Нормальная схема

В алгебраической геометрии , алгебраическое многообразие или схема Х является нормальным , если оно нормально в каждой точке, а это означает , что локальное кольцо в точке является целозамкнуто доменом . Аффинное многообразие Х (понимается неприводимым) нормально тогда и только тогда , когда кольцо О ( Х ) от регулярных функций на X является целозамкнутой областью. Многообразие X над полем нормально тогда и только тогда, когда любой конечный бирациональный морфизм любого многообразия Y в X является изоморфизмом.

Нормальные разновидности были введены Зариским ( 1939 , раздел III).

Геометрические и алгебраические интерпретации нормальности [ править ]

Морфизм многообразий конечен, если прообраз каждой точки конечен и морфизм собственный . Морфизм многообразий является бирациональным, если он ограничивается изоморфизмом между плотными открытыми подмножествами. Так, например, куспидальная кубическая кривая X в аффинной плоскости A ^2, определяемая формулой x ² = y ³ , не является нормальной, потому что существует конечный бирациональный морфизм A ¹ → X (а именно, t отображается в ( t ³ , t ² )), который не является изоморфизмом. Напротив, аффинная линия A ¹нормально: его нельзя далее упростить с помощью конечных бирациональных морфизмов.

Нормальное комплексное многообразие X , если рассматривать его как стратифицированное пространство с использованием классической топологии, имеет свойство связности каждого звена. Эквивалентно, каждая комплексная точка x имеет сколь угодно малые окрестности U такие, что U минус особое множество X связно. Например, отсюда следует, что узловая кубическая кривая X на рисунке, определяемая как x ² = y ² ( y + 1), не является нормальной. Это также следует из определения нормальности, поскольку существует конечный бирациональный морфизм из A ¹ в Xчто не является изоморфизмом; он посылает две точки А ¹ к той же точке в X .

Кривая y ² = x ² ( x + 1)

В более общем смысле схема X является нормальной, если каждое из ее локальных колец

O _{X, x}

является целозамкнутой областью . То есть, каждый из этих колец является область целостности R , и каждое кольцо S с R ⊆ S ⊆ Frac ( R ) таким образом, что S имеет конечное число образующих как R - модуль равен R . (Здесь гидроразрыв ( R ) обозначает поле частных от R ) . Это прямой перевод, с точкой зрения локальных колец, геометрического условии , что каждый конечный бирациональный морфизмом к X является изоморфизмом.

Старое понятие состоит в том, что подмногообразие X проективного пространства линейно нормально, если линейная система, дающая вложение, является полной. Эквивалентно, X ⊆ P ⁿ не является линейной проекцией вложения X ⊆ P ^{n + 1} (если X не содержится в гиперплоскости P ⁿ ). Это означает «нормальный» в фразах « рациональная нормальная кривая» и « рациональная нормальная прокрутка» .

Любая обычная схема нормальна. Напротив, Зариский (1939 , теорема 11) показал, что любое нормальное многообразие регулярно вне подмножества коразмерности не менее 2, и аналогичный результат верен для схем. ^[1] Так, например, каждая нормальная кривая регулярна.

Нормализация [ править ]

Любой приведенная схема X имеет уникальную нормализацию : нормальную схему Y с интегральным бирациональным морфизмом Y → X . (Для многообразия X над полем морфизм Y → X конечен, что сильнее «интеграла». ^[2] ) Нормализация схемы размерности 1 регулярна, а нормализация схемы размерности 2 имеет только отдельные особенности. Нормализация обычно не используется для разрешения особенностей схем более высокой размерности.

Для определения нормализации, предположим сначала , что X является неприводимым приведенная схема X . Каждое открытое аффинное подмножество X имеет вид Spec R, где R - область целостности . Запишем X как объединение аффинных открытых подмножеств Spec A _i . Пусть Б _я быть целое замыкание из А _я в своей фракции поле. Тогда нормализация X определяется склейкой аффинных схем Spec B _i .

Примеры [ править ]

Если исходная схема не является неприводимой, нормализация определяется как несвязное объединение нормализаций неприводимых компонент.

Нормализация куспида [ править ]

Рассмотрим аффинную кривую

${\ displaystyle C = {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {k [x, y]} {y ^ {2} -x ^ {5}}} \ right)}$

с особенностью возврата в нуле. Его нормализация может быть дана картой

${\ displaystyle {\ text {Spec}} (k [t]) \ to C}$

индуцированный из отображения алгебры

${\ Displaystyle х \ mapsto т ^ {2}, y \ mapsto т ^ {5}}$

Нормализация осей в аффинной плоскости [ править ]

Например,

${\ displaystyle X = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y] / (xy))}$

не является неприводимой схемой, поскольку состоит из двух компонентов. Его нормализация дается морфизмом схемы

${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(x)\times \mathbb {C} [x,y]/(y))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))$

индуцированные двумя фактор-отображениями

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(x,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(x)$

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(y,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(y)$

Нормализация приводимого проективного многообразия [ править ]

Аналогично, для однородных неприводимых многочленов в УФД нормировка $f_{1},\ldots ,f_{k}$

${\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)$

дается морфизмом

${\text{Proj}}\left(\prod {\frac {k[x_{0}\ldots ,x_{n}]}{(f_{i},g)}}\right)\to {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)$

См. Также [ править ]

Лемма Нётер о нормализации
Разрешение особенностей

Заметки [ править ]

^ Эйзенбад, Д. коммутативной алгебры (1995). Спрингер, Берлин. Теорема 11.5.
^ Эйзенбад, Д. коммутативной алгебры (1995). Спрингер, Берлин. Следствие 13.13.

Ссылки [ править ]

Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С прицелом на алгебраическую геометрию. , Тексты для выпускников по математике , 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157, п. 91
Зариски, Оскар (1939), "Некоторые результаты в арифметической теории алгебраических многообразий", Amer. J. Math. , 61 (2): 249-294, DOI : 10,2307 / 2371499 , JSTOR 2371499 , МР 1507376

[1] Эйзенбад, Д. коммутативной алгебры (1995). Спрингер, Берлин. Теорема 11.5.

[2] Эйзенбад, Д. коммутативной алгебры (1995). Спрингер, Берлин. Следствие 13.13.

[1]