В математике, центроид теорема Паппа в (также известный как теорема Guldinus , теорема Паппа-Guldinus или теоремы Паппа в ) либо из двух смежных теорем , связанных с площадью поверхности и объема на поверхностях и твердых тел вращения.
Эти теоремы приписываются Паппу Александрийскому [а] и Полю Гулдину . [b] Формулировка этой теоремы Паппом впервые появляется в печати в 1659 году, но она была известна ранее Кеплеру в 1615 году и Гульдину в 1640 году. [4]
Первая теорема
Первая теорема гласит , что площадь поверхности из поверхности вращения , генерируемого вращением плоской кривой C примерно через оси которых внешние по отношению к C и на той же плоскости, равна произведению длины дуги s из C и расстояние D , проходимого геометрический центр тяжести из C :
Например, площадь поверхности тора с малым радиусом r и большим радиусом R равна
Вторая теорема
Вторые государства теорема о том , что объем V в А тела вращения , генерируемого при вращении плоской фигуры F относительно внешней оси равен произведению площади A из F и расстояния г , пройденного геометрической центроида F . (Центроид F обычно отличается от центра тяжести граничной кривой C. ) То есть:
Например, объем тора с малым радиусом r и большим радиусом R равен
Этот частный случай был выведен Иоганном Кеплером с использованием бесконечно малых величин. [c]
Доказательство
Позволять быть областью , твердое тело революции , а также объем . Предполагать начинается в -плоскость и вращается вокруг -ось. Расстояние до центра тяжести от - ось - это его -координат
и теорема утверждает, что
Чтобы показать это, пусть быть в хт плоскости, параметризованных с помощью для , область параметров. С по сути, отображение из к , площадь дается формулой замены переменных :
где является определяющим фактором в матрицы Якоби изменения переменных.
Твердый имеет тороидальную параметризацию для в области параметров ; и его объем
Расширение,
Последнее равенство выполняется, потому что ось вращения должна быть внешней по отношению к , имея в виду . Сейчас,
заменой переменных.
Обобщения
При соответствующих условиях теоремы могут быть обобщены для произвольных кривых и форм.
Гудман и Гудман [6] обобщают вторую теорему следующим образом. Если фигура F двигается через пространство таким образом , что она остается перпендикулярной к кривой L , описываемой центроид F , то она заметает твердую объемную V = Ad , где является область F и d представляет собой длину L . (Это предполагает, что твердое тело не пересекает себя.) В частности, F может вращаться вокруг своего центра тяжести во время движения.
Тем не менее, соответствующее обобщение первой теоремы справедливо только если кривая L прослежена центроид лежит в плоскости , перпендикулярной к плоскости C .
В n-измерениях
В общем, можно сгенерировать размерное твердое тело вращением размерное твердое тело вокруг мерная сфера. Это называется-твердого вращения видов . Пусть-й центроид определяться
Затем теоремы Паппа обобщаются на: [7]
Объем от -твердого вращения видов
= (Объем генерирующих -твердый) (Площадь поверхности -сфера, прослеживаемая -й центр тяжести образующего тела)
а также
Площадь поверхности -твердого вращения видов
= (Площадь генерирующей -твердый) (Площадь поверхности -сфера, прослеживаемая -й центр тяжести образующего тела)
Исходные теоремы относятся к случаю .
Сноски
- ^ См .: [1]
Те, кто смотрят на эти вещи, вряд ли возвышены, как древние и все, кто писал прекрасные вещи. Когда я вижу, что все заняты основами математики и материалом для исследований, которые ставит перед нами природа, мне становится стыдно; Я, например, доказал, что вещи гораздо более ценные и многоцелевые. Чтобы не заканчивать свое рассуждение декларированием этого с пустыми руками, я приведу это для читателей:
Отношение тел полного вращения складывается из (соотношения) вращающихся фигур и (этого) прямых линий, аналогичным образом проведенных к осям из их центров тяжести; то (твердых тел) неполного (вращения) от (того) вращающихся фигур и (того) дуг, которые описывают центры тяжести в них, где (соотношение) этих дуг, конечно, (составлено) (что) нарисованных (линий) и (тот) углов вращения, которые содержат их концы, если эти (линии) также расположены (под прямым углом) к осям. Эти предложения, которые практически являются одним, содержат множество теорем всех видов для кривых, поверхностей и твердых тел, все сразу и с помощью одного доказательства, то, что еще не было и что уже было продемонстрировано, например, в двенадцатой книге Первой книги. Элементы .
- Папп, Сборник , Книга VII, №41–42. - ^ "Quantitas rotanda in viam Rotundis ducta, producit Potestatem Rotundam uno gradient altiorem, Potestate sive Quantitate rotata". [2] То есть: «Величина во вращении, умноженная на ее круговую траекторию, создает круговую силу более высокой степени, мощности или количества во вращении». [3]
- ^ Теорема XVIII Кеплера Nova Stereometria Doliorum Vinariorum (1615): [5] «Omnis annulus sectionis Circularis vel ellipticae est aequalis cylindro, cujus altitudo aequat longitudinem circferentiae, quam centrum figurae Circumductae descripsit descripsit, основа. Перевод: [3] «Любое кольцо с круглым или эллиптическим поперечным сечением равно цилиндру, высота которого равна длине окружности, охватываемой центром фигуры во время его кругового движения, а основание которого равно сечению кольцо."
Рекомендации
- ^ Папп Александрийский (1986) [с. 320]. Джонс, Александр (ред.). Книга 7 Сборника. Источники по истории математики и физических наук. 8 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4908-5 . ISBN 978-1-4612-4908-5.
- ^ Гульдин, Пауль (1640). De centro gravitatis trium specierum quanitatiscontinae . 2 . Вена: Гельбхаар, Космеровиус. п. 147 . Проверено 4 августа 2016 .
- ^ а б Раделет-де-Грав, Патрисия (19 мая 2015 г.). «Кеплер, Кавальери, Гульдин. Полемика с ушедшими» . В Jullien, Винсент (ред.). Возвращение к неделимым объектам семнадцатого века . Научные сети. Исторические исследования. 49 . Базель: Биркхойзер. п. 68. DOI : 10.1007 / 978-3-319-00131-9 . ISBN 978-3-3190-0131-9. ISSN 1421-6329 . Проверено 4 августа 2016 .
- ^ Айвор Балмер-Томас. «Теорема Гулдина - или Паппа?» Исида, т. 75, нет. 2, 1984, стр. 348–352. JSTOR, www.jstor.org/stable/231832.
- ^ Кеплер, Иоганнес (1870) [1615]. "Nova Stereometria Doliorum Vinariorum" . Во Фрише, Кристиан (ред.). Джоаннис Кеплери астрономическая опера Омния . 4 . Франкфурт: Гейдер и Циммер. п. 582 . Проверено 4 августа 2016 .
- ^ Гудман, AW; Гудман, Г. (1969). «Обобщения теорем Паппа». Американский математический ежемесячник . Американский математический ежемесячник. 76 (4): 355–366. DOI : 10.1080 / 00029890.1969.12000217 . JSTOR 2316426 .
- ^ Макларен-Янг-Соммервиль, Дункан (1958). «8.17 Расширения теоремы Паппа». Введение в геометрию n измерений . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Паппа о центроиде" . MathWorld .