Теорема Пэли – Винера.

В математике , А Пэли-Винера теорема любая теорема, связывающая распада свойства функции или распределения на бесконечности с аналитичности из его преобразования Фурье . Теорема названа в честь Раймонда Пэли (1907–1933) и Норберта Винера (1894–1964). Первоначальные теоремы не использовали язык распределений , а вместо этого применялись к функциям, интегрируемым с квадратом . Первая такая теорема с использованием распределений принадлежит Лорану Шварцу . Эти теоремы в значительной степени полагаются на неравенство треугольника (чтобы заменить абсолютное значение и интегрирование).

Голоморфные преобразования Фурье [ править ]

Классические теоремы Пэли – Винера используют голоморфное преобразование Фурье на классах интегрируемых с квадратом функций с носителем на вещественной прямой. Формально идея состоит в том, чтобы взять интеграл, определяющий (обратное) преобразование Фурье

${\ Displaystyle е (\ zeta) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (x) e ^ {ix \ zeta} \, dx}$

и позволить ζ быть комплексным числом в верхней полуплоскости . Тогда можно ожидать дифференцирования под интегралом, чтобы проверить, что уравнения Коши – Римана верны, и, таким образом, f определяет аналитическую функцию. Однако этот интеграл может быть некорректно определен даже для F в L ² ( R ) - действительно, поскольку ζ находится в верхней полуплоскости, модуль e ^ixζ растет экспоненциально как - поэтому дифференцирование под знаком интеграла выходит за пределы вопрос. Необходимо наложить дополнительные ограничения на F${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$ чтобы гарантировать, что этот интеграл четко определен.

Первое такое ограничение состоит в том, что F имеет носитель на R ₊ : то есть F  ∈  L ² ( R ₊ ). Теорема Пэли – Винера теперь утверждает следующее: ^[1] Голоморфное преобразование Фурье для F , определяемое формулой

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{0}^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

для z в верхней полуплоскости - голоморфная функция. Кроме того, по теореме Планшереля , один имеет

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi \leq \int _{0}^{\infty }|F(x)|^{2}\,dx}$

и преобладающей конвергенцией ,

${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )-f(\xi )\right|^{2}\,d\xi =0.}$

Наоборот, если f - голоморфная функция в верхней полуплоскости, удовлетворяющая

${\displaystyle \sup _{\eta >0}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi =C<\infty }$

то существует F в L ² ( R ₊ ) таким образом, что F представляет собой преобразование Фурье голоморфной F .

Говоря абстрактно, эта версия теоремы явно описывает пространство Харди H ² ( R ) . Теорема утверждает, что

${\displaystyle {\mathcal {F}}H^{2}(\mathbf {R} )=L^{2}(\mathbf {R_{+}} ).}$

Это очень полезный результат, поскольку он позволяет за один проход к преобразованию Фурье функции в пространстве Харди и выполнять вычисления в легко понимаемом пространстве L ² ( R ₊ ) интегрируемых с квадратом функций, поддерживаемых на положительной оси.

Наложив альтернативное ограничение, заключающееся в том, что F имеет компактный носитель , получаем другую теорему Пэли – Винера. ^[2] Предположим, что F имеет носитель в [- A , A ], так что F  ∈  L ² (- A , A ). Тогда голоморфное преобразование Фурье

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

является целой функцией от экспоненциального типа А , а это означает , что существует константа С такой , что

${\displaystyle |f(\zeta )|\leq Ce^{A|\zeta |},}$

и более того, f интегрируем в квадрате по горизонтальным линиям:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(\xi +i\eta )|^{2}\,d\xi <\infty .}$

И наоборот, любая целая функция экспоненциального типа А , который является квадратом интегрируема на горизонтальных линий является преобразованием Фурье голоморфной из L ² функции , поддерживаемой в [- A , A ].

Теорема Шварца Пэли – Винера [ править ]

Теорема Шварца Палея-Винера утверждает , что преобразование Фурье распределения по компактным носителем на R ^п является целой функцией на С ^п и дает оценки на ее рост на бесконечности. Это было доказано Лораном Шварцем ( 1952 ). Представленная здесь формулировка взята из Hörmander (1976) .

Как правило, преобразование Фурье можно определить для любого умеренного распределения ; более того, любое распределение компактной опоры v является умеренным распределением. Если v - распределение с компактным носителем, а f - бесконечно дифференцируемая функция, выражение

${\displaystyle v(f)=v(x\mapsto f(x))}$

хорошо определено.

Можно показать, что преобразование Фурье v является функцией (в отличие от общего умеренного распределения), заданной для значения s формулой

${\displaystyle {\hat {v}}(s)=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}v\left(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\right)}$

и что эта функция может быть расширена до значений s в комплексном пространстве C ⁿ . Это расширение преобразования Фурье на комплексную область называется преобразованием Фурье – Лапласа .

Теорема Шварца. Целая функция F на C ^п является преобразованием Фурье-Лапласа распределения V финитной , если и только если для всех г ∈ C ^п ,

${\displaystyle |F(z)|\leq C(1+|z|)^{N}e^{B|{\text{Im}}(z)|}}$

для некоторых констант С , Н , В . Распределение v на самом деле будет поддерживаться в замкнутом шаре центра 0 и радиус B .

Дополнительные условия роста всей функции F налагают свойства регулярности на распределение v . Например: ^[3]

Теорема. Если для каждого положительного N существует такая константа C _N , что для всех z ∈ C ⁿ ,

${\displaystyle |F(z)|\leq C_{N}(1+|z|)^{-N}e^{B|{\text{Im}}(z)|}}$

тогда v - бесконечно дифференцируемая функция, и наоборот.

Более точные результаты дает хороший контроль над особой поддержкой в V были сформулированы Хермандером (1976) . В частности, ^[4] пусть K - выпуклый компакт в R ⁿ с опорной функцией H , определяемой формулой

${\displaystyle H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\rangle .}$

Тогда особый носитель v содержится в K тогда и только тогда, когда существуют константа N и последовательность констант C _m такие, что

${\displaystyle |{\hat {v}}(\zeta )|\leq C_{m}(1+|\zeta |)^{N}e^{H({\text{Im}}(\zeta ))}}$

для ${\displaystyle |{\text{Im}}(\zeta )|\leq m\log(|\zeta |+1).}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные дифференциальные операторы с частными производными , Springer Verlag CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту  0924157.
• Шварц, Лоран (1952), "Преобразование распределений Лапласа", Comm. Sém. Математика. Univ. Лунд [Medd. Lunds Univ. Мат. Сем.] , 1952 : 196–206, MR  0052555. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Academic Press CS1 maint: discouraged parameter (link).