Сплит-кватернион
В абстрактной алгебре разделенные кватернионы или кокватернионы образуют алгебраическую структуру , введенную Джеймсом Коклом в 1849 году под последним названием. Они образуют ассоциативную алгебру размерности четыре над действительными числами .
После введения в 20 веке бескоординатных определений колец и алгебр было доказано, что алгебра расщепленных кватернионов изоморфна кольцу вещественных матриц размера 2 × 2 . Так что изучение расщепленных кватернионов можно свести к изучению вещественных матриц, и это может объяснить, почему в математической литературе 20-го и 21-го веков мало упоминаний о расщепленных кватернионах.
Расщепленные кватернионы — это линейные комбинации (с вещественными коэффициентами) четырех базисных элементов 1, i, j, k , которые удовлетворяют следующим правилам произведения:
Итак, расщепленные кватернионы образуют вещественное векторное пространство размерности четыре с {1, i, j, k} в качестве основы . Они также образуют некоммутативное кольцо , распространяя вышеуказанные правила произведения по дистрибутивности на все расщепленные кватернионы.
Они удовлетворяют той же таблице умножения, что и соответствующие расщепленные кватернионы. Поскольку эти матрицы образуют основу матриц два на два, функция , которая отображает 1, i, j, k в (соответственно), индуцирует алгебраический изоморфизм от расщепляемых кватернионов до двух вещественных матриц.
Приведенные выше правила умножения подразумевают, что восемь элементов 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k образуют группу при этом умножении, изоморфную группе диэдра D 4 , группе симметрии квадратный . На самом деле, если рассмотреть квадрат, вершинами которого являются точки с координатами 0 или 1 , матрица представляет собой поворот по часовой стрелке на четверть оборота, симметрию относительно первой диагонали и симметрию относительно оси x .
