В квантовой механике , то частица в одномерных решетках является проблемой , которая возникает в модели периодической кристаллической решетки . Потенциал вызван ионами в периодической структуре кристалла, создающими электромагнитное поле, поэтому на электроны действует регулярный потенциал внутри решетки. Это обобщение модели свободных электронов , которая предполагает нулевой потенциал внутри решетки.
Когда говорят о твердых материалах, в основном речь идет о кристаллах - периодических решетках. Здесь мы обсудим одномерную решетку положительных ионов. Предполагая, что расстояние между двумя ионами равно a , потенциал в решетке будет выглядеть примерно так:
Математическое представление потенциала - периодическая функция с периодом а . Согласно теореме Блоха , [1] волновая функция решение уравнения Шредингера , когда потенциал является периодическим, может быть записана в виде:
где u ( x ) - периодическая функция, удовлетворяющая u ( x + a ) = u ( x ) . Это фактор Блоха с показателем Флоке что приводит к зонной структуре энергетического спектра уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, подобным потенциалу Кронига – Пенни, или косинусной функцией, как в уравнении Матье.
При приближении к краям решетки возникают проблемы с граничным условием. Следовательно, мы можем представить ионную решетку в виде кольца, следуя граничным условиям Борна – фон Кармана . Если L - длина решетки, так что L ≫ a , то количество ионов в решетке настолько велико, что при рассмотрении одного иона его окружение почти линейно, а волновая функция электрона не изменяется. Итак, теперь вместо двух граничных условий мы получаем одно круговое граничное условие:
Если N есть число ионов в решетке, то имеет место соотношение: = L . Замена в граничном условии и применение теоремы Блоха приведет к квантованию для k :
Модель Кронига – Пенни (названная в честь Ральфа Кронига и Уильяма Пенни [2] ) представляет собой простую идеализированную квантово-механическую систему, которая состоит из бесконечного периодического массива прямоугольных потенциальных барьеров .
Потенциальная функция аппроксимируется прямоугольным потенциалом:
Используя теорему Блоха , нам нужно найти решение только для одного периода, убедиться, что оно непрерывно и гладко, а также убедиться, что функция u ( x ) также непрерывна и гладка.
Учитывая единый период потенциала: у
нас здесь два региона. Мы решим для каждого независимо: Пусть E будет значением энергии над колодцем (E> 0)
- :
- :
Чтобы найти u ( x ) в каждой области, нам нужно манипулировать волновой функцией электрона:
И таким же образом:
Чтобы завершить решение, нам нужно убедиться, что функция вероятности является непрерывной и гладкой, то есть:
И что u ( x ) и u ′ ( x ) периодичны:
Эти условия дают следующую матрицу:
Чтобы получить нетривиальное решение, определитель матрицы должен быть равен 0. Это приводит нас к следующему выражению:
Чтобы еще больше упростить выражение, мы выполняем следующие приближения:
Выражение теперь будет:
Для значений энергии внутри ямы ( E <0) получаем:
с участием а также .
Следуя тем же приближениям, что и выше (), приходим к
по той же формуле для P, что и в предыдущем случае.
Значение выражения, которому приравнивается cos (ka) в дисперсионном соотношении, с P = 1,5. Черные полосы обозначают области
для которого можно вычислить k.
Дисперсионное соотношение для модели Кронига – Пенни с P = 1.5.
В предыдущем абзаце единственными переменными, не определяемыми параметрами физической системы, являются энергия E и импульс кристалла k . Выбрав значение для E , можно вычислить правую часть, а затем вычислить k , взявс обеих сторон. Таким образом, выражение приводит к дисперсионному соотношению .
Правая часть последнего выражения выше может иногда быть больше 1 или меньше -1, и в этом случае нет значения k, которое могло бы сделать уравнение истинным. С, это означает, что существуют определенные значения E, для которых отсутствуют собственные функции уравнения Шредингера. Эти значения составляют ширину запрещенной зоны .
Таким образом, модель Кронига – Пенни является одним из простейших периодических потенциалов, демонстрирующих запрещенную зону.
Предлагается альтернативный подход [3] к подобной проблеме. Здесь мы имеем дельта- периодический потенциал:
A - некоторая константа, а a - постоянная решетки (расстояние между каждым узлом). Поскольку этот потенциал периодический, мы могли бы разложить его в ряд Фурье:
где
- .
Волновая функция, согласно теореме Блоха, равна где - это функция, периодическая в решетке, что означает, что мы можем разложить ее также в ряд Фурье:
Таким образом, волновая функция:
Подставляя это в уравнение Шредингера, мы получаем:
или скорее:
Теперь мы понимаем, что:
Подключите это к уравнению Шредингера:
Решение этого для мы получили:
Суммируя это последнее уравнение по всем значениям K, получаем:
Или же:
Удобно, отменяем выходы и получаем:
Или же:
Чтобы избавить себя от ненужных усилий с обозначениями, мы определяем новую переменную:
и, наконец, наше выражение:
Теперь K является вектором обратной решетки, что означает, что сумма по K на самом деле является суммой по целым кратным:
Мы можем немного подтасовать это выражение, чтобы сделать его более наглядным (используйте разложение на частичные дроби ):
Если мы используем красивую идентичность суммы функции котангенса ( уравнение 18 ), которая говорит:
и вставьте его в наше выражение, мы получим:
Мы используем сумму cot, а затем произведение sin (которое является частью формулы для суммы cot ), чтобы получить:
Это уравнение показывает связь между энергией (через α ) и волновым вектором k , и, как вы можете видеть, поскольку левая часть уравнения может находиться в диапазоне только от -1 до 1, то есть некоторые ограничения на значения что α (и, следовательно, энергия) может принимать, то есть в некоторых диапазонах значений энергии нет решения в соответствии с этим уравнением, и, таким образом, система не будет иметь этих энергий: энергетических зазоров. Это так называемые запрещенные зоны, которые, как можно показать, существуют в любой форме периодического потенциала (не только дельта-барьеры или квадратные барьеры).
Для другого и подробного расчета формулы зазора (т.е. для зазора между зонами) и расщепления уровней собственных значений одномерного уравнения Шредингера см. Müller-Kirsten. [4] Соответствующие результаты для косинусного потенциала (уравнение Матье) также подробно приведены в этой ссылке.