В математике , в области теории групп , локально конечная группа - это тип группы, которую можно изучать аналогично конечной группе . Изучены силовские подгруппы , картеровы подгруппы и абелевы подгруппы локально конечных групп. Автор идеи - это работа русского математика Сергея Черникова в 1930-х годах . [1]
Определение и первые следствия
Локально конечная группа представляет собой группу , для которой каждая конечно порожденная подгруппа является конечным .
Поскольку циклические подгруппы локально конечной группы конечно порождены, следовательно, конечны, каждый элемент имеет конечный порядок , и поэтому группа периодична .
Примеры и не примеры
Примеры:
- Каждая конечная группа локально конечна
- Любая бесконечная прямая сумма конечных групп локально конечна ( Robinson 1996 , p. 443) (хотя прямое произведение может и не быть.)
- Омега-категориальные группы
- В группах прюферовых локально конечные абелевые группы
- Каждая гамильтонова группа локально конечна
- Всякая периодическая разрешимая группа локально конечна ( Диксон, 1994 , предложение 1.1.5).
- Каждая подгруппа локально конечной группы локально конечна. ( Доказательство. Пусть G - локально конечная группа, а S - подгруппа. Каждая конечно порожденная подгруппа группы S является (конечно порожденной) подгруппой группы G. )
- Универсальная группа Холла - это счетная локально конечная группа, содержащая каждую счетную локально конечную группу в качестве подгруппы.
- Каждая группа имеет единственную максимальную нормальную локально конечную подгруппу ( Робинсон, 1996 , с. 436).
- Каждая периодическая подгруппа из общей линейной группы над комплексными числами локально конечна. Поскольку все локально конечные группы периодичны, это означает, что для линейных групп и периодических групп условия идентичны. [2]
Не примеры:
- Никакая группа с элементом бесконечного порядка не является локально конечной группой
- Никакая нетривиальная свободная группа не является локально конечной
- Группа монстров Тарского периодична, но не локально конечна.
Характеристики
Класс локально конечных групп замкнут относительно подгрупп, факторов и расширений ( Робинсон, 1996 , с. 429).
Локально конечные группы удовлетворяют более слабой форме теорем Силова . Если локально конечная группа имеет конечную p -подгруппу, не содержащуюся ни в каких других p -подгруппах, то все максимальные p -подгруппы конечны и сопряжены. Если конъюгатов конечное число, то число сопряженных сравнимо с 1 по модулю p . Фактически, если каждая счетная подгруппа локально конечной группы имеет только счетное число максимальных p -подгрупп, то каждая максимальная p -подгруппа группы сопряжена ( Robinson 1996 , p. 429).
Класс локально конечных групп ведет себя несколько аналогично классу конечных групп. Большая часть теории формаций и классов Фиттинга 1960-х годов, а также более старая теория силовских подгрупп 19-го и 1930-х годов имеет аналог в теории локально конечных групп ( Dixon 1994 , p. V.).
Подобно проблеме Бернсайда , математики задавались вопросом, каждая ли бесконечная группа содержит бесконечную абелеву подгруппу . Хотя в общем случае это не обязательно, результат Филипа Холла и других состоит в том, что каждая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву группу. Доказательство этого факта в теории бесконечных групп опирается на теорему Фейта – Томпсона о разрешимости конечных групп нечетного порядка ( Robinson 1996 , p. 432).
Рекомендации
- ^ Диксон, MR; Кириченко В.В.; Курдаченко Л.А.; Otal, J .; Семко, НН; Шеметков, Л.А.; Субботин, И.Я. (2012). «С. Н. Черников и развитие теории бесконечных групп». Алгебра и дискретная математика . 13 (2): 169–208.
- ^ Кертис, Чарльз; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и ассоциированных алгебр , John Wiley & Sons, стр. 256–262.
- Диксон, Мартин Р. (1994), теория Силова, формации и классы Фиттинга в локально конечных группах , Series in Algebra, 2 , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-1795-2, MR 1313499
- Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
Внешние ссылки
- А.Л. Шмелькин (2001) [1994], "Локально конечная группа" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Отто Х. Кегель, Бертрам А. Ф. Верфриц (1973), Локально конечные группы , Elsevier