В теории групп раздел математики , торсионная группа или периодическая группа - это группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок . Все конечные группы периодичны (ср. Циклические ). Показатель такой группы, если существующая, является наименьшее общее кратное порядков элементов. Показатель существует для любой конечной группы и делит групповой порядок.
Значение [ править ]
Проблема Бернсайда - это классический вопрос, который касается отношений между периодическими группами и конечными группами , если рассматривать только конечно порожденные групповые группы: приводит ли указание экспоненты к конечности? На что в общем случае ответ отрицательный .
Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем и фактор-группу рациональных чисел по целым числам, а также их прямые слагаемые, группы Прюфера . Другой пример - прямая сумма всех групп диэдра . Ни один из этих примеров не имеет конечного порождающего множества, и любая периодическая линейная группа с конечным порождающим множеством конечна. Явные примеры конечно порожденных бесконечных периодических групп были построены Голодом на основе совместной работы с Шафаревичем (см. Теорема Голод – Шафаревич) , а также Алешиным и Григорчуком с использованием автоматов .
Математическая логика [ править ]
Одно из интересных свойств периодических групп состоит в том, что определение нельзя формализовать в терминах логики первого порядка . Это потому, что для этого потребуется аксиома вида
который содержит бесконечную дизъюнкцию и поэтому недопустим: логика первого порядка допускает кванторы для одного типа и не может захватывать свойства или подмножества этого типа. Также невозможно обойти эту бесконечную дизъюнкцию, используя бесконечный набор аксиом: из теоремы компактности следует, что никакой набор формул первого порядка не может характеризовать периодические группы. [1]
Связанные понятия [ править ]
Подгруппа кручения из абелевой группы А является подгруппой группы A , состоящей из всех элементов , которые имеют конечный порядок. Кручения абелева группа является абелевой группой , в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Кручения абелева группой является абелевой группой , в которой единичный элемент является единственным элементом с конечным порядком.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Ebbinghaus, H.-D .; Flum, J .; Томас, В. (1994). Математическая логика (2-е изд., 4-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Спрингер. С. 50 . ISBN 978-0-387-94258-2. Проверено 18 июля 2012 года .
Однако в логике первого порядка мы не можем образовывать бесконечно длинные дизъюнкции. В самом деле, позже мы покажем, что не существует множества формул первого порядка, моделями которых являются в точности периодические группы.
- Е. С. Голод, О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых p-группах, Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. 28 (1964) 273–276.
- Алешин С. В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда для периодических групп, Матем. Заметки 11 (1972), 319--328.
- Григорчук Р. И. О проблеме Бернсайда о периодических группах // Функциональный анализ. Прил. 14 (1980), нет. 1, 41–43.
- Р. И. Григорчук. Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних. , Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. 48: 5 (1984), 939–985.
 | Эта статья по абстрактной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |
