Частица в кольце

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Частица в кольце»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В квантовой механике случай частицы в одномерном кольце подобен частице в ящике . Уравнение Шредингера для свободной частицы, которая ограничена кольцом (технически, конфигурационным пространством которого является круг ), имеет вид${\ Displaystyle S ^ {1}}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi = E \ psi}$

Волновая функция [ править ]

Анимированная волновая функция «когерентного» состояния, состоящего из собственных состояний n = 1 и n = 2.

Используя полярные координаты на одномерном кольце радиуса R, волновая функция зависит только от угловой координаты , и поэтому

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ frac {1} {R ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ theta ^ {2}}}}$

Требование , чтобы волновая функция будет периодической в с периодом (от спроса , что волновые функции однозначна функция по окружности ), и что они быть нормированными приводят к условиям${\ displaystyle \ \ theta}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,d\theta =1\ }$,

а также

${\displaystyle \ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )}$

В этих условиях решение уравнения Шредингера дается формулой

${\displaystyle \psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }}$

Собственные значения энергии [ править ]

Эти энергетические собственные являются квантуется из-за периодических граничных условий , и они должны удовлетворять${\displaystyle E}$

${\displaystyle e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }=e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}(\theta +2\pi )}}$, или же

${\displaystyle e^{\pm i2\pi {\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}}=1=e^{i2\pi n}}$

Собственная функция и собственная энергия равны

${\displaystyle \psi (\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm in\theta }}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2mR^{2}}}}$ где ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots }$

Следовательно, существует два вырожденных квантовых состояния для каждого значения (соответствующего ). Следовательно, существует 2 n +1 состояний с энергиями вплоть до энергии, индексированной числом n .${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \ e^{\pm in\theta }}$

Случай частицы в одномерном кольце является поучительным примером при изучении квантования из углового момента для, скажем, электрона на орбиту ядра . В азимутальные волновые функции в этом случае идентичны энергии собственных функций частицы на кольце.

Утверждение , что любая волновая функция для частицы на кольце может быть записана в виде суперпозиции по энергии собственных точно совпадает с теоремой Фурье о развитии любой периодической функции в ряд Фурье .

Эту простую модель можно использовать для определения приблизительных уровней энергии некоторых кольцевых молекул, например бензола.

Заявление [ править ]

В органической химии , ароматические соединения содержат атомные кольца, такие как бензол кольца (в Кекуле структура) , состоящие из пяти или шести, как правило , углерода , атомов. То же самое с поверхностью « бакиболов » (бакминстерфуллерен). Это кольцо ведет себя как круглый волновод , в котором валентные электроны вращаются в обоих направлениях. Для заполнения всех уровней энергии до n требуются электроны, так как у электронов есть дополнительно две возможные ориентации их спинов. Это дает исключительную стабильность («ароматичность») и известно как правило Хюккеля .${\displaystyle 2\times (2n+1)=4n+2}$

В дальнейшем в вращательной спектроскопии эту модель можно использовать как приближение вращательных уровней энергии.

См. Также [ править ]

• Угловой момент
• Гармонический анализ
• Одномерный периодический случай