В квантовой теории поля и статистической механике , то теорема Мермина-Вагнер (также известная как теорема Мермина-Вагнер-Хоенберг , Мермин-Вагнер-Березинская теорема , или теорема Coleman ) утверждает , что непрерывные симметрии не могут быть спонтанно нарушена при конечной температуре в системах с достаточно короткодействующие взаимодействия в размерностях d ≤ 2 . Интуитивно это означает, что флуктуации на большие расстояния могут быть созданы с небольшими затратами энергии, и, поскольку они увеличивают энтропию, им отдается предпочтение.
Это связано с тем, что если бы произошло такое спонтанное нарушение симметрии , то соответствующие голдстоуновские бозоны , будучи безмассовыми, имели бы корреляционную функцию, расходящуюся в инфракрасном диапазоне .
Отсутствие спонтанного нарушения симметрии в d ≤ 2- мерных системах было строго доказано Дэвидом Мермином, Гербертом Вагнером (1966) и Пьером Хоэнбергом (1967) в статистической механике и Сидни Коулманом ( 1973 ) в квантовой теории поля. То, что теорема неприменима к дискретным симметриям, можно увидеть в двумерной модели Изинга .
Вступление
Рассмотрим свободное скалярное поле φ массы m в двух евклидовых измерениях. Его распространителем является:
При малых м , G является решением уравнения Лапласа с точечным источником:
Это потому, что пропагатор обратен recip 2 в k- пространстве. Для того, чтобы использовать закон Гаусса , определить аналог электрического поля , чтобы быть E = ∇ G . Расходимость электрического поля равна нулю. В двух измерениях с использованием большого гауссова кольца:
Так что функция G имеет логарифмическую расходимость как при малых, так и при больших r .
Интерпретация расхождения заключается в том, что флуктуации поля не могут оставаться в центре внимания среднего значения. Если вы начнете с точки, где поле имеет значение 1, расхождение говорит вам о том, что, когда вы путешествуете далеко, поле находится произвольно далеко от начального значения. Это делает двумерное безмассовое скалярное поле немного сложным для математического определения. Если вы определяете поле с помощью моделирования Монте-Карло, оно не остается на месте, а со временем скользит к бесконечно большим значениям.
Это происходит и в одном измерении, когда поле является одномерным скалярным полем, случайным блужданием во времени. Случайное блуждание также перемещается произвольно далеко от начальной точки, так что одномерный или двумерный скаляр не имеет четко определенного среднего значения.
Если поле представляет собой угол θ , как в модели мексиканской шляпы, где комплексное поле A = Re iθ имеет математическое ожидание, но может свободно скользить в направлении θ , угол θ будет случайным на больших расстояниях. Это теорема Мермина – Вагнера: не существует спонтанного нарушения непрерывной симметрии в двух измерениях.
Переход модели XY
Хотя теорема Мермина – Вагнера предотвращает любое спонтанное нарушение симметрии в глобальном масштабе, упорядоченные переходы типа Костерлица-Таулеса могут быть разрешены. Это имеет место для модели XY, где непрерывная (внутренняя) симметрия O (2) на пространственной решетке размерностью d ≤ 2 , то есть математическое ожидание (спин-) поля, остается нулевым для любой конечной температуры ( квантовые фазовые переходы остаются незатронутый). Однако теорема не препятствует существованию фазового перехода в смысле расходящейся корреляционной длины ξ . Для этого в модели есть две фазы: обычная неупорядоченная фаза при высокой температуре с преобладающим экспоненциальным затуханием корреляционной функции для И низкотемпературная фаза с порядка квази-дальнего , где G ( г ) распадается в соответствии с некоторым степенным законом для «достаточно велико», но конечного расстояния г ( « г « ξ с шагом решетки ).
Модель Гейзенберга
Мы представим интуитивно понятный способ [1] понимания механизма, который предотвращает нарушение симметрии в малых размерностях, через приложение к модели Гейзенберга , которая представляет собой систему n -компонентных спинов S i единичной длины | S i | = 1 , расположено на участках г - мерной квадратной решетки с ближайшим соседом муфты J . Его гамильтониан
Название этой модели происходит от ее симметрии вращения. Рассмотрим низкотемпературное поведение этой системы и предположим, что существует самопроизвольно нарушенный, то есть фаза, в которой все спины направлены в одном направлении, например, вдоль оси x . Тогда вращательная симметрия системы O ( n ) спонтанно нарушается, или, скорее, сводится к симметрии O ( n - 1) при поворотах вокруг этого направления. Мы можем параметризовать поле в терминах независимых флуктуаций σ α вокруг этого направления следующим образом:
с | σ α | 1 , и Тейлор разложит полученный гамильтониан. У нас есть
откуда
Игнорируя нерелевантный постоянный член H 0 = - JNd и переходя к континуальному пределу, учитывая, что нас интересует низкотемпературная фаза, где преобладают длинноволновые флуктуации, мы получаем
Флуктуации поля σ α называются спиновыми волнами и могут быть распознаны как бозоны Голдстоуна. В самом деле, их число n -1, и они имеют нулевую массу, поскольку в гамильтониане нет массового члена.
Чтобы определить, существует ли эта гипотетическая фаза на самом деле, мы должны проверить, является ли наше предположение самосогласованным, то есть является ли ожидаемое значение намагниченности , вычисленное в этой структуре, конечным, как предполагалось. Для этого необходимо вычислить поправку первого порядка к намагниченности, обусловленную флуктуациями. Это процедура, которой следуют при выводе известного критерия Гинзбурга .
Модель является гауссовой в первом порядке, поэтому корреляционная функция импульсного пространства пропорциональна k −2 . Таким образом, двухточечная корреляционная функция реального пространства для каждой из этих мод равна
где a - шаг решетки. Средняя намагниченность
и теперь можно легко вычислить поправку первого порядка:
Вышеприведенный интеграл пропорционален
и поэтому он конечен при d > 2 , но оказывается логарифмически расходящимся при d ≤ 2 . Однако на самом деле это артефакт линейного приближения. При более тщательном обращении средняя намагниченность равна нулю.
Таким образом, мы заключаем, что для d ≤ 2 наше предположение о существовании фазы спонтанной намагниченности неверно для всех T > 0 , потому что флуктуации достаточно сильны, чтобы разрушить спонтанное нарушение симметрии. Это общий результат:
- Теорема Мермина – Вагнера – Хоэнберга. Нет фазы со спонтанным нарушением непрерывной симметрии при T > 0 в d ≤ 2 измерениях.
Результат также может быть распространен на другие геометрии, такие как пленки Гейзенберга с произвольным числом слоев, а также на другие системы решеток (модель Хаббарда, sf-модель). [2]
Обобщения
Фактически могут быть доказаны гораздо более сильные результаты, чем отсутствие намагничивания, и установка может быть существенно более общей. В частности [ необходима цитата ] :
- Гамильтониан может быть инвариантен относительно действия произвольного компакта, связной группы Ли G .
- Допускаются дальнодействующие взаимодействия (при условии, что они затухают достаточно быстро; известны необходимые и достаточные условия).
В этой общей ситуации теорема Мермина – Вагнера допускает следующую сильную форму (сформулированную здесь неформально):
- Все (бесконечномерным объем) Gibbs состояний , связанных с этим гамильтонианом инвариантны относительно действия G .
Когда предположение о компактности группы Ли отбрасывается, получается аналогичный результат, но с заключением, что состояния Гиббса бесконечного объема не существуют.
Наконец, есть и другие важные приложения этих идей и методов, в первую очередь для доказательства того, что в двумерных системах не может быть нетрансляционно-инвариантных состояний Гиббса. Типичным таким примером может быть отсутствие кристаллических состояний в системе жестких дисков (с возможно дополнительными взаимодействиями притяжения).
Однако было доказано, что взаимодействия жесткого типа могут в общем приводить к нарушениям теоремы Мермина – Вагнера.
История
Еще в 1930 году Феликс Блох , диагонализуя детерминант Слейтера для фермионов, доказал, что двумерного магнетизма не должно существовать. [3] Некоторые простые аргументы, которые кратко излагаются ниже, были приведены Рудольфом Пайерлсом на основе энтропийных и энергетических соображений. [4] Также Лев Ландау проделал некоторую работу о нарушении симметрии в двух измерениях. [5]
Энергичный аргумент
Одна из причин отсутствия глобального нарушения симметрии состоит в том, что можно легко возбудить длинноволновые флуктуации, которые разрушают совершенный порядок. «Легко возбужденный» означает, что энергия этих колебаний стремится к нулю для достаточно больших систем. Давайте рассмотрим магнитную модель (например, XY-модель в одном измерении). Это цепочка магнитных моментов длиной. Мы рассматриваем гармоническое приближение, в котором силы (крутящий момент) между соседними моментами линейно возрастают с углом закручивания.. Это означает, что энергия за счет скручивания увеличивается квадратично.. Полная энергия - это сумма всех скрученных пар магнитных моментов.. Если рассматривать возбужденную моду с наименьшей энергией в одном измерении (см. Рисунок), то моменты на цепочке длиной наклонены по цепочке. Относительный угол между соседними моментами одинаков для всех пар моментов в этом режиме и равен, если цепочка состоит из магнитные моменты. Отсюда следует, что полная энергия этой низшей моды равна. Он уменьшается с увеличением размера системы. и стремится к нулю в термодинамическом пределе , , . Для произвольных больших систем следует, что низшие моды не требуют затрат энергии и будут термически возбуждены. Одновременно в цепочке разрушается дальний порядок. В двух измерениях (или на плоскости) количество магнитных моментов пропорционально площади плоскости.. Тогда энергия для низшей возбужденной моды равна, стремящаяся к константе в термодинамическом пределе. Таким образом, моды будут возбуждаться при достаточно высоких температурах. В трех измерениях количество магнитных моментов пропорционально объему а энергия самой низкой моды равна . Он расходится с размером системы и, следовательно, не будет востребован для достаточно больших систем. Этот режим не влияет на дальний порядок, и допускается глобальное нарушение симметрии.
Энтропийный аргумент
Энтропийный аргумент против идеального дальнего порядка в кристаллах с выглядит следующим образом (см. рисунок): рассмотрим цепочку атомов / частиц со средним расстоянием между частицами . Температурные колебания между частицами и частица приведет к флуктуациям среднего расстояния между частицами порядка , таким образом, расстояние определяется выражением . Колебания между частицами а также будет такого же размера: . Мы предполагаем, что тепловые флуктуации статистически независимы (что очевидно, если рассматривать только взаимодействие ближайших соседей), а флуктуации между и частица (с удвоенным расстоянием) должны быть суммированы статистически независимыми (или некогерентными): . Для частиц, в N раз превышающих среднее расстояние, флуктуации будут увеличиваться пропорционально квадратному корнюесли соседние колебания суммируются независимо. Хотя среднее расстояниехорошо определено, отклонения от идеальной периодической цепочки увеличиваются с увеличением квадратного корня из размера системы. В трех измерениях нужно пройти по трем линейно независимым направлениям, чтобы охватить все пространство; в кубическом кристалле это эффективно по диагонали пространства, чтобы получить от частицы крушить . Как легко увидеть на рисунке, для этого существует шесть различных возможностей. Это означает, что флуктуации на шести различных путях не могут быть статистически независимыми, поскольку они проходят через одни и те же частицы в позиции а также . Теперь колебания шести разных способов должны быть согласованно суммированы, и они будут порядка- не зависит от размера куба. Колебания остаются конечными, и узлы решетки четко определены. Для случая двух измерений Герберт Вагнер и Дэвид Мермин строго доказали, что расстояния флуктуаций логарифмически увеличиваются с размером системы.. Это часто называют логарифмической расходимостью смещений.
Кристаллы в 2D
Изображение показывает (квази) двумерный кристалл коллоидных частиц. Это частицы микрометрового размера, диспергированные в воде и осевшие на плоской поверхности раздела, поэтому они могут совершать броуновские движения только внутри плоскости. Шестикратный кристаллический порядок легко обнаружить в локальном масштабе, поскольку логарифмический рост смещений происходит довольно медленно. Отклонения от (красной) оси решетки тоже легко обнаружить, здесь они показаны зелеными стрелками. Отклонения в основном обусловлены упругими колебаниями решетки (акустическими фононами). Прямым экспериментальным доказательством флуктуаций Мермина-Вагнера-Хоэнберга было бы, если бы смещения увеличивались логарифмически с расстоянием в локально подобранной системе координат (синий). Это логарифмическое расхождение сопровождается алгебраическим (медленным) затуханием позиционных корреляций. Пространственный порядок 2D-кристалла называется квазидальнодействующим (см. Также гексатическую фазу для описания фазового поведения 2D-ансамблей).
Интересно, что значительные признаки флуктуаций Мермина-Вагнера-Хоэнберга были обнаружены не в кристаллах, а в неупорядоченных аморфных системах [6] [7] [8]
В этой работе изучались не логарифмические смещения узлов решетки (которые трудно определить количественно при конечном размере системы), а величина среднеквадратичного смещения частиц как функция времени. Таким образом, смещения анализируются не в пространстве, а во временной области. Теоретические основы даны Д. Касси, а также Ф. Мерклом и Х. Вагнером. [9] [10] В этой работе анализируется вероятность повторения случайных блужданий и спонтанного нарушения симметрии в различных измерениях. Конечная вероятность повторения случайного блуждания в одном и двух измерениях показывает дуализм отсутствия идеального дальнего порядка в одном и двух измерениях, в то время как исчезающая вероятность повторения случайного блуждания в 3D двойственна существованию идеального дальнего порядка. и возможность нарушения симметрии.
Пределы
Настоящие магниты обычно не обладают непрерывной симметрией, поскольку спин-орбитальное взаимодействие электронов вызывает анизотропию. Для атомных систем, подобных графену, можно показать, что монослои космологического (или, по крайней мере, континентального) размера необходимы для измерения значительного размера амплитуд флуктуаций. [11] Недавнее обсуждение теорем Мермина-Вагнера-Хоэнберга и их ограничений дано Бертраном Гальперином. [12]
Замечания
Несоответствие между теоремой Мермина-Вагнера-Хоэнберга (исключение дальнего порядка в 2D) и первым компьютерным моделированием (Alder & Wainwright), которое указывало на кристаллизацию в 2D, когда-то побудило Майкла Костерлица и Дэвида Таулесса работать над топологическими фазовыми переходами в 2D. . Эта работа удостоена Нобелевской премии по физике 2016 г. (совместно с Дунканом Холдейном).
Заметки
- ^ см. Карди (2002)
- ^ См. Gelfert & Nolting (2001) .
- ^ Блох, Р (1930-02-01). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik . 61 (3–4): 206–219. Bibcode : 1930ZPhy ... 61..206B . DOI : 10.1007 / bf01339661 .
- ^ Пайерлс, RE (1934). "Bemerkungen über Umwandlungstemperan". Helv. Phys. Acta . 7 : 81. doi : 10.5169 / seals-110415 .
- ^ Ландау, Л.Д. "Теория фазовых превращений II". Phys. Z. Sowjetunion . 11 : 545.
- ^ Shiba, H .; Yamada, Y .; Кавасаки, Т .; Ким, К. (2016). "Обнаружение размерной зависимости стеклянной динамики: 2D бесконечные флуктуационные затмения, присущие структурной релаксации". Письма с физическим обзором . 117 (24): 245701. arXiv : 1510.02546 . Bibcode : 2016PhRvL.117x5701S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.117.245701 . PMID 28009193 .
- ^ Вивек, С .; Kelleher, CP; Чайкин П.М.; Недели, ER (2017). «Длинноволновые флуктуации и стеклование в двух и трех измерениях» . Труды Национальной академии наук . 114 (8): 1850–1855. arXiv : 1604.07338 . Bibcode : 2017PNAS..114.1850V . DOI : 10.1073 / pnas.1607226113 . PMC 5338427 . PMID 28137847 .
- ^ Illing, B .; Fritschi, S .; Kaiser, H .; Klix, CL; Maret, G .; Кейм, П. (2017). «Флуктуации Мермина – Вагнера в двумерных аморфных телах» . Труды Национальной академии наук . 114 (8): 1856–1861. Bibcode : 2017PNAS..114.1856I . DOI : 10.1073 / pnas.1612964114 . PMC 5338416 . PMID 28137872 .
- ^ Касси, Д. (1992). «Фазовые переходы и случайные блуждания на графах: обобщение теоремы Мермина-Вагнера на неупорядоченные решетки, фракталы и другие дискретные структуры». Письма с физическим обзором . 68 (24): 3631–3634. Bibcode : 1992PhRvL..68.3631C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.68.3631 . PMID 10045753 .
- ^ Merkl, F .; Вагнер, Х. (1994). «Повторяющиеся случайные блуждания и отсутствие нарушения непрерывной симметрии на графах». Журнал статистической физики . 75 (1): 153–165. Bibcode : 1994JSP .... 75..153M . DOI : 10.1007 / bf02186284 .
- ^ Томпсон-Флэгг, Р. Моура, MJB; Мардер, М. (2009). «Колебание графена». EPL . 85 (4): 46002. arXiv : 0807.2938 . Bibcode : 2009EL ..... 8546002T . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 85/46002 .
- ^ Гальперин, Б.И. (2019). «О теореме Хоэнберга – Мермина – Вагнера и ее ограничениях». Журнал статистической физики . 175 (3–4): 521–529. arXiv : 1812.00220 . Bibcode : 2019JSP ... 175..521H . DOI : 10.1007 / s10955-018-2202-у .
Рекомендации
- Hohenberg, PC (1967), "Существование дальнего порядка в одном и двух измерениях", Phys. Rev. , 158 (2): 383, Bibcode : 1967PhRv..158..383H , DOI : 10,1103 / PhysRev.158.383
- Мермин, Северная Дакота; Вагнер, Х. (1966), "Отсутствие ферромагнетизма или антиферромагнетизма в одномерных или двумерных изотропных моделях Гейзенберга", Phys. Rev. Lett. , 17 (22): 1133-1136, Bibcode : 1966PhRvL..17.1133M , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.17.1133
- Коулман, Сидней (1973), «В двух измерениях нет голдстоуновских бозонов», Commun. Математика. Phys. , 31 (4): 259-264, Bibcode : 1973CMaPh..31..259C , DOI : 10.1007 / BF01646487
- Гельферт, Аксель; Нолтинг, Вольфганг (2001), "Отсутствие конечных температурных фазовых переходов в низкоразмерных моделях многих тел: обзор и новые результаты", J. Phys .: Condens. Материя , 13 (27): R505 – R524, arXiv : cond-mat / 0106090 , Bibcode : 2001JPCM ... 13R.505G , doi : 10.1088 / 0953-8984 / 13/27/201
- Добрушин Р.Л .; Шлосман С.Б. (1975), "Отсутствие нарушения непрерывной симметрии в двумерных моделях статистической физики" , Comm. Математика. Phys. , 42 (1): 31, Bibcode : 1975CMaPh..42 ... 31D , DOI : 10.1007 / bf01609432
- Пфистер, К.-Э. (1981), "О симметрии состояний Гиббса в двумерных решетчатых системах" , Comm. Математика. Phys. , 79 (2): 181, Bibcode : 1981CMaPh..79..181P , DOI : 10.1007 / bf01942060
- Fröhlich, J .; Пфистер, CE (1981), "Об отсутствии спонтанного нарушения симметрии и кристаллического упорядочения в двумерных системах" , Comm. Математика. Phys. , 81 (2): 277, Bibcode : 1981CMaPh..81..277F , DOI : 10.1007 / bf01208901
- Klein, A .; Ландау, ЖЖ; Shucker, DS (1981), "Об отсутствии спонтанного нарушения непрерывной симметрии для состояний равновесия в двух измерениях", J. Statist. Phys. , 26 (3): 505, Bibcode : 1981JSP .... 26..505K , DOI : 10.1007 / bf01011431
- Бонато, Калифорния; Perez, JF; Кляйн, A. (1982), "Феномен Мермина-Вагнера и кластерные свойства одномерных и двумерных систем", J. Statist. Phys. , 29 (2): 159, Bibcode : 1982JSP .... 29..159B , DOI : 10.1007 / bf01020779
- Иоффе, Д .; Шлосман, С.Б .; Веленик Ю. (2002), "2D модели статистической физики с непрерывной симметрией: случай сингулярных взаимодействий", Comm. Математика. Phys. , 226 (2): 433, arXiv : math / 0110127 , Bibcode : 2002CMaPh.226..433I , doi : 10.1007 / s002200200627
- Карди, Джон (2002), Масштабирование и перенормировка в статистической физике (перепечатано (с корр.) Под ред.), [Кембридж]: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49959-0
- Richthammer, T. (2007), "Трансляционная инвариантность двумерных гиббсовских точечных процессов", Commun. Математика. Phys. , 274 (1): 81, arXiv : 0706.3637 , Bibcode : 2007CMaPh.274 ... 81R , doi : 10.1007 / s00220-007-0274-7
- Герберт Вагнер (ред.). «Теорема Мермина-Вагнера» . Scholarpedia .
- Фридли, С .; Веленик Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107184824.