В теории меры , Лебег «s мажорируемая сходимость теорема дает достаточные условия , при которых почти всюду сходимости из последовательности из функций следует сходимость в L 1 норму. Его мощность и полезность - два основных теоретических преимущества интеграции Лебега перед интеграцией Римана .
В дополнение к частому появлению в математическом анализе и дифференциальных уравнений в частных, он широко используется в теории вероятностей , так как она дает достаточное условие сходимости ожидаемых значений от случайных величин .
Заявление
Теорема Лебега о доминирующей сходимости. Пусть ( е п ) последовательность комплексных -значных измеримых функций на пространстве с мерой ( S , a, μ) . Предположим, что последовательность поточечно сходится к функции f и доминирует некоторая интегрируемая функция g в том смысле, что
для всех чисел п в индексе наборе последовательности и все точки х ∈ S . Тогда f интегрируема (в смысле Лебега ) и
что также подразумевает
Замечание 1. Утверждение « g интегрируема» означает, что измеримая функция g интегрируема по Лебегу; т.е.
Замечание 2. Сходимость последовательности и доминирования г , может быть ослаблена , чтобы держать только μ- почти везде при условии , что пространство с мерой ( S , Σ, μ) является полным или F выбрана в качестве измеримой функции , которая согласуется μ-почти всюду μ-почти всюду существующий предел точечно. (Эти меры предосторожности необходимы, поскольку в противном случае может существовать без измеримого подмножества в виде μ-нуль множества N ∈ Е , следовательно , F может быть не измеримы.)
Замечание 3. Если μ ( S ) <∞, условие существования доминирующей интегрируемой функции g можно ослабить до равномерной интегрируемости последовательности ( f n ), см. Теорему Витали о сходимости .
Замечание 4. Хотя f интегрируема по Лебегу, она, вообще говоря, не интегрируема по Риману . Например, пусть f n определена в [0,1] так, чтобы она была равна нулю везде, кроме рациональных чисел вида k / m, так что k и m взаимно просты и m> n. Ряд (f n ) поточечно сходится к 0, поэтому f тождественно равен нулю, но | f n -f | = f n не интегрируем по Риману, поскольку его образ в каждом конечном интервале равен {0,1} и, следовательно, верхний и нижние интегралы Дарбу равны 1 и 0 соответственно.
Доказательство
Без потери общности можно предположить, что f является действительным, потому что можно разделить f на его действительную и мнимую части (помните, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся ее действительные и мнимые аналоги) и применить неравенство треугольника в конце.
Теорема Лебега о доминируемой сходимости является частным случаем теоремы Фату – Лебега . Однако ниже приводится прямое доказательство, использующее лемму Фату как важный инструмент.
Поскольку f является поточечным пределом последовательности ( f n ) измеримых функций, над которыми доминирует g , она также измерима и доминирует над g , следовательно, она интегрируема. Кроме того, (они понадобятся позже),
для всех n и
Второе из них тривиально верно (по самому определению f ). Используя линейность и монотонность интеграла Лебега ,
По обратной лемме Фату (здесь мы используем тот факт, что | f - f n | ограничена сверху интегрируемой функцией)
откуда следует, что предел существует и равен нулю, т.е.
Наконец, поскольку
у нас есть это
Теорема следует.
Если предположения только держать μ-почти всюду, то существует μ-нуль множество N ∈ Σ , что функции F п 1 S \ N удовлетворяют условиям всюду на S . Тогда функция f ( x ), определенная как поточечный предел f n ( x ) для x ∈ S \ N и как f ( x ) = 0 для x ∈ N , измерима и является поточечным пределом этой модифицированной функциональной последовательности. Эти изменения подынтегральных выражений на этом μ-нулевом множестве N не влияют на значения этих интегралов , поэтому теорема остается в силе.
DCT выполняется, даже если f n сходится к f по мере (конечной мере), а доминирующая функция неотрицательна почти всюду.
Обсуждение предположений
Нельзя отказаться от предположения, что в последовательности доминирует некоторая интегрируемая g . Это можно увидеть следующим образом: определите f n ( x ) = n для x в интервале (0, 1 / n ] и f n ( x ) = 0 в противном случае. Любой g, который доминирует в последовательности, также должен доминировать над поточечной супремумом h = sup n f n . Заметим, что
расходимостью гармонического ряда . Следовательно, монотонность интеграла Лебега говорит нам, что не существует интегрируемой функции, которая доминирует в последовательности на [0,1]. Прямой расчет показывает, что интегрирование и поточечный предел не коммутируют для этой последовательности:
потому что поточечный предел последовательности - нулевая функция . Обратите внимание, что последовательность ( f n ) не является даже равномерно интегрируемой , следовательно, теорема о сходимости Витали не применима.
Теорема об ограниченной сходимости
Одним из следствий теоремы о доминируемой сходимости является теорема об ограниченной сходимости , которая утверждает, что if ( f n ) - это последовательность равномерно ограниченных комплексно- значных измеримых функций, которая поточечно сходится на пространстве с ограниченной мерой ( S , Σ, μ) (т. Е. в которой μ ( S ) конечно) в функцию f , то предел f является интегрируемой функцией и
Замечание: поточечная сходимость и равномерная ограниченность последовательности может быть ослаблено , чтобы держать только μ- почти везде , при условии , что пространство с мерой ( S , E, μ) является полным или F выбрана в качестве измеримой функции , которое согласно μ-почти всюду μ-почти всюду существующий предел точечно.
Доказательство
Поскольку последовательность равномерно ограничена, существует действительное число M такое, что | f n ( x ) | ≤ M для всех x ∈ S и всех n . Определим г ( х ) = M для всех х ∈ S . Тогда в последовательности доминирует g . Кроме того, g интегрируем, поскольку это постоянная функция на множестве конечной меры. Следовательно, результат следует из теоремы о мажорируемой сходимости.
Если предположения только держать μ-почти всюду, то существует μ-нуль множество N ∈ Σ , что функции F п 1 S \ N удовлетворяют условиям всюду на S .
Доминирующая сходимость в L p -пространствах (следствие)
Позволять пространство с мерой , 1 ≤ p <∞ действительное число и ( f n ) последовательность-измеримые функции .
Предположим, что последовательность ( f n ) сходится μ-почти всюду к-измеримой функцией f , и доминирует(ср. пространство Lp ), т. е. для любого натурального числа n имеем: | f n | ≤ g , μ-почти всюду.
Тогда все f n, а также f находятся ви последовательность ( f n ) сходится к f в смысле, то есть:
Идея доказательства: применить исходную теорему к последовательности функций с доминирующей функцией .
Расширения
Теорема о доминирующей сходимости применима также к измеримым функциям со значениями в банаховом пространстве , при этом доминирующая функция остается неотрицательной и интегрируемой, как указано выше. Предположение о сходимости почти всюду можно ослабить, потребовав сходимости только по мере .
Теорема о доминирующей сходимости применима также к условным ожиданиям. [1]
Смотрите также
- Сходимость случайных величин , Сходимость в среднем
- Теорема о монотонной сходимости (не требует преобладания интегрируемой функции, но вместо этого предполагает монотонность последовательности)
- Лемма Шеффе
- Равномерная интегрируемость
- Теорема Витали о сходимости (обобщение теоремы Лебега о преобладающей сходимости)
Заметки
- ^ Zitkovic 2013, предложение 10.5.
Рекомендации
- Бартл, Р.Г. (1995). Элементы интегрирования и меры Лебега . Wiley Interscience. ISBN 9780471042228.
- Ройден, HL (1988). Реальный анализ . Прентис Холл. ISBN 9780024041517.
- Вейр, Алан Дж. (1973). «Теоремы сходимости». Интеграция и мера Лебега . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.
- Уильямс, Д. (1991). Вероятность с мартингалами . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40605-6.
- Зиткович, Гордан (осень 2013 г.). «Лекция 10: Условное ожидание» (PDF) . Проверено 25 декабря 2020 года .