Тривиальность (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: Математика «Тривиальность» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( октябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике прилагательное trivial часто используется для обозначения утверждения или случая, которые могут быть легко получены из контекста, или объекта, который обладает простой структурой (например, группы , топологические пространства ). ^[1]^[2]^[3] Существительное « тривиальность» обычно относится к простому техническому аспекту какого-либо доказательства или определения. Происхождение термина в математическом языке происходит из средневековой учебной программы тривиума , которая отличается от более сложной учебной программы квадривиума . ^[2]^[4] Противоположность тривиальности нетривиальна., который обычно используется, чтобы указать, что пример или решение непросто, или что утверждение или теорему нелегко доказать. ^[1]^[3]

Тривиальные и нетривиальные решения [ править ]

В математике термин «тривиальный» часто используется для обозначения объектов (например, групп, топологических пространств) с очень простой структурой. К ним относятся, среди прочего,

Пустой набор : набор, содержащий нулевые или нулевые члены
Тривиальная группа : математическая группа, содержащая только элемент идентичности.
Тривиальное кольцо : кольцо, определенное на одноэлементном множестве

Термин « тривиальный » также может использоваться для описания решений уравнения, которые имеют очень простую структуру, но для полноты его нельзя опускать. Эти решения называются тривиальными решениями . Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

{\ displaystyle y '= y}

где - функция , производная которой равна . Тривиальное решение ${\ Displaystyle у = у (х)}$ ${\ displaystyle y '}$

{\ Displaystyle у (х) = 0}

, нулевая функция

в то время как нетривиальное решение

{\ Displaystyle у (х) = е ^ {х}}

, экспоненциальная функция .

Дифференциальное уравнение с граничными условиями важно в математике и физике, поскольку его можно использовать для описания частицы в ящике в квантовой механике или стоячей волны на струне. Он всегда включает решение , которое считается очевидным и поэтому называется «тривиальным» решением. В некоторых случаях могут быть другие решения ( синусоиды ), которые называются «нетривиальными» решениями. ^[5] ${\ displaystyle f '' (x) = - \ lambda f (x)}$ ${\ Displaystyle f (0) = f (L) = 0}$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$

Точно так же математики часто описывают Великую теорему Ферма как утверждение, что нет нетривиальных целочисленных решений уравнения , где n больше 2. Ясно, что есть некоторые решения уравнения. Например, является решением для любого n , но такие решения очевидны и доступны без особых усилий и, следовательно, «тривиальны». ${\ Displaystyle а ^ {п} + Ь ^ {п} = с ^ {п}}$ ${\ displaystyle a = b = c = 0}$

В математических рассуждениях [ править ]

Тривиальный может также относиться к любому простому случаю доказательства, которое для полноты нельзя игнорировать. Например, доказательства с помощью математической индукции состоят из двух частей: «базового случая», который показывает, что теорема верна для определенного начального значения (такого как n = 0 или n = 1), и индуктивного шага, который показывает, что если теорема верно для определенного значения n , то это также верно для значения n+ 1. Базовый случай часто тривиален и идентифицируется как таковой, хотя бывают ситуации, когда базовый случай сложен, но шаг индукции тривиален. Точно так же можно было бы доказать, что некоторым свойством обладают все члены определенного набора. В основной части доказательства рассмотрим случай непустого множества и подробно исследуем его члены; в случае, когда множество пусто, свойство тривиально принадлежит всем членам, поскольку их нет (подробнее см. пустую истину ).

В математическом сообществе распространена шутка, что «тривиальная» синонимична слову «доказано», то есть любую теорему можно считать «тривиальной», если известно, что она истинна. ^[2]

Другая шутка касается двух математиков, обсуждающих теорему: первый математик говорит, что теорема «тривиальна». В ответ на просьбу другого дать объяснения, он затем переходит к двадцатиминутному изложению. В конце объяснения второй математик соглашается, что теорема тривиальна. Эти анекдоты указывают на субъективность суждений о тривиальности. Шутка также применима, когда первый математик говорит, что теорема тривиальна, но не может доказать ее сам. Часто в шутку теорему называют «интуитивно очевидной». Кто-то, имеющий опыт в области математического анализа , например, счел бы следующее утверждение тривиальным:

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {2} \, dx = {\ frac {1} {3}}}

Однако для человека, не знакомого с интегральным исчислением, это совсем не очевидно.

Тривиальность также зависит от контекста. Доказательство в функциональном анализе , вероятно, при наличии числа тривиально предполагает существование большего числа. Однако при доказательстве основных результатов о натуральных числах в элементарной теории чисел доказательство вполне может опираться на замечание о том, что любое натуральное число имеет преемника - утверждение, которое само должно быть доказано или приниматься как аксиома (подробнее см. Аксиомы Пеано ).

Тривиальные доказательства [ править ]

В некоторых текстах, тривиальное доказательство ссылается на заявление с участием материала импликации P → Q, где следствие , Q , всегда верно. ^[6] Здесь, доказательство непосредственно вытекает в силе определения материальной импликации, так как подразумевается, правда , независимо от значения истинности в предшествующем P . ^[6]

Родственное понятие - пустая истина , где антецедент P в материальной импликации P → Q всегда ложен. ^[6] Здесь импликация всегда истинна, независимо от истинности последующего Q - опять же в силу определения материальной импликации. ^[6]

Примеры [ править ]

В теории чисел часто бывает важно найти факторы целого числа N . Любое число N имеет четыре очевидных факторов: ± 1 и ± N . Это так называемые «тривиальные факторы». Любой другой фактор, если он существует, был бы назван «нетривиальным». ^[7]
Однородное матричное уравнение , где - фиксированная матрица, - неизвестный вектор, а - нулевой вектор, имеет очевидное решение . Это называется «тривиальным решением». Если бы у него были другие решения , то их можно было бы назвать «нетривиальными» ^[8] ${\ Displaystyle А \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {х} \ neq \ mathbf {0}}$
В теории групп существует очень простая группа с одним элементом; ее часто называют «тривиальной группой». Все остальные группы, более сложные, называются «нетривиальными».
В теории графов тривиальный граф - это граф, у которого есть только одна вершина и нет ребра.
В теории баз данных есть письменная концепция, называемая функциональной зависимостью . Зависимость является истинным , если Y представляет собой подмножество из X , так что этот тип зависимости называется «тривиальной». Все остальные менее очевидные зависимости называются «нетривиальными». ${\ displaystyle X \ to Y}$ ${\ displaystyle X \ to Y}$
Можно показать, что дзета-функция Римана имеет нули при отрицательных четных числах −2, −4, ... Хотя доказательство сравнительно простое, этот результат все же обычно нельзя назвать тривиальным; однако это так, поскольку другие его нули, как правило, неизвестны, имеют важные приложения и связаны с открытыми вопросами (такими как гипотеза Римана ). Соответственно, отрицательные четные числа называются тривиальными нулями функции, а любые другие нули считаются нетривиальными.

См. Также [ править ]

Вырождение
Начальные и конечные объекты
Список математического жаргона
Патологический
Тривиализм
Тривиальная мера
Тривиальное представление
Тривиальная топология

Ссылки [ править ]

^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - тривиальный" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 14 декабря 2019 .
^ a b c Вайсштейн, Эрик В. "Тривиально" . mathworld.wolfram.com . Проверено 14 декабря 2019 .
^ a b «Математические слова: тривиально» . www.mathwords.com . Проверено 14 декабря 2019 .
^ Айто, Джон (1990). Словарь происхождения слов . Техасский университет Press. п. 542. ISBN. 1-55970-214-1. OCLC 33022699 .
^ Zachmanoglou, EC; Тхо, Дейл В. (1986). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными с приложениями . п. 309. ISBN. 9780486652511.
^ a b c d Чартранд, Гэри ; Polimeni, Albert D .; Чжан, Пинг (2008). Математические доказательства: переход к высшей математике (2-е изд.). Бостон: Пирсон / Эддисон Уэсли. п. 68 . ISBN 978-0-3-2139053-0.
Перейти ↑ Yan, Song Y. (2002). Теория чисел для вычислений (2-е, иллюстрированное изд.). Берлин: Springer. п. 250. ISBN 3-540-43072-5.
^ Джеффри, Алан (2004). Математика для инженеров и ученых (Шестое изд.). CRC Press. п. 502. ISBN. 1-58488-488-6.

Внешние ссылки [ править ]

Поищите тривиальное в Викисловаре, бесплатном словаре.

Тривиальная запись в MathWorld

[:0-1] "Окончательный словарь высшего математического жаргона - тривиальный" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 14 декабря 2019 .

[:1-2] Вайсштейн, Эрик В. "Тривиально" . mathworld.wolfram.com . Проверено 14 декабря 2019 .

[:2-3] «Математические слова: тривиально» . www.mathwords.com . Проверено 14 декабря 2019 .

[4] Айто, Джон (1990). Словарь происхождения слов . Техасский университет Press. п. 542. ISBN. 1-55970-214-1. OCLC 33022699 .

[5] Zachmanoglou, EC; Тхо, Дейл В. (1986). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными с приложениями . п. 309. ISBN. 9780486652511.

[Chartrand-6] Чартранд, Гэри ; Polimeni, Albert D .; Чжан, Пинг (2008). Математические доказательства: переход к высшей математике (2-е изд.). Бостон: Пирсон / Эддисон Уэсли. п. 68 . ISBN 978-0-3-2139053-0.

[7] Перейти ↑ Yan, Song Y. (2002). Теория чисел для вычислений (2-е, иллюстрированное изд.). Берлин: Springer. п. 250. ISBN 3-540-43072-5.

[8] Джеффри, Алан (2004). Математика для инженеров и ученых (Шестое изд.). CRC Press. п. 502. ISBN. 1-58488-488-6.

[1]