В обработке сигналов , A нелинейной (или нелинейной ) фильтр представляет собой фильтр , выход которого не является линейной функцией от его входа. То есть, если фильтр выводит сигналы R и S для двух входных сигналов r и s отдельно, но не всегда выводит αR + βS, когда вход представляет собой линейную комбинацию αr + βs .
Как непрерывные, так и дискретные фильтры могут быть нелинейными. Простым примером первого может быть электрическое устройство, выходное напряжение которого R ( t ) в любой момент является квадратом входного напряжения r ( t ); или вход, ограниченный фиксированным диапазоном [ a , b ], а именно R ( t ) = max ( a , min ( b , r ( t ))). Важным примером последнего является фильтр бегущей медианы , так что каждая выходная выборка R i является медианной из трех последних входных выборок r i , r i -1 , r i -2 . Подобно линейным фильтрам, нелинейные фильтры могут быть инвариантными к сдвигу или нет.
Нелинейные фильтры имеют множество применений, особенно при удалении некоторых типов шума , которые не являются аддитивными . Например, медианный фильтр широко используется для удаления пикового шума, который влияет только на небольшой процент выборок, возможно, в очень больших количествах. В самом деле, все радиоприемники использовать нелинейные фильтры для преобразования кило- для гигагерц сигналов в аудио диапазона частот; и вся цифровая обработка сигналов зависит от нелинейных фильтров ( аналого-цифровых преобразователей ) для преобразования аналоговых сигналов в двоичные числа .
Однако нелинейные фильтры значительно сложнее использовать и проектировать, чем линейные, потому что с ними нельзя использовать самые мощные математические инструменты анализа сигналов (такие как импульсная характеристика и частотная характеристика ). Таким образом, например, линейные фильтры часто используются для удаления шума и искажений, которые были созданы нелинейными процессами просто потому, что правильный нелинейный фильтр было бы слишком сложно спроектировать и сконструировать.
Из вышесказанного мы можем узнать, что нелинейные фильтры ведут себя совершенно иначе, чем линейные фильтры. Наиболее важной характеристикой является то, что для нелинейных фильтров выходной сигнал или отклик фильтра не подчиняются принципам, изложенным ранее, в частности, масштабированию и инвариантности сдвига. Кроме того, нелинейный фильтр может давать результаты, которые меняются не интуитивно.
Линейная система
Несколько принципов определяют линейную систему . Основное определение линейности состоит в том, что выход должен быть линейной функцией входов, то есть
для любых скалярных значений а также . Это фундаментальное свойство линейного проектирования систем, известное как суперпозиция. Итак, система называется нелинейной, если это уравнение неверно. То есть, когда система является линейной, может применяться принцип суперпозиции. Этот важный факт является причиной того, что методы анализа линейных систем так хорошо развиты.
Приложения
Удаление шума
Сигналы часто искажаются во время передачи или обработки; Частой целью при проектировании фильтров является восстановление исходного сигнала, процесс, обычно называемый «удалением шума». Самый простой тип коррупции является аддитивный шум, когда требуемый сигнал S добавляется с нежелательным сигналом N , который не известной связи с S . Если шум N имеет простое статистическое описание, такое как гауссовский шум , то фильтр Калмана уменьшит N и восстановит S до степени, допускаемой теоремой Шеннона . В частности, если S и N не перекрываются в частотной области , они могут быть полностью разделены линейными полосовыми фильтрами .
С другой стороны, почти для любой другой формы шума потребуется какой-то нелинейный фильтр для максимального восстановления сигнала. Для мультипликативного шума (который умножается на сигнал, а не добавляется к нему), например, может быть достаточно преобразовать входные данные в логарифмический масштаб , применить линейный фильтр, а затем преобразовать результат в линейный масштаб . В этом примере первый и третий шаги не линейны.
Нелинейные фильтры также могут быть полезны, когда определенные «нелинейные» характеристики сигнала более важны, чем общее содержание информации. В области цифровой обработки изображений , например, один , возможно , пожелает сохранить остроту силуэт краев объектов на фотографиях, или подключение линий в сканированных чертежей. Фильтр линейного удаления шума обычно размывает эти особенности; нелинейный фильтр может дать более удовлетворительные результаты (даже если размытое изображение может быть более «правильным» в теоретико-информационном смысле).
Многие нелинейные фильтры шумоподавления работают во временной области. Обычно они исследуют входной цифровой сигнал в конечном окне, окружающем каждую выборку, и используют некоторую статистическую модель вывода (неявно или явно) для оценки наиболее вероятного значения для исходного сигнала в этой точке. Конструкция таких фильтров известна как фильтрация задача для стохастического процесса в теории оценивания и теории управления .
Примеры нелинейных фильтров:
Нелинейные фильтры также занимают решающее место в функциях обработки изображений. В типичном конвейере для обработки изображений в реальном времени обычно используется много нелинейных фильтров, включенных для формирования, формы, обнаружения и управления информацией об изображении. Кроме того, каждый из этих типов фильтров может быть параметризован для работы одним способом при определенных обстоятельствах и другим способом при различных обстоятельствах, используя создание правил адаптивного фильтра. Цели варьируются от удаления шума до абстракции функций. Фильтрация данных изображения - стандартный процесс, используемый почти во всех системах обработки изображений. Нелинейные фильтры являются наиболее часто используемыми формами построения фильтров. Например, если изображение содержит небольшое количество шума, но относительно высокую величину, то медианный фильтр может быть более подходящим.
Фильтрация Кушнера – Стратоновича
Проблема оптимальной нелинейной фильтрации была решена в конце 1950-х - начале 1960-х годов Русланом Л. Стратоновичем [1] [2] [3] [4] и Гарольдом Дж. Кушнером . [5]
Решение Кушнера – Стратоновича представляет собой стохастическое уравнение в частных производных . В 1969 году Моше Закай представил упрощенную динамику ненормализованного условного закона фильтра, известного как уравнение Закая . [6] Мирей Шалея-Морель и Доминик Мишель [7] доказали, что решение в целом бесконечномерно и, как таковое, требует конечномерных приближений. Они могут быть на основе эвристики , такие как расширенный фильтр Калмана или фильтры предполагаемыми плотности , описываемой Peter S. Maybeck [8] или же проекционные фильтры , введенные Damiano Brigo , Bernard Hanzon и Франсуа Ле Железы , [9] некоторые суб-семей которые, как показано, совпадают с предполагаемыми фильтрами плотности . [10]
Фильтры передачи энергии
Фильтры передачи энергии - это класс нелинейных динамических фильтров, которые можно использовать для перемещения энергии определенным образом. [11] Энергия может быть перемещена в более высокие или более низкие полосы частот, распределена по заданному диапазону или сфокусирована. Возможны многие конструкции фильтров для передачи энергии, и они обеспечивают дополнительные степени свободы при проектировании фильтров, которые просто невозможны при использовании линейных схем.
Смотрите также
- Оценка подвижного горизонта
- Нелинейная система
- Фильтр твердых частиц
- Раздел фильтра Калмана без запаха в фильтре Калмана
Рекомендации
- ^ Руслан Л. Стратонович (1959), Оптимальные нелинейные системы, которые вызывают отделение сигнала с постоянными параметрами от шума . Радиофизика, том 2, выпуск 6, страницы 892–901.
- ↑ Руслан Л. Стратонович (1959). К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций . Теория вероятностей и ее приложения, том 4, страницы 223–225.
- ^ Руслан Л. Стратонович (1960), Применение теории марковских процессов к оптимальной фильтрации . Радиотехника и электронная физика, том 5, выпуск 11, страницы 1–19.
- ^ Руслан Л. Стратонович (1960), условные марковские процессы . Теория вероятностей и ее приложения, том 5, страницы 156–178.
- ^ Кушнер, Гарольд. (1967), Нелинейная фильтрация: точные динамические уравнения, которым удовлетворяет условный режим . IEEE Transactions on Automatic Control, том 12, выпуск 3, страницы 262–267
- ^ Моше Закай (1969), Об оптимальной фильтрации диффузионных процессов. Zeitung Wahrsch., Том 11, страницы 230–243. MR 242552Zbl 0164,19201 дои : 10.1007 / BF00536382
- ^ Chaleyat-Maurel, Мирей и Доминик Мишель (1984), Де resultats де небытия де FILTRE де измерение finie . Стохастик, том 13, выпуск 1 + 2, страницы 83–102.
- ^ Питер С. Можетек (1979), Стохастические модели, оценка и управление. Том 141, Серия «Математика в науке и технике», Academic Press
- ^ Дамиано Бриго, Бернар Хансон и Франсуа Легланд (1998) Дифференциально-геометрический подход к нелинейной фильтрации: фильтр проекции , транзакции IEEE по автоматическому управлению, том 43, выпуск 2, страницы 247–252.
- ^ Дамиано Бриго, Бернар Хансон и Франсуа Легланд (1999), Приближенная нелинейная фильтрация проекцией на экспоненциальные многообразия плотностей , Бернулли, том 5, выпуск 3, страницы 495–534
- ^ Биллингс С.А. " Нелинейная идентификация систем: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях ". Вайли, 2013
дальнейшее чтение
- Язвински, Эндрю Х. (1970). Случайные процессы и теория фильтрации . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-381550-9.
Внешние ссылки
- Страница профессора Ильи Шмулевича о нелинейной обработке сигналов