Приближение пустой решетки

Пустая решетка аппроксимация является теоретической электронной зонной структура моделью , в которой потенциал периодический и слабый (близкая к постоянная). Можно также рассмотреть пустую ^{[ необходимо пояснение ]} нерегулярную решетку, в которой потенциал даже не периодичен. ^[1] Приближение пустой решетки описывает ряд свойств соотношений энергетической дисперсии невзаимодействующих свободных электронов , движущихся через кристаллическую решетку.. Энергия электронов в «пустой решетке» такая же, как энергия свободных электронов. Модель полезна, потому что она ясно иллюстрирует ряд иногда очень сложных особенностей соотношений дисперсии энергии в твердых телах, которые являются фундаментальными для всех электронных зонных структур.

Рассеяние и периодичность [ править ]

Зоны свободных электронов в одномерной решетке

Периодический потенциал решетки в этой модели свободных электронов должен быть слабым, потому что в противном случае электроны не были бы свободными. Сила рассеяния в основном зависит от геометрии и топологии системы. Топологически определенные параметры, такие как сечения рассеяния , зависят от величины потенциала и размера потенциальной ямы . Для 1-, 2- и 3-мерных пространств потенциальные ямы всегда рассеивают волны, независимо от того, насколько малы их потенциалы, каковы их знаки или насколько ограничены их размеры. Для частицы в одномерной решетке типа модели Кронига – Пенни, можно рассчитать зонную структуру аналитически, подставив значения для потенциала, шага решетки и размера потенциальной ямы. ^[2] Для двумерных и трехмерных задач сложнее точно рассчитать полосовую структуру на основе аналогичной модели с несколькими параметрами. Тем не менее свойства зонной структуры в большинстве областей легко аппроксимировать методами возмущений .

Теоретически решетка бесконечно велика, поэтому слабый периодический потенциал рассеяния в конечном итоге будет достаточно сильным, чтобы отразить волну. Процесс рассеяния приводит к хорошо известным брэгговским отражениям электронов периодическим потенциалом кристаллической структуры . Отсюда периодичность дисперсионного соотношения и разбиение k-пространства на зоны Бриллюэна. Соотношение периодической дисперсии энергии выражается как:

${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{n})^{2}}{2m}}}$

Являются обратной решеткой векторами , к которым полоса ^{[ разъяснение необходимости ]} принадлежит.${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )}$

На рисунке справа показано дисперсионное соотношение для трех периодов в обратном пространстве одномерной решетки с ячейками решетки длиной a .

Энергетические зоны и плотность состояний [ править ]

В одномерной решетке количество векторов обратной решетки, которые определяют зоны в интервале энергий, ограничено двумя, когда энергия возрастает. В двумерных и трехмерных решетках количество векторов обратной решетки, которые определяют зоны свободных электронов, увеличивается быстрее, когда длина волнового вектора увеличивается, а энергия растет. Это связано с тем, что количество векторов обратной решетки , лежащих в интервале, увеличивается. Плотность состояний в интервале энергий зависит от числа состояний в интервале в обратном пространстве и наклон дисперсионной зависимости .${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$${\displaystyle [\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]}$${\displaystyle [E,E+dE]}$${\displaystyle [\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]}$${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )}$

Хотя ячейки решетки не являются сферически симметричными, дисперсионное соотношение по-прежнему имеет сферическую симметрию с точки зрения фиксированной центральной точки в ячейке обратной решетки, если дисперсионное соотношение распространяется за пределы центральной зоны Бриллюэна. Плотность состояний в трехмерной решетке будет таким же , как и в случае отсутствия решетки. Для трехмерного случая плотность состояний равна;${\displaystyle D_{3}\left(E\right)}$

${\displaystyle D_{3}\left(E\right)=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\ .}$

В трехмерном пространстве границы зоны Бриллюэна представляют собой плоскости. Дисперсионные соотношения показывают коники парабол дисперсии энергии свободных электронов для всех возможных векторов обратной решетки. Это приводит к очень сложному множеству пересечений кривых при вычислении дисперсионных соотношений, поскольку существует большое количество возможных углов между оценочными траекториями, границами зоны Бриллюэна первого и более высокого порядка и конусами пересечения дисперсионных парабол.

Вторая, третья и высшие зоны Бриллюэна [ править ]

«Свободные электроны», которые движутся через решетку твердого тела с волновыми векторами далеко за пределами первой зоны Бриллюэна, все равно отражаются обратно в первую зону Бриллюэна. Смотрите раздел внешних ссылок для сайтов с примерами и рисунками.${\displaystyle \mathbf {k} }$

Модель почти свободных электронов [ править ]

В большинстве простых металлов , таких как алюминий , эффект экранирования сильно снижает электрическое поле ионов в твердом теле. Электростатический потенциал выражается как

${\displaystyle V(r)={\frac {Ze}{r}}e^{-qr}}$

где Z - атомный номер , e - заряд элементарной единицы, r - расстояние до ядра внедренного иона, а q - параметр экранирования, определяющий диапазон потенциала. Преобразование Фурье , , решетки потенциала, , выражается как${\displaystyle U_{\mathbf {G} }}$${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle U_{\mathbf {G} }={\frac {4\pi Ze}{q^{2}+G^{2}}}}$

Когда значения недиагональных элементов между векторами обратной решетки в гамильтониане почти равны нулю. В результате величина ширины запрещенной зоны уменьшается и получается приближение пустой решетки.${\displaystyle U_{\mathbf {G} }}$${\displaystyle 2|U_{\mathbf {G} }|}$

Электронные зоны обычных металлических кристаллов [ править ]

За редкими исключениями, металлы кристаллизуются в трех видах кристаллических структур: кубических кристаллических структурах BCC и FCC и гексагональных плотноупакованных кристаллических структурах HCP .

• Телоцентрированный кубический (I)

• Гранецентрированный кубический (F)

• Гексагональный плотно упакованный

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Простые решетчатые диаграммы зоны Бриллюэна Тайера Уоткинса
• Трехмерные решеточные диаграммы зоны Бриллюэна от Техниона.
• Пакет преподавания и обучения DoITPoMS - «Зоны Бриллюэна»