Временная последовательность

Временной ряд: случайные данные плюс тренд, с наиболее подходящей линией и различными примененными фильтрами

В математике , А временный ряд представляет собой ряд точек данных , индексированные (или перечисленные или графический) во временном порядке. Чаще всего временной ряд представляет собой последовательность, взятую в последовательные равноотстоящие моменты времени. Таким образом, это последовательность данных с дискретным временем . Примерами временных рядов являются высота океанских приливов , количество солнечных пятен и дневное значение индекса Dow Jones Industrial Average на момент закрытия .

Временные ряды очень часто строятся с помощью графиков прогона ( график временных линий ). Временные ряды используются в статистике , обработках сигналов , распознавание образов , эконометрика , математические финансы , прогнозирование погоды , прогнозирование землетрясений , электроэнцефалография , контроль инженерное , астрономия , инженерные коммуникации , и в значительной степени в любой области прикладной науки и техники , которая включает в себя временные измерения.

Анализ временных рядов включает методы анализа данных временных рядов с целью извлечения значимой статистики и других характеристик данных. Прогнозирование временных рядов - это использование модели для прогнозирования будущих значений на основе ранее наблюдаемых значений. Хотя регрессионный анализ часто используется для проверки взаимосвязей между еще одним разными временными рядами, этот тип анализа обычно не называют «анализом временных рядов», который, в частности, относится к отношениям между разными моментами времени в пределах одного ряда. . Прерванный временной ряд Анализ используется для обнаружения изменений в эволюции временного ряда от до и после некоторого вмешательства, которое может повлиять на основную переменную.

Данные временных рядов имеют естественный временной порядок. Это отличает анализ временных рядов от перекрестных исследований , в которых нет естественного упорядочивания наблюдений (например, объяснение заработной платы людей со ссылкой на их соответствующий уровень образования, где данные отдельных лиц можно вводить в любом порядке). Анализ временных рядов также отличается от анализа пространственных данных, где наблюдения обычно относятся к географическому местоположению (например, учет цен на жилье по местоположению, а также внутренних характеристик домов). стохастическийМодель для временного ряда обычно будет отражать тот факт, что наблюдения, близкие друг к другу во времени, будут более тесно связаны, чем наблюдения дальше друг от друга. Кроме того, модели временных рядов часто используют естественное одностороннее упорядочение времени, так что значения для данного периода будут выражаться как производные каким-то образом из прошлых значений, а не из будущих значений (см. Обратимость во времени ).

Анализ временных рядов может применяться к действительным , непрерывным данным, дискретным числовым данным или дискретным символьным данным (т. Е. Последовательностям символов, таких как буквы и слова на английском языке ^[1] ).

Методы анализа [ править ]

Методы анализа временных рядов можно разделить на два класса: методы частотной области и методы временной области . Первые включают спектральный анализ и вейвлет-анализ ; последние включают автокорреляционный и кросс-корреляционный анализ. Во временной области корреляция и анализ могут выполняться аналогично фильтру с использованием масштабированной корреляции , тем самым уменьшая необходимость работы в частотной области.

Кроме того, методы анализа временных рядов можно разделить на параметрические и непараметрические методы. В параметрические методы предполагают , что основной стационарный случайный процесс имеет определенную структуру , которую можно описать с помощью небольшого числа параметров (например, с помощью авторегрессии или скользящей средней модели ). В этих подходах задача состоит в оценке параметров модели, описывающей случайный процесс. Напротив, непараметрические подходы явно оценивают ковариацию или спектр процесса, не предполагая, что процесс имеет какую-либо конкретную структуру.

Методы анализа временных рядов также можно разделить на линейные и нелинейные , одномерные и многомерные .

Данные панели [ править ]

Временной ряд - это один из типов панельных данных . Панельные данные - это общий класс, многомерный набор данных, тогда как набор данных временных рядов - это одномерная панель (как и набор поперечных сечений ). Набор данных может демонстрировать характеристики как панельных данных, так и данных временных рядов. Один из способов выяснить это - спросить, что отличает одну запись данных от других. Если ответом является поле временных данных, то это кандидат на набор данных временного ряда. Если для определения уникальной записи требуется поле данных времени и дополнительный идентификатор, не связанный со временем (студенческий билет, символ акций, код страны), то это кандидат на данные панели. Если различие заключается в не-временном идентификаторе, то набор данных является кандидатом на набор перекрестных данных.

Анализ [ править ]

Для временных рядов доступно несколько типов мотивации и анализа данных, которые подходят для разных целей.

Мотивация [ править ]

В контексте статистики , эконометрики , количественных финансов , сейсмологии , метеорологии и геофизики основной целью анализа временных рядов является прогнозирование . В контексте обработки сигналов , техники управления и связи он используется для обнаружения сигналов. Другое применение - интеллектуальный анализ данных , распознавание образов и машинное обучение , где анализ временных рядов может использоваться для кластеризации , ^{[2] [3]} классификации., ^[4] запрос по содержанию, ^[5] обнаружение аномалий, а также прогнозирование . ^{[ необходима цитата ]}

Исследовательский анализ [ править ]

Простой способ изучить обычный временной ряд - это вручную с помощью линейного графика . Справа показан пример диаграммы заболеваемости туберкулезом в Соединенных Штатах, сделанный с помощью программы для работы с электронными таблицами. Количество случаев было стандартизировано по ставке на 100 000 и рассчитано процентное изменение этой ставки за год. Линия, которая почти неуклонно опускается, показывает, что заболеваемость туберкулезом снижалась на протяжении многих лет, но процентное изменение этого показателя варьировалось на целых +/- 10% с «всплесками» в 1975 году и примерно в начале 1990-х годов. Использование обеих вертикальных осей позволяет сравнивать два временных ряда на одном графике.

Другие методы включают:

• Автокорреляционный анализ для изучения серийной зависимости
• Спектральный анализ для изучения циклического поведения, которое не обязательно связано с сезонностью . Например, активность солнечных пятен колеблется в течение 11-летних циклов. ^{[6] [7]} Другие распространенные примеры включают небесные явления, погодные условия, нейронную активность, цены на товары и экономическую активность.
• Разделение на компоненты, представляющие тренд, сезонность, медленное и быстрое изменение и циклическую неравномерность: см. Оценку тренда и разложение временных рядов

Аппроксимация кривой [ править ]

Аппроксимация кривой ^{[8] [9]} - это процесс построения кривой или математической функции , которая наилучшим образом соответствует серии точек данных ^[10], возможно, с учетом ограничений. ^{[11] [12]} Кривая фитинг может включать в себя либо интерполяции , ^{[13] [14]} , где точное соответствие с данными требуется, или сглаживание , ^{[15] [16]} , в которой «сглаживать» функция построена , что примерно подходит данные. Родственная тема регрессионный анализ , ^{[17] [18]} , который больше фокусируется на вопросахstatistical inference such as how much uncertainty is present in a curve that is fit to data observed with random errors. Fitted curves can be used as an aid for data visualization,^[19][20] to infer values of a function where no data are available,^[21] and to summarize the relationships among two or more variables.^[22] Extrapolation refers to the use of a fitted curve beyond the range of the observed data,^[23] and is subject to a degree of uncertainty^[24] since it may reflect the method used to construct the curve as much as it reflects the observed data.

The construction of economic time series involves the estimation of some components for some dates by interpolation between values ("benchmarks") for earlier and later dates. Interpolation is estimation of an unknown quantity between two known quantities (historical data), or drawing conclusions about missing information from the available information ("reading between the lines").^[25] Interpolation is useful where the data surrounding the missing data is available and its trend, seasonality, and longer-term cycles are known. This is often done by using a related series known for all relevant dates.^[26] Alternatively polynomial interpolation or spline interpolation is used where piecewise polynomial functions are fit into time intervals such that they fit smoothly together. A different problem which is closely related to interpolation is the approximation of a complicated function by a simple function (also called regression).The main difference between regression and interpolation is that polynomial regression gives a single polynomial that models the entire data set. Spline interpolation, however, yield a piecewise continuous function composed of many polynomials to model the data set.

Extrapolation is the process of estimating, beyond the original observation range, the value of a variable on the basis of its relationship with another variable. It is similar to interpolation, which produces estimates between known observations, but extrapolation is subject to greater uncertainty and a higher risk of producing meaningless results.

Function approximation[edit]

In general, a function approximation problem asks us to select a function among a well-defined class that closely matches ("approximates") a target function in a task-specific way. One can distinguish two major classes of function approximation problems: First, for known target functions approximation theory is the branch of numerical analysis that investigates how certain known functions (for example, special functions) can be approximated by a specific class of functions (for example, polynomials or rational functions) that often have desirable properties (inexpensive computation, continuity, integral and limit values, etc.).

Second, the target function, call it g, may be unknown; instead of an explicit formula, only a set of points (a time series) of the form (x, g(x)) is provided. Depending on the structure of the domain and codomain of g, several techniques for approximating g may be applicable. For example, if g is an operation on the real numbers, techniques of interpolation, extrapolation, regression analysis, and curve fitting can be used. If the codomain (range or target set) of g is a finite set, one is dealing with a classification problem instead. A related problem of online time series approximation^[27] is to summarize the data in one-pass and construct an approximate representation that can support a variety of time series queries with bounds on worst-case error.

To some extent the different problems (regression, classification, fitness approximation) have received a unified treatment in statistical learning theory, where they are viewed as supervised learning problems.

Prediction and forecasting[edit]

In statistics, prediction is a part of statistical inference. One particular approach to such inference is known as predictive inference, but the prediction can be undertaken within any of the several approaches to statistical inference. Indeed, one description of statistics is that it provides a means of transferring knowledge about a sample of a population to the whole population, and to other related populations, which is not necessarily the same as prediction over time. When information is transferred across time, often to specific points in time, the process is known as forecasting.

• Fully formed statistical models for stochastic simulation purposes, so as to generate alternative versions of the time series, representing what might happen over non-specific time-periods in the future
• Simple or fully formed statistical models to describe the likely outcome of the time series in the immediate future, given knowledge of the most recent outcomes (forecasting).
• Forecasting on time series is usually done using automated statistical software packages and programming languages, such as Julia, Python, R, SAS, SPSS and many others.
• Forecasting on large scale data can be done with Apache Spark using the Spark-TS library, a third-party package.^[28]

Classification[edit]

Assigning time series pattern to a specific category, for example identify a word based on series of hand movements in sign language.

Signal estimation[edit]

This approach is based on harmonic analysis and filtering of signals in the frequency domain using the Fourier transform, and spectral density estimation, the development of which was significantly accelerated during World War II by mathematician Norbert Wiener, electrical engineers Rudolf E. Kálmán, Dennis Gabor and others for filtering signals from noise and predicting signal values at a certain point in time. See Kalman filter, Estimation theory, and Digital signal processing

Segmentation[edit]

Splitting a time-series into a sequence of segments. It is often the case that a time-series can be represented as a sequence of individual segments, each with its own characteristic properties. For example, the audio signal from a conference call can be partitioned into pieces corresponding to the times during which each person was speaking. In time-series segmentation, the goal is to identify the segment boundary points in the time-series, and to characterize the dynamical properties associated with each segment. One can approach this problem using change-point detection, or by modeling the time-series as a more sophisticated system, such as a Markov jump linear system.

Models[edit]

Models for time series data can have many forms and represent different stochastic processes. When modeling variations in the level of a process, three broad classes of practical importance are the autoregressive (AR) models, the integrated (I) models, and the moving average (MA) models. These three classes depend linearly on previous data points.^[29] Combinations of these ideas produce autoregressive moving average (ARMA) and autoregressive integrated moving average (ARIMA) models. The autoregressive fractionally integrated moving average (ARFIMA) model generalizes the former three. Extensions of these classes to deal with vector-valued data are available under the heading of multivariate time-series models and sometimes the preceding acronyms are extended by including an initial "V" for "vector", as in VAR for vector autoregression. An additional set of extensions of these models is available for use where the observed time-series is driven by some "forcing" time-series (which may not have a causal effect on the observed series): the distinction from the multivariate case is that the forcing series may be deterministic or under the experimenter's control. For these models, the acronyms are extended with a final "X" for "exogenous".

Non-linear dependence of the level of a series on previous data points is of interest, partly because of the possibility of producing a chaotic time series. However, more importantly, empirical investigations can indicate the advantage of using predictions derived from non-linear models, over those from linear models, as for example in nonlinear autoregressive exogenous models. Further references on nonlinear time series analysis: (Kantz and Schreiber),^[30] and (Abarbanel)^[31]

Among other types of non-linear time series models, there are models to represent the changes of variance over time (heteroskedasticity). These models represent autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) and the collection comprises a wide variety of representation (GARCH, TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH, etc.). Here changes in variability are related to, or predicted by, recent past values of the observed series. This is in contrast to other possible representations of locally varying variability, where the variability might be modelled as being driven by a separate time-varying process, as in a doubly stochastic model.

In recent work on model-free analyses, wavelet transform based methods (for example locally stationary wavelets and wavelet decomposed neural networks) have gained favor. Multiscale (often referred to as multiresolution) techniques decompose a given time series, attempting to illustrate time dependence at multiple scales. See also Markov switching multifractal (MSMF) techniques for modeling volatility evolution.

A Hidden Markov model (HMM) is a statistical Markov model in which the system being modeled is assumed to be a Markov process with unobserved (hidden) states. An HMM can be considered as the simplest dynamic Bayesian network. HMM models are widely used in speech recognition, for translating a time series of spoken words into text.

Notation[edit]

A number of different notations are in use for time-series analysis. A common notation specifying a time series X that is indexed by the natural numbers is written

X = (X₁, X₂, ...).

Another common notation is

Y = (Y_t: t ∈ T),

where T is the index set.

Conditions[edit]

There are two sets of conditions under which much of the theory is built:

• Stationary process
• Ergodic process

However, ideas of stationarity must be expanded to consider two important ideas: strict stationarity and second-order stationarity. Both models and applications can be developed under each of these conditions, although the models in the latter case might be considered as only partly specified.

In addition, time-series analysis can be applied where the series are seasonally stationary or non-stationary. Situations where the amplitudes of frequency components change with time can be dealt with in time-frequency analysis which makes use of a time–frequency representation of a time-series or signal.^[32]

Tools[edit]

Tools for investigating time-series data include:

• Consideration of the autocorrelation function and the spectral density function (also cross-correlation functions and cross-spectral density functions)
• Scaled cross- and auto-correlation functions to remove contributions of slow components^[33]
• Performing a Fourier transform to investigate the series in the frequency domain
• Use of a filter to remove unwanted noise
• Principal component analysis (or empirical orthogonal function analysis)
• Singular spectrum analysis
• "Structural" models:
  • General State Space Models
  • Unobserved Components Models
• Machine Learning
  • Artificial neural networks
  • Support vector machine
  • Fuzzy logic
  • Gaussian process
  • Hidden Markov model
• Queueing theory analysis
• Control chart
  • Shewhart individuals control chart
  • CUSUM chart
  • EWMA chart
• Detrended fluctuation analysis
• Nonlinear mixed-effects modeling
• Dynamic time warping^[34]
• Cross-correlation^[35]
• Dynamic Bayesian network
• Time-frequency analysis techniques:
  • Fast Fourier transform
  • Continuous wavelet transform
  • Short-time Fourier transform
  • Chirplet transform
  • Fractional Fourier transform
• Chaotic analysis
  • Correlation dimension
  • Recurrence plots
  • Recurrence quantification analysis
  • Lyapunov exponents
  • Entropy encoding

Measures[edit]

Time series metrics or features that can be used for time series classification or regression analysis:^[36]

• Univariate linear measures
  • Moment (mathematics)
  • Spectral band power
  • Spectral edge frequency
  • Accumulated Energy (signal processing)
  • Characteristics of the autocorrelation function
  • Hjorth parameters
  • FFT parameters
  • Autoregressive model parameters
  • Mann–Kendall test
• Univariate non-linear measures
  • Measures based on the correlation sum
  • Correlation dimension
  • Correlation integral
  • Correlation density
  • Correlation entropy
  • Approximate entropy^[37]
  • Sample entropy
  • Fourier entropyuk
  • Wavelet entropy
  • Rényi entropy
  • Higher-order methods
  • Marginal predictability
  • Dynamical similarity index
  • State space dissimilarity measures
  • Lyapunov exponent
  • Permutation methods
  • Local flow
• Other univariate measures
  • Algorithmic complexity
  • Kolmogorov complexity estimates
  • Hidden Markov Model states
  • Rough path signature^[38]
  • Surrogate time series and surrogate correction
  • Loss of recurrence (degree of non-stationarity)
• Bivariate linear measures
  • Maximum linear cross-correlation
  • Linear Coherence (signal processing)
• Bivariate non-linear measures
  • Non-linear interdependence
  • Dynamical Entrainment (physics)
  • Measures for Phase synchronization
  • Measures for Phase locking
• Similarity measures:^[39]
  • Cross-correlation
  • Dynamic Time Warping^[34]
  • Hidden Markov Models
  • Edit distance
  • Total correlation
  • Newey–West estimator
  • Prais–Winsten transformation
  • Data as Vectors in a Metrizable Space
    • Minkowski distance
    • Mahalanobis distance
  • Data as time series with envelopes
    • Global standard deviation
    • Local standard deviation
    • Windowed standard deviation
  • Data interpreted as stochastic series
    • Pearson product-moment correlation coefficient
    • Spearman's rank correlation coefficient
  • Data interpreted as a probability distribution function
    • Kolmogorov–Smirnov test
    • Cramér–von Mises criterion

Visualization[edit]

Time series can be visualized with two categories of chart: Overlapping Charts and Separated Charts. Overlapping Charts display all-time series on the same layout while Separated Charts presents them on different layouts (but aligned for comparison purpose)^[40]

Overlapping charts[edit]

• Braided graphs
• Line charts
• Slope graphs
• GapChartfr

Separated charts[edit]

• Horizon graphs
• Reduced line chart (small multiples)
• Silhouette graph
• Circular silhouette graph

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

• Box, George; Jenkins, Gwilym (1976), Time Series Analysis: forecasting and control, rev. ed., Oakland, California: Holden-Day
• Durbin J., Koopman S.J. (2001), Time Series Analysis by State Space Methods, Oxford University Press.
• Gershenfeld, Neil (2000), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4, OCLC 174825352
• Hamilton, James (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04289-3
• Priestley, M. B. (1981), Spectral Analysis and Time Series, Academic Press. ISBN 978-0-12-564901-8
• Shasha, D. (2004), High Performance Discovery in Time Series, Springer, ISBN 978-0-387-00857-8
• Shumway R. H., Stoffer D. S. (2017), Time Series Analysis and its Applications: With R Examples (ed. 4), Springer, ISBN 978-3-319-52451-1
• Weigend A. S., Gershenfeld N. A. (Eds.) (1994), Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past. Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop on Comparative Time Series Analysis (Santa Fe, May 1992), Addison-Wesley.
• Wiener, N. (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series, MIT Press.
• Woodward, W. A., Gray, H. L. & Elliott, A. C. (2012), Applied Time Series Analysis, CRC Press.

External links[edit]

Wikimedia Commons has media related to Time series.

• Introduction to Time series Analysis (Engineering Statistics Handbook) — A practical guide to Time series analysis.