В комплексном анализе , А таблицы Паде представляет собой массив, возможно , бесконечной степени, рациональных аппроксимаций Паде
- R m , n
к заданному сложному формальному степенному ряду . Некоторые последовательности аппроксимаций , лежащих в пределах таблицы Пада часто могут быть показаны , что соответствует последовательным дробям одного цепной дробь представления голоморфной или мероморфной функции.
История
Хотя раньше математики получали отдельные результаты, связанные с последовательностями рациональных приближений к трансцендентным функциям , Фробениус (в 1881 г.), по-видимому, был первым, кто организовал аппроксимации в виде таблицы. Анри Паде еще больше расширил это понятие в своей докторской диссертации « Подход к представлению единой функции по фракциям rationelles» в 1892 году. За следующие 16 лет Паде опубликовал 28 дополнительных статей, исследующих свойства своей таблицы и связывающих ее с аналитическими. фракции. [1]
Современный интерес к таблицам Паде возродили Х.С. Уолл и Оскар Перрон , которых в первую очередь интересовали связи между таблицами и некоторыми классами цепных дробей. Дэниел Шэнкс и Питер Винн опубликовали влиятельные статьи примерно в 1955 году, а В. Б. Грэгг получил далеко идущие результаты сходимости в 70-х годах. В последнее время широкое использование электронных компьютеров стимулировало большой дополнительный интерес к этому предмету. [2]
Обозначение
Функция f ( z ) представлена формальным степенным рядом:
где c 0 ≠ 0 по соглашению. ( M , n ) -я запись [3] R m, n в таблице Паде для f ( z ) тогда задается следующим образом:
где P m ( z ) и Q n ( z ) - многочлены степени не выше m и n соответственно. Коэффициенты { a i } и { b i } всегда можно найти, рассматривая выражение
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z вверх до m + n . Для коэффициентов при степенях от m + 1 до m + n правая часть равна 0, и результирующая система линейных уравнений содержит однородную систему из n уравнений с n + 1 неизвестными b i и, таким образом, допускает бесконечно много решений каждое. из которых определяет возможное Q n . Тогда P m легко найти, приравняв первые m коэффициентов приведенного выше уравнения. Однако можно показать, что из-за сокращения все сгенерированные рациональные функции R m, n одинаковы, так что ( m , n ) -я запись в таблице Паде уникальна. [2] В качестве альтернативы мы можем потребовать, чтобы b 0 = 1, тем самым придав таблице стандартный вид.
Хотя записи в таблице Паде всегда можно сгенерировать путем решения этой системы уравнений, такой подход требует больших вычислительных ресурсов. Использование таблицы Паде было расширено до мероморфных функций с помощью новых, экономящих время методов, таких как алгоритм эпсилон. [4]
Блочная теорема и нормальные аппроксимации
Из-за того, как строится ( m , n ) -я аппроксимация, разность
- Q n ( z ) f ( z ) - P m ( z )
является степенным рядом, первый член которого имеет степень не меньше, чем
- т + п + 1.
Если первый член этой разницы имеет степень
- т + п + г + 1, г > 0,
то рациональная функция R m, n занимает
- ( г + 1) 2
ячейки в таблице Паде, от позиции ( m , n ) до позиции ( m + r , n + r ) включительно. Другими словами, если одна и та же рациональная функция встречается в таблице более одного раза, эта рациональная функция занимает квадратный блок ячеек в таблице. Этот результат известен как блочная теорема .
Если конкретная рациональная функция встречается в таблице Паде ровно один раз, она называется нормальным приближением к f ( z ). Если каждая запись в полной таблице Паде является нормальной, сама таблица называется нормальной. Нормальные аппроксимации Паде можно охарактеризовать с помощью определителей коэффициентов c n в разложении в ряд Тейлора функции f ( z ) следующим образом. Определим ( m , n ) -й определитель формулой
с D m , 0 = 1, D m , 1 = c m , и c k = 0 для k <0. Тогда
- ( m , n ) -е приближение к f ( z ) является нормальным тогда и только тогда, когда ни один из четырех определителей D m , n −1 , D m, n , D m +1, n и D m +1, n +1 исчезнуть; а также
- таблица Паде является нормальной тогда и только тогда, когда ни один из определителей D m, n не равен нулю (обратите внимание, в частности, что это означает, что ни один из коэффициентов c k в последовательном представлении f ( z ) не может быть равен нулю). [5]
Связь с непрерывными дробями
Одна из наиболее важных форм, в которой может появляться аналитическая непрерывная дробь, - это правильная непрерывная дробь , которая является непрерывной дробью формы
где a i ≠ 0 - комплексные константы, а z - комплексная переменная.
Между правильными цепными дробями и таблицами Паде с нормальными аппроксимантами по главной диагонали существует тесная связь: ступенчатая последовательность аппроксимаций Паде R 0,0 , R 1,0 , R 1,1 , R 2,1 , R 2 , 2 ,… нормально тогда и только тогда, когда эта последовательность совпадает с последовательными подходящими дробями правильной цепной дроби. Другими словами, если таблица Паде нормальна вдоль главной диагонали, ее можно использовать для построения правильной непрерывной дроби, а если существует представление регулярной непрерывной дроби для функции f ( z ), то главная диагональ таблицы Паде представление f ( z ) нормально. [2]
Пример - экспоненциальная функция
Вот пример таблицы Паде для экспоненциальной функции .
п м | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | |||||
1 | |||||
2 | |||||
3 | |||||
4 |
Сразу бросаются в глаза несколько особенностей.
- Первый столбец таблицы состоит из последовательных усечений ряда Тейлора для e z .
- Точно так же первая строка содержит обратные величины последовательных усечений разложения в ряд e −z .
- Аппроксиманты R m, n и R n, m довольно симметричны - числители и знаменатели поменяны местами, а знаки плюса и минуса различаются, но в обеих этих аппроксимациях появляются одинаковые коэффициенты. Фактически, используяобозначение обобщенных гипергеометрических рядов ,
- Вычисления с использованием R n, n (на главной диагонали) могут выполняться довольно эффективно. Например, R 3,3 воспроизводит степенной ряд для показательной функции идеально через 1 / 720 г 6 , но из-за симметрии двух кубических многочленов, очень быстрый алгоритм оценки может быть разработан.
Процедура, используемая для получения непрерывной дроби Гаусса, может быть применена к определенному конфлюэнтному гипергеометрическому ряду, чтобы получить следующее разложение C-дроби для экспоненциальной функции, действительное на всей комплексной плоскости:
Применяя фундаментальные рекуррентные формулы, легко проверить, что последовательные подходящие дроби этой C-дроби являются ступенчатой последовательностью аппроксимаций Паде R 0,0 , R 1,0 , R 1,1 ,… дробь может быть получена из тождества
эта непрерывная дробь выглядит так:
Последовательные подходящие дроби этой дроби также появляются в таблице Паде и образуют последовательность R 0,0 , R 0,1 , R 1,1 , R 1,2 , R 2,2 ,…
Обобщения
Формальный Ньютон серии L имеет вид
где последовательность {β k } точек на комплексной плоскости называется набором точек интерполяции . Последовательность рациональных аппроксимаций R m, n может быть сформирована для такого ряда L способом, полностью аналогичным описанной выше процедуре, и аппроксимации могут быть расположены в таблице Ньютона-Паде . Было показано [6], что некоторые «лестничные» последовательности в таблице Ньютона-Паде соответствуют последовательным подходящим дробям цепной дроби типа Тиле, которая имеет вид
Математики также построили двухточечные таблицы Паде , рассматривая два ряда, один по степеням z , другой по степеням 1 / z , которые попеременно представляют функцию f ( z ) в окрестности нуля и в окрестности бесконечности. [2]
Смотрите также
Заметки
- ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Таблица Паде" , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ а б в г Джонс и Трон, 1980.
- ^ Считается, что( m , n ) -я запись находится в строке m и столбце n , а нумерация строк и столбцов начинается с (0, 0).
- ^ Винн, Питер (апрель 1956). «На устройстве для вычисления преобразования e m ( S n )». Математические таблицы и другие вспомогательные средства для вычислений . Американское математическое общество. 10 (54): 91–96. DOI : 10.2307 / 2002183 . JSTOR 2002 183 .
- ^ Грэгг, ВБ (январь 1972 г.). «Таблица Паде и ее связь с некоторыми алгоритмами численного анализа» . SIAM Обзор . 14 (1): 1–62. DOI : 10.1137 / 1014001 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2028911 .
- ^ Тиле, TN (1909). Interpolationsrechnung . Лейпциг: Тойбнер. ISBN 1-4297-0249-4.
Рекомендации
- Джонс, Уильям Б .; Трон, WJ (1980). Непрерывные дроби: теория и приложения . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. С. 185–197 . ISBN 0-201-13510-8.
- Уолл, HS (1973). Аналитическая теория непрерывных дробей . Издательская компания "Челси". С. 377–415. ISBN 0-8284-0207-8.
(Это перепечатка тома, первоначально опубликованного D. Van Nostrand Company, Inc. в 1948 году.)