В математике бесконечная комбинаторика или комбинаторная теория множеств - это расширение идей комбинаторики на бесконечные множества . Некоторые из изучаемых вещей включают непрерывные графы и деревья , расширения теоремы Рамсея и аксиому Мартина . Последние разработки касаются комбинаторики континуума [1] и комбинаторики последователей сингулярных кардиналов. [2]
Теория Рамсея для бесконечных множеств
Напишите κ, λ для порядковых чисел , m для кардинального числа и n для натурального числа. Эрдеш и Радо (1956) ввели обозначение
как стенография способ сказать , что каждый раздел множества [κ] п о п - элементных подмножеств изна m частей имеет однородное множество порядка типа λ. Однородное множество - это в этом случае подмножество κ, такое что каждое n -элементное подмножество находится в одном элементе разбиения. Когда m равно 2, его часто опускают.
Исходя из выбранной аксиомы , не существует ординалов κ с κ → (ω) ω , поэтому n обычно считается конечным. Расширение, где n может быть почти бесконечным, - это обозначение
что является сокращенным способом сказать, что каждое разбиение множества конечных подмножеств κ на m частей имеет подмножество порядкового типа λ такое, что для любого конечного n все подмножества размера n находятся в одном элементе разбиения. Когда m равно 2, его часто опускают.
Другой вариант - обозначение
что является сокращенным способом сказать, что каждая раскраска множества [κ] n из n -элементных подмножеств κ в 2 цвета имеет подмножество порядкового типа λ такое, что все элементы из [λ] n имеют первый цвет или подмножество порядкового типа μ такое, что все элементы [μ] n имеют второй цвет.
Некоторые свойства этого включают: (в дальнейшем кардинал)
- для всех конечных n и k ( теорема Рамсея ).
- ( Теорема Эрдеша – Радо .)
- (Теорема Серпинского)
- ( Теорема Эрдеша – Душника – Миллера ).
Во вселенных без выбора свойства разбиения с бесконечными показателями могут выполняться, и некоторые из них получаются как следствия аксиомы определенности (AD). Например, Дональд А. Мартин доказал, что из AD следует
Крупные кардиналы
С помощью этого обозначения можно определить несколько крупных кардинальных свойств. В частности:
- Слабо компактные кардиналы κ - это те, которые удовлетворяют условию κ → (κ) 2
- α- Кардиналы Эрдеша κ являются наименьшими, удовлетворяющими условию κ → (α) <ω
- Кардиналы Рамсея κ - это те, которые удовлетворяют условию κ → (κ) <ω
Заметки
- ^ Андреас Бласс , Комбинаторные кардинальные характеристики континуума , глава 6 в Справочнике по теории множеств, под редакцией Мэтью Формана и Акихиро Канамори , Springer, 2010
- ^ Тодд Eisworth, Наследники сингулярных кардиналами Глава 15 в Справочник по теории множеств,редакцией Мэтью Форман и Акихиро Канамори, Springer, 2010
Рекомендации
- Душник, Бен; Миллер, EW (1941), "Частично упорядоченные множества", Американский журнал математики , 63 (3): 600-610, DOI : 10,2307 / 2371374 , ЛВП : 10338.dmlcz / 100377 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371374 , MR 0004862
- Эрдеш, Пол ; Хайнал, Андраш (1971), "Нерешенные проблемы теории множеств", Аксиоматическая теория множеств (Калифорнийский университет, Лос-Анджелес, Калифорния, 1967) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XIII Часть I, Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., Стр. 17–48, MR 0280381
- Эрдеш, Пол ; Хайнал, Андраш ; Мате, Аттила; Радо, Ричард (1984), Комбинаторная теория множеств: отношения разделения для кардиналов , Исследования по логике и основам математики, 106 , Амстердам: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-86157-2, Руководство по ремонту 0795592
- Erds, P .; Радо, Р. (1956), "Исчисление разбиений в теории множеств" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 62 (5): 427-489, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1956-10036-0 , МР 0081864
- Канамори, Акихиро (2000). Высшее Бесконечное (второе изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
- Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-85401-8