Полярное разложение

---

В математике полярное разложение квадратной вещественной или комплексной матрицы представляет собой факторизацию вида , где — унитарная матрица , а — положительно полуопределенная эрмитова матрица , как квадратная, так и одинакового размера. ^[1]${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle А = ВВЕРХ}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle Р}$

Интуитивно, если реальная матрица интерпретируется как линейное преобразование -мерного пространства , полярное разложение разделяет его на вращение или отражение и масштабирование пространства по набору ортогональных осей. ${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle п}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle п}$

Полярное разложение квадратной матрицы всегда существует. Если обратимо , то разложение единственно, и множитель будет положительно определенным . В этом случае однозначно записывается в виде , где – унитарный, а – единственный самосопряженный логарифм матрицы . ^[2] Это разложение полезно при вычислении фундаментальной группы (матричных) групп Ли . ^[3]${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle А = Ue ^ {X}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle Р}$

Полярное разложение также можно определить как где симметричная положительно определенная, но, как правило, другая матрица, в то время как это та же матрица, что и выше.${\ Displaystyle А = ПУ}$${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle U}$

Полярное разложение матрицы можно рассматривать как матричный аналог полярной формы комплексного числа в виде , где – его абсолютное значение (неотрицательное действительное число ), а – комплексное число с единичной нормой (элемент кружковая группа ).${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle г = ур}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle ты}$

---