Мультифрактальная система

Странный аттрактор , который проявляет мультифрактальное масштабирование

Пример мультифрактального собственного электронного состояния на переходе локализации Андерсона в системе с 1367631 атомами.

Мультифрактал является обобщением фрактальной системы , в которой один показатель ( фрактальной размерности ) не достаточно , чтобы описать ее динамику; вместо этого необходим непрерывный спектр показателей (так называемый спектр сингулярностей ). ^[1]

Мультифрактальные системы распространены в природе. Они включают протяженность береговой линии , полностью развитую турбулентность , реальные сцены, динамику сердцебиения , ^[2] походку ^[3] и активность ^[4] человеческую активность мозга , ^{[5] [6] [7] [8] [ 9] [10] [11]} и временные ряды естественной светимости. ^[12] Модели предлагались в различных контекстах, начиная от турбулентности в динамике жидкости и заканчивая интернет-трафиком, финансами, моделированием изображений, синтезом текстур, метеорологией, геофизикой и т. Д. ^{[ цитата необходима]} Происхождение мультифрактальности в последовательном (временных рядов) данные были отнесены к математическим эффектам конвергенции , связанных с центральной предельной теоремы , которые имеют в очагах сходимости семейство статистических распределений , известных как модели экспоненциального дисперсионных Твиди , ^[13] , а также геометрические модели Tweedie. ^[14] Первый эффект сходимости приводит к монофрактальным последовательностям, а второй эффект сходимости отвечает за изменение фрактальной размерности монофрактальных последовательностей. ^[15]

Мультифрактальный анализ используется для исследования наборов данных, часто в сочетании с другими методами фрактального анализа и анализа лакунарности . Этот метод влечет за собой искажение наборов данных, извлеченных из шаблонов, для создания мультифрактальных спектров, которые иллюстрируют, как масштабирование изменяется в наборе данных. Методы мультифрактального анализа применялись в различных практических ситуациях, таких как предсказание землетрясений и интерпретация медицинских изображений. ^{[16] [17] [18]}

Определение [ править ]

В мультифрактальной системе поведение вокруг любой точки описывается локальным степенным законом :${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle s ({\ vec {x}} + {\ vec {a}}) - s ({\ vec {x}}) \ sim a ^ {h ({\ vec {x}})}.}$

Показатель степени называется показателем сингулярности , поскольку он описывает локальную степень особенности или регулярности вокруг точки . ^{[ необходима цитата ]}${\ displaystyle h ({\ vec {x}})}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Ансамбль , образованный все точки , которые разделяют тот же особенность показателя называется сингулярность многообразием экспоненты ч , и представляет собой фрактальное множество из фрактальной размерности особенности спектра. Кривая зависимости от называется спектром сингулярности и полностью описывает статистическое распределение переменной . ^{[ необходима цитата ]}${\ displaystyle D (h):}$${\ displaystyle D (h)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle s}$

На практике мультифрактальное поведение физической системы напрямую не характеризуется ее спектром сингулярностей . Скорее, анализ данных дает доступ к показателям мультимасштабирования . Действительно, мультифрактальные сигналы обычно подчиняются свойству масштабной инвариантности, которое дает степенное поведение для величин с разным разрешением в зависимости от их масштаба . В зависимости от исследуемого объекта эти величины с разным разрешением, обозначаемые как , могут быть локальными средними в прямоугольниках размера , градиентами по расстоянию , вейвлет-коэффициентами в масштабе и т. Д. Для мультифрактальных объектов обычно наблюдается глобальное степенное масштабирование формы : ^{[ необходима ссылка ]}${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D (h)}$ ${\ displaystyle \ zeta (q), \ q \ in {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle T_ {X} (а)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ langle T_ {X} (а) ^ {q} \ rangle \ sim a ^ {\ zeta (q)} \}$

хотя бы в каком-то диапазоне масштабов и для какого-то диапазона заказов . Когда такое поведение наблюдается, говорят о масштабной инвариантности, самоподобии или многомасштабности. ^[19]${\ displaystyle q}$

Оценка [ править ]

Используя так называемый мультифрактальный формализм , можно показать, что при некоторых хорошо подходящих предположениях существует соответствие между спектром сингулярностей и многомасштабными показателями через преобразование Лежандра . Хотя определение требует некоторого исчерпывающего локального анализа данных, который приведет к сложным и численно нестабильным расчетам, оценка основывается на использовании статистических средних и линейных регрессий в логарифмических диаграммах. Как только известны, можно вывести оценку благодаря простому преобразованию Лежандра. ^{[ необходима цитата ]}${\ displaystyle D (h)}$${\ displaystyle \ zeta (q)}$${\ displaystyle D (h)}$${\ displaystyle \ zeta (q)}$${\ displaystyle \ zeta (q)}$${\ displaystyle D (h),}$

Мультифрактальные системы часто моделируются случайными процессами, такими как мультипликативные каскады . Статистически интерпретированы, так как они характеризуют эволюцию распределений , как идет от больших к меньшим шкалам. Эта эволюция часто называется статистической перемежаемостью и свидетельствует об отходе от гауссовых моделей. ^{[ необходима цитата ]}${\ displaystyle \ zeta (q)}$${\ Displaystyle T_ {X} (а)}$${\ displaystyle a}$

Моделирование в виде мультипликативного каскада также приводит к оценке мультифрактальных свойств. Roberts & Cronin 1996 Этот метод работает достаточно хорошо даже для относительно небольших наборов данных. Максимально вероятное соответствие мультипликативного каскада набору данных не только оценивает полный спектр, но и дает разумные оценки ошибок. ^[20]ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRobertsCronin1996 ( помощь )

Оценка мультифрактального масштабирования по подсчету ящиков [ править ]

Мультифрактальные спектры могут быть определены из ящика на цифровых изображениях. Сначала выполняется сканирование с подсчетом ящиков, чтобы определить, как распределены пиксели; затем это «массовое распределение» становится основой для серии расчетов. ^{[21] [22] [23]} Основная идея состоит в том, что для мультифракталов вероятность появления некоторого количества пикселей в прямоугольнике зависит от его размера до некоторого показателя степени , который изменяется по изображению, как в уравнении 0.0. ( NB : для монофракталов, напротив, показатель степени не меняется значимо по набору). вычисляется из распределения пикселей с подсчетом ящиков, как в уравнении 2.0 . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle P}$

${\displaystyle P_{[i,\epsilon ]}\varpropto \epsilon ^{-\alpha _{i}}\therefore \alpha _{i}\varpropto {\frac {\log {P_{[i,\epsilon ]}}}{\log {\epsilon ^{-1}}}}}$

( Ур. 0.0 )

${\displaystyle \epsilon }$= произвольный масштаб ( размер ящика при подсчете ящиков), в котором исследуется набор

${\displaystyle i}$ = индекс для каждого блока, наложенного на набор для ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$= количество пикселей или масса в любом блоке , при размере${\displaystyle i}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{\epsilon }}$ = общее количество блоков, содержащих более 0 пикселей, для каждого ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle M_{\epsilon }=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}m_{[i,\epsilon ]}=}$ общая масса или сумма пикселей во всех полях для этого ${\displaystyle \epsilon }$

( Уравнение 1.0 )

${\displaystyle P_{[i,\epsilon ]}={\frac {m_{[i,\epsilon ]}}{M_{\epsilon }}}=}$вероятность этой массы по отношению к общей массе для размера коробки${\displaystyle i}$

( Уравнение 2.0 )

${\displaystyle P}$используется для наблюдения за поведением распределения пикселей при определенном искажении, как в уравнениях 3.0 и 3.1 :

${\displaystyle Q}$ = произвольный диапазон значений для использования в качестве показателей для искажения набора данных

${\displaystyle I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{P_{[i,\epsilon ]}^{Q}}=}$ сумма всех вероятностей масс, искаженная при увеличении до этого Q, для этого размера коробки

( Ур. 3.0 )

• Когда , Eq.3.0 равен 1, обычная сумма всех вероятностей, и когда каждый член равен 1, так что сумма равна числу подсчитанных коробок, .${\displaystyle Q=1}$${\displaystyle Q=0}$${\displaystyle N_{\epsilon }}$

${\displaystyle \mu _{{(Q)}_{[i,\epsilon ]}}={\frac {P_{[i,\epsilon ]}^{Q}}{I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}=}$ как вероятность искаженной массы в коробке сравнивается с искаженной суммой по всем коробкам при этом размере коробки

( Уравнение 3.1 )

Эти искажающие уравнения далее используются для выяснения того, как ведет себя набор при масштабировании, разрешении или разрезании на серию кусков одного размера и искажении на Q, чтобы найти различные значения для измерения набора, как показано ниже:${\displaystyle \epsilon }$

• Важной особенностью уравнения 3.0 является то, что оно также изменяется в зависимости от масштаба, возведенного в степень в уравнении 4.0 :${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}\varpropto \epsilon ^{\tau _{(Q)}}}$

( Ур. 4.0 )

Таким образом, ряд значений для может быть найден по наклонам линии регрессии для журнала уравнения 3.0 в сравнении с журналом для каждого , на основе уравнения 4.1 :${\displaystyle \tau _{(Q)}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \tau _{(Q)}={\lim _{\epsilon \to 0}{\left[{\frac {\log {I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}{\log {\epsilon }}}\right]}}}$

( Уравнение 4.1 )

• Для обобщенного измерения:

${\displaystyle D_{(Q)}={\lim _{\epsilon \to 0}{\left[{\frac {\log {I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}{\log {\epsilon ^{-1}}}}\right]}}{(1-Q)^{-1}}}$

( Уравнение 5.0 )

${\displaystyle D_{(Q)}={\frac {\tau _{(Q)}}{Q-1}}}$

( Уравнение 5.1 )

${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{}}=D_{(Q)}\left(Q-1\right)}$

( Уравнение 5.2 )

${\displaystyle \tau _{(Q)}=\alpha _{(Q)}Q-f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

( Ур. 5.3 )

• ${\displaystyle \alpha _{(Q)}}$оценивается как наклон линии регрессии для log A _{, Q по${\displaystyle \epsilon }$} сравнению с log,${\displaystyle \epsilon }$ где:

${\displaystyle A_{\epsilon ,Q}=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{\mu _{{i,\epsilon }_{Q}}{P_{{i,\epsilon }_{Q}}}}}$

( Уравнение 6.0 )

• Тогда находится из уравнения 5.3 .${\displaystyle f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

• Среднее значение оценивается как наклон линии логарифмической регрессии для versus , где:${\displaystyle \tau _{(Q)}}$${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \tau _{(Q)_{[\epsilon ]}}={\frac {\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{P_{[i,\epsilon ]}^{Q-1}}}{N_{\epsilon }}}}$

( Уравнение 6.1 )

На практике распределение вероятностей зависит от того, как производится выборка набора данных, поэтому были разработаны алгоритмы оптимизации для обеспечения адекватной выборки. ^[21]

Приложения [ править ]

Мультифрактальный анализ успешно используется во многих областях, включая физические, информационные и биологические науки. ^[24] Например, количественная оценка остаточных трещин на поверхности железобетонных стен, сдвинутых на сдвиг. ^[25]

Анализ искажения набора данных [ править ]

Мультифрактальный анализ использовался в нескольких научных областях для характеристики различных типов наборов данных. ^{[26] [4] [7]} По сути, мультифрактальный анализ применяет фактор искажения к наборам данных, извлеченным из шаблонов, чтобы сравнить, как данные ведут себя при каждом искажении. Это делается с помощью графиков, известных как мультифрактальные спектры , аналогично просмотру набора данных через «искажающую линзу», как показано на рисунке . ^[21] На практике используются несколько типов мультифрактальных спектров.

D _Q vs Q [ править ]

Одним из практических мультифрактальных спектров является график зависимости D _Q от Q, где D _Q - это обобщенная размерность для набора данных, а Q - произвольный набор показателей. Таким образом, выражение обобщенное измерение относится к набору измерений для набора данных (подробные вычисления для определения обобщенного измерения с использованием подсчета ячеек описаны ниже ).

Порядок измерений [ править ]

Общий шаблон графика D _Q vs Q может использоваться для оценки масштабирования в шаблоне. График обычно уменьшается, сигмоидальный вокруг Q = 0, где D _{(Q = 0)} ≥ D _{(Q = 1)} ≥ D _{(Q = 2)} . Как показано на рисунке , вариации в этом графическом спектре могут помочь различать шаблоны. На изображении представлены D _(Q) спектры мультифрактального анализа бинарных изображений не-, моно- и мультифрактальных множеств. Как и в случае с образцами изображений, не- и монофракталы имеют тенденцию иметь более плоский спектр D _(Q), чем мультифракталы.

Обобщенное измерение также дает важную конкретную информацию. D _{(Q = 0)} равно измерению емкости , которое - в анализе, показанном на рисунках здесь, - является измерением подсчета ящиков . D _{(Q = 1)} равно информационному измерению , а D _{(Q = 2)} - корреляционному измерению . Это относится к "мульти" в мультифрактале, где мультифракталы имеют несколько измерений в спектрах D _(Q) и Q, но монофракталы остаются довольно плоскими в этой области. ^{[21] [22]}

${\displaystyle f(\alpha )}$против ${\displaystyle \alpha }$[ править ]

Еще один полезный мультифрактальный спектр - это график зависимости (см. Расчеты ). Эти графики обычно поднимаются до максимума, который приблизительно соответствует фрактальной размерности при Q = 0, а затем падают. Подобно спектрам D _Q и Q, они также показывают типичные паттерны, полезные для сравнения нефрактальных, монофрактальных и мультифрактальных паттернов. В частности, для этих спектров не- и монофракталы сходятся на определенных значениях, тогда как спектры от мультифрактальных паттернов обычно образуют горбы на более широкой площади.${\displaystyle f(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$

Обобщенные измерения распределения численности видов в космосе [ править ]

Одно из применений D _{q по} сравнению с Q в экологии - характеристика распределения видов. Традиционно относительная численность видов рассчитывается для района без учета местонахождения особей. Эквивалентным представлением относительной численности видов являются ранги видов, используемые для создания поверхности, называемой поверхностью видового ранга ^[27], которую можно анализировать с использованием обобщенных измерений для обнаружения различных экологических механизмов, подобных тем, которые наблюдаются в нейтральной теории биоразнообразия , метасообществе динамика , или нишевая теория . ^{[27] [28]}

См. Также [ править ]

• Дробное броуновское движение
• Анализ колебаний без тренда
• Распределения твиди
• Марковский переключающий мультифрактал
• Планарная взвешенная стохастическая решетка (WPSL) ^[29]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Венециано, Даниэле; Эссиам, Альберт К. (1 июня 2003 г.). «Течение пористой среды с мультифрактальной гидравлической проводимостью» . Исследование водных ресурсов . 39 (6): 1166. Bibcode : 2003WRR .... 39.1166V . DOI : 10.1029 / 2001WR001018 . ISSN  1944-7973 .

Внешние ссылки [ править ]

• Стэнли HE, Микин П. (1988). «Мультифрактальные явления в физике и химии» (Обзор) . Природа . 335 (6189): 405–9. Bibcode : 1988Natur.335..405S . DOI : 10.1038 / 335405a0 . S2CID  4318433 .
• Арнеодо, Ален; Аудит, Бенджамин; Кестенер, Пьер; Ру, Стефан (2008). «Мультифрактальный анализ на основе вейвлетов» . Scholarpedia . 3 (3): 4103. Bibcode : 2008SchpJ ... 3.4103A . DOI : 10,4249 / scholarpedia.4103 . ISSN  1941-6016 .
• Фильмы визуализаций мультифракталов