В алгебре , А конечно порожденная группа представляет собой группа G , которая имеет некоторое конечное порождающее множество S таким образом , что каждый элемент из G может быть записан в виде комбинации (при групповой операции) из конечного числа элементов конечного множества S и обратные из таких элементы. [1]
По определению каждая конечная группа конечно порождена, так как S можно считать самой группой G. Каждая бесконечная конечно порожденная группа должна быть счетной, но счетные группы не обязательно должны быть конечно порожденными. Аддитивная группа рациональных чисел Q является примером неконечно порожденной счетной группы.
Примеры
- Каждый фактор конечно порожденной группы G конечно порожден; фактор-группа порождается образами образующих группы G при канонической проекции .
- Подгруппа конечно порожденной группы не должны быть конечно порожденной.
- Группа, порожденная одним элементом, называется циклической . Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна к аддитивной группе из целых чисел Z .
- Локально циклическая группа представляет собой группу , в которой каждая конечно порожденная подгруппа является циклической.
- Свободная группа на конечном множестве конечно порожденный элементами этого множества ( §Examples ).
- Тем более каждая конечно определенная группа ( § Примеры ) конечно порождена.
Конечно порожденные абелевы группы
Каждая абелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом из целых чисел Z , а в конечно порожденной абелевой группы с образующими х 1 , ..., х п , каждый элемент группы х может быть записана в виде линейной комбинации этих генераторов,
- x = α 1 ⋅ x 1 + α 2 ⋅ x 2 + ... + α n ⋅ x n
с целыми числами α 1 , ..., α n .
Сами подгруппы конечно порожденной абелевой группы конечно порождены.
Фундаментальная теорема конечно порожденных абелевых групп утверждает , что конечно порожденная абелева группа является прямой суммой из свободной абелевой группы конечного ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых являются уникальными с точностью до изоморфизма.
Подгруппы
Подгруппа конечно порожденной группы не должны быть конечно порожденной. Коммутант в свободной группе на двух образующих является примером подгруппы конечно порожденной группы, которая не является конечно порожденной.
С другой стороны, все подгруппы конечно порожденной абелевой группы конечно порождены.
Подгруппа конечного индекса в конечно порожденной группе всегда конечно порождена, и формула индекса Шрайера дает оценку количества требуемых генераторов. [2]
В 1954 году Альберт Г. Хаусон показал, что пересечение двух конечно порожденных подгрупп свободной группы снова конечно порождено. Кроме того, если а также являются числами образующих двух конечно порожденных подгрупп, то их пересечение порождается не более чем генераторы. [3] Эта верхняя граница была затем значительно улучшена Ханной Нойман, чтобысм. гипотезу Ханны Нойман .
Решетка подгрупп из группы удовлетворяет условие восходящей цепи , тогда и только тогда , когда все подгруппы группы конечно порожденные. Группа, у которой все подгруппы конечно порождены, называется нётеровой .
Группа, в которой каждая конечно порожденная подгруппа конечна, называется локально конечной . Каждая локально конечная группа периодична , т. Е. Каждый элемент имеет конечный порядок . Наоборот, любая периодическая абелева группа локально конечна. [4]
Приложения
Геометрическая теория групп изучает связи между алгебраическими свойствами конечно порожденных групп и топологическими и геометрическими свойствами пространств, на которых эти группы действуют .
Связанные понятия
Проблема слов для конечно порожденной группы - это проблема решения, представляют ли два слова в образующих группы один и тот же элемент. Проблема слов для данной конечно порожденной группы разрешима тогда и только тогда, когда группа может быть вложена в любую алгебраически замкнутую группу .
Ранг группы часто определяется как наименьшее количество элементов порождающего множества для группы. По определению ранг конечно порожденной группы конечен.
Смотрите также
- Конечно порожденный модуль
- Презентация группы
Заметки
- ^ Грегорак, Роберт Дж. (1967). «Замечание о конечно порожденных группах» . Труды Американского математического общества . 18 (4): 756. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1967-0215904-3 .
- ^ Роза (2012) , стр. 55.
- ^ Хаусон, Альберт Г. (1954). «На пересечении конечно порожденных свободных групп». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 428–434. DOI : 10,1112 / jlms / s1-29.4.428 . Руководство по ремонту 0065557 .
- ^ Роза (2012) , стр. 75.
Рекомендации
- Роуз, Джон С. (2012) [полное и неизменное переиздание работы, впервые опубликованной издательством Cambridge University Press, Кембридж, Англия, в 1978 году]. Курс теории групп . Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.