В физике твердого тела , то к · р теория возмущений является аппроксимировать пол-эмпирический подходом для расчета зонной структуры ( в частности , эффективная масса ) и оптические свойства кристаллических твердых тел. [1] [2] [3] Это произносится как «k dot p», и его также называют « методом k · p ». Эта теория была применена специально в рамках модели Латтинджера – Кона (после Хоакина Маздака Латтинджера и Вальтера Кона ) и модели Кейна (после Эвана О. Кейна ).
Предпосылки и происхождение
Теорема Блоха и волновые векторы
Согласно квантовой механике (в одноэлектронном приближении ) квазисвободные электроны в любом твердом теле характеризуются волновыми функциями, которые являются собственными состояниями следующего стационарного уравнения Шредингера :
где p - квантово-механический оператор импульса , V - потенциал , m - вакуумная масса электрона. (Это уравнение не учитывает спин-орбитальный эффект ; см. Ниже.)
В кристаллическое твердое вещество , V является периодической функцией , с той же периодичностью, что и кристаллической решетки . Теорема Блоха доказывает, что решения этого дифференциального уравнения можно записать следующим образом:
где k - вектор (называемый волновым вектором ), n - дискретный индекс (называемый индексом полосы ), а u n , k - функция с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка.
Для любого заданного n связанные состояния называются полосой . В каждой полосе будет связь между волновым вектором k и энергией состояния E n , k , называемая полосной дисперсией . Вычисление этой дисперсии - одно из основных приложений теории возмущений k · p .
Теория возмущений
Периодическая функция u n , k удовлетворяет следующему уравнению типа Шредингера (просто прямому разложению уравнения Шредингера с волновой функцией типа Блоха): [1]
где гамильтониан является
Обратите внимание, что k - это вектор, состоящий из трех действительных чисел с размерностями обратной длины , а p - вектор операторов; чтобы быть точным,
В любом случае мы запишем этот гамильтониан как сумму двух членов:
Это выражение является основой теории возмущений . «Невозмущенный гамильтониан» - это H 0 , что фактически равно точному гамильтониану при k = 0 (т. Е. В гамма-точке ). "Возмущение" - это термин. Полученный в результате анализ называется « теорией возмущений k · p » из-за члена, пропорционального k · p . Результатом этого анализа является выражение для E n , k и u n , k через энергии и волновые функции при k = 0.
Обратите внимание, что термин "возмущение" становится все меньше по мере того, как k приближается к нулю. Следовательно, теория возмущений k · p наиболее точна для малых значений k . Однако, если в пертурбативное разложение включено достаточно членов , то теория может быть достаточно точной для любого значения k во всей зоне Бриллюэна .
Выражение невырожденной полосы
Для невырожденной зоны (т. Е. Зоны, которая имеет энергию при k = 0, отличную от энергии любой другой зоны), с экстремумом при k = 0 и без спин-орбитальной связи , результатом теории возмущений k · p является ( в низший нетривиальный порядок ): [1]
Поскольку k является вектором действительных чисел (а не вектором более сложных линейных операторов), матричный элемент в этих выражениях можно переписать как:
Следовательно, можно рассчитать энергию при любом k, используя только несколько неизвестных параметров, а именно E n , 0 и. Последние называют «оптическими матричными элементами», тесно связанными с дипольными моментами переходов . Эти параметры обычно выводятся из экспериментальных данных.
На практике сумма по n часто включает только ближайшую одну или две полосы, поскольку они, как правило, являются наиболее важными (из-за знаменателя). Однако для повышения точности, особенно при больших k , необходимо включить больше полос, а также больше членов в пертурбативном разложении, чем написано выше.
Эффективная масса
Используя приведенное выше выражение для уравнения дисперсии энергии, можно найти упрощенное выражение для эффективной массы в зоне проводимости полупроводника. [3] Чтобы аппроксимировать дисперсионное соотношение в случае зоны проводимости, возьмите энергию E n0 в качестве минимальной энергии зоны проводимости E c0 и включите в суммирование только члены с энергиями вблизи максимума валентной зоны, где разность энергий знаменатель наименьший. (Эти члены вносят наибольший вклад в суммирование.) Затем этот знаменатель аппроксимируется как ширина запрещенной зоны E g , что приводит к выражению для энергии:
Тогда эффективная масса в направлении равна:
Игнорирование деталей матричных элементов, ключевые последствия заключаются в том, что эффективная масса изменяется с наименьшей шириной запрещенной зоны и стремится к нулю, когда щель стремится к нулю. [3] Полезное приближение для матричных элементов в прямозонных полупроводниках: [4]
что применимо в пределах примерно 15% или лучше к большинству полупроводников групп IV, III-V и II-VI. [5]
В отличие от этого простого приближения, в случае энергии валентной зоны необходимо вводить спин-орбитальное взаимодействие (см. Ниже), и нужно отдельно рассматривать гораздо больше зон. Расчет представлен в Yu и Cardona . [6] В валентной зоне подвижные носители - это дыры . Было обнаружено, что есть два типа дыр, названные тяжелыми и легкими , с анизотропными массами.
k · p модель со спин-орбитальным взаимодействием
С учетом спин-орбитального взаимодействия уравнение Шредингера для u имеет следующий вид: [2]
где [7]
где вектор, состоящий из трех матриц Паули . Этот гамильтониан можно подвергнуть тому же анализу теории возмущений, что и выше.
Расчет в вырожденном случае
Для вырожденных или почти вырожденных зон, в частности валентных зон в определенных материалах, таких как арсенид галлия , уравнения могут быть проанализированы методами вырожденной теории возмущений . [1] [2] К моделям этого типа относятся « модель Латтинджера – Кона » (также известная как «модель Кона – Латтинджера») [8] и « модель Кейна ». [7]
Как правило, эффективный гамильтониан вводится, и в первом порядке его матричные элементы могут быть выражены как
После ее решения получаются волновые функции и энергетические зоны.
Смотрите также
Электронная зонная структура
Свойства браслета
| Волновые функции
Фундаментальная теория
|
Примечания и ссылки
- ^ a b c d П. Ю., М. Кардона (2005). Основы полупроводников: физика и свойства материалов (3-е изд.). Springer . Раздел 2.6, стр. 68 и далее ». ISBN 3-540-25470-6.
- ^ а б в К. Киттель (1987). Квантовая теория твердого тела (второе исправленное издание). Нью-Йорк: Вили . стр. 186 -190. ISBN 0-471-62412-8.
- ^ а б в В.П. Харрисон (1989) [1980]. Электронная структура и свойства твердых тел (переиздание). Dover Publications . стр. 158 и далее . ISBN 0-486-66021-4.
- ^ Прямая щель полупроводникагде один максимум валентной зоны и полосы минимальной проводимости происходит в том жеположении в K - пространстве,правилотак называемый Γ-точкагде к = 0.
- ^ См. Таблицу 2.22 в Yu & Cardona, op. соч.
- ^ См. Yu & Cardona, op. соч. стр. 75–82
- ^ а б Эван О. Кейн (1957). «Зонная структура антимонида индия». Журнал физики и химии твердого тела . 1 : 249. Bibcode : 1957JPCS .... 1..249K . DOI : 10.1016 / 0022-3697 (57) 90013-6 .
- ^ JM Luttinger, W. Kohn (1955). «Движение электронов и дырок в возмущенных периодических полях». Физический обзор . 97 : 869. Полномочный код : 1955PhRv ... 97..869L . DOI : 10.1103 / PhysRev.97.869 .