а ^ {2} + 2аб + Ь ^ {2}}$${\ Displaystyle \ соз ^ {2} \ тета + \ грех ^ {2} \ тета = 1}$являются тождествами. ^[1] Тождества иногда обозначаются символом тройной черты ≡ вместо = , знака равенства . ^[2]

Некоторые тождества, такие как и , составляют основу алгебры ^[3] , в то время как другие тождества, такие как и , могут быть полезны для упрощения алгебраических выражений и их расширения. ^[4]${\ Displaystyle а + 0 = а}$${\ Displaystyle а + (- а) = 0}$${\ Displaystyle (а + Ь) ^ {2} = а ^ {2} + 2аб + Ь ^ {2}}$${\ Displaystyle а ^ {2} -b ^ {2} = (а + Ь) (аб)}$

Геометрически тригонометрические тождества - это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углов . ^[5] Они отличаются от тождеств треугольника , которые являются тождествами, включающими как углы, так и длины сторон треугольника . В этой статье рассматриваются только первые.

Эти тождества полезны всякий раз, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Еще одним важным приложением является интегрирование нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает сначала использование правила подстановки с тригонометрической функцией , а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Один из самых выдающихся примеров тригонометрических тождеств включает уравнение , верное для всех действительных значений . С другой стороны, уравнение${\ Displaystyle \ грех ^ {2} \ тета + \ соз ^ {2} \ тета = 1,}$${\ Displaystyle \ тета}$

верно только для определенных значений , а не для всех. Например, это уравнение истинно, когда , но ложно, когда .${\ Displaystyle \ тета}$${\ Displaystyle \ тета = 0,}$${\ Displaystyle \ тета = 2}$

Наглядное доказательство тождества Пифагора : для любого угла точка лежит на единичной окружности , что удовлетворяет уравнению . Таким образом, .${\ Displaystyle \ тета}$${\ Displaystyle (х, у) = (\ соз \ тета, \ грех \ тета)}$${\ Displaystyle х ^ {2} + у ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ соз ^ {2} \ тета + \ грех ^ {2} \ тета = 1}$