Проблема Бернсайда

Основные понятия

Топологические группы и группы Ли

Соленоид
Круг

Общая линейная GL ( n )

Специальная линейная SL ( n )

Ортогональный O ( n )

Евклидова E ( n )

Специальный ортогональный SO ( n )

Унитарный U ( n )

Специальная унитарная СУ ( п )

Симплектический Sp ( n )

G 2
П 4
E 6
E 7
E 8

Лоренц
Пуанкаре
Конформный

Диффеоморфизм
Петля

Бесконечномерная группа Ли

O (∞)
SU (∞)
Sp (∞)

Проблема бернсайдовская , поставленный Уильям Бернсайд в 1902 году и один из старейших и наиболее влиятельных вопросов в теории групп , спрашивает , может ли в конечно порожденную группе , в которой каждый элемент имеет конечный порядок обязательно должно быть конечной группа . Евгений Голод и Игорь Шафаревич представили контрпример в 1964 году. Задача имеет множество вариантов (см. Ограниченные и ограниченные ниже), которые отличаются дополнительными условиями, налагаемыми на порядки элементов группы.

Краткая история [ править ]

Первоначальная работа указала на утвердительный ответ. Например, если группа G конечно порождена и порядок каждого элемента группы G является делителем 4, то группа G конечна. Более того, А.И. Кострикину в 1958 г. удалось доказать, что среди конечных групп с данным числом образующих и данным простым показателем существует наибольшая. Это обеспечивает решение ограниченной проблемы Бернсайда для случая простого показателя. (Позже, в 1989 году, Ефим Зельманов смог решить ограниченную проблему Бернсайда для произвольной экспоненты.) Issai Schurв 1911 г. показал, что любая конечно порожденная периодическая группа, являющаяся подгруппой группы обратимых комплексных матриц размера n × n, конечна; он использовал эту теорему для доказательства теоремы Жордана – Шура . ^[1]

Тем не менее общий ответ на проблему Бернсайда оказался отрицательным. В 1964 году Голод и Шафаревич построили бесконечную группу типа Бернсайда, не предполагая, что все элементы имеют равномерно ограниченный порядок. В 1968 году Петр Новиков и Сергей Адиан подают отрицательное решение ограниченной задачи показателя для всех нечетных показателей больше , чем 4381. В 1982 г. А. Ю.. Ольшанский нашел несколько поразительных контрпримеров для достаточно больших нечетных показателей (больше 10 ¹⁰ ) и дал значительно более простое доказательство, основанное на геометрических идеях.

Дело даже с показателями оказалось сложнее уладить. В 1992 г. С. В. Иванов объявил отрицательное решение для достаточно больших четных показателей, кратных большой степени двойки (подробные доказательства были опубликованы в 1994 г. и заняли около 300 страниц). Позднее совместная работа Ольшанского и Иванова установила отрицательное решение аналога проблемы Бернсайда для гиперболических групп при условии, что показатель достаточно велик. Напротив, когда показатель небольшой и отличается от 2, 3, 4 и 6, известно очень мало.

Общая проблема Бернсайда [ править ]

Группа G называется периодической, если каждый элемент имеет конечный порядок; другими словами, для каждого g в G существует некоторое натуральное число n такое, что g ⁿ = 1. Ясно, что каждая конечная группа периодична. Существуют легко определяемые группы, такие как p ∞ -группа, которые являются бесконечными периодическими группами; но последняя группа не может быть конечно порожденной.

Общая проблема Бернсайда. Если G - конечно порожденная периодическая группа, то обязательно ли G конечна?

На этот вопрос в 1964 г. дали отрицательный ответ Евгений Голод и Игорь Шафаревич , которые привели пример бесконечной p -группы, которая конечно порождена (см. Теорему Голода – Шафаревича ). Однако порядки элементов этой группы априори не ограничены одной константой.

Ограниченная проблема Бернсайда [ править ]

Граф Кэли 27-элементной свободной группы Бернсайда ранга 2 и экспоненты 3.

Отчасти сложность общей проблемы Бернсайда состоит в том, что требования быть конечно порожденными и периодическими дают очень мало информации о возможной структуре группы. Таким образом, мы ставим больше требований на G . Рассмотрим периодическую группу G с дополнительным свойством , что существует наименьшее целое число п такое , что для всех г в G , г ^п = 1. Группа с этим свойством называется периодической с ограниченной экспоненты п , или просто группы с показателем п . Задача Бернсайда для групп с ограниченным показателем:

Проблема Бернсайда. Если G конечно порожденная группа с показателем n , обязательно ли G конечна?

Оказывается, эту проблему можно переформулировать как вопрос о конечности групп в определенной семье. Свободная бернсайдова группа ранга м и экспоненты п , обозначается B ( м , п ), представляет собой группу с м отличается образующими х ₁ , ..., х _м , в которых тождество х ^п = 1 имеет место для всех элементов х , и что является «самой большой» группой, удовлетворяющей этим требованиям. Точнее, характеристическим свойством B ( m , n ) является то, что для любой группы G с mобразующих g ₁ , ..., g _m и экспоненты n , существует единственный гомоморфизм из B ( m , n ) в G, который отображает i- ю образующую x _i матрицы B ( m , n ) в i- ю образующую g _я из G . На языке групповых представлений свободная бернсайдовская группа B ( m , n ) имеет m образующих x ₁ , ..., x _mи отношения x ⁿ = 1 для каждого слова x в x ₁ , ..., x _m , и любая группа G с m образующими степени n получается из него путем наложения дополнительных соотношений. Существование свободной бернсайдовской группы и ее единственность с точностью до изоморфизма устанавливаются стандартными методами теории групп. Таким образом, если G - любая конечно порожденная группа экспоненты n , то G - гомоморфный образ B ( m , n ), где m - количество образующихG . Теперь проблему Бернсайда можно сформулировать следующим образом:

Проблема Бернсайда II. Для каких натуральных чисел m , n свободная группа Бернсайда B ( m , n ) конечна?

Полное решение проблемы Бернсайда в таком виде неизвестно. Бернсайд рассмотрел несколько простых случаев в своей оригинальной статье:

B (1, n ) - циклическая группа порядка n .
В ( м , 2) является прямым произведением из м экземпляров циклической группы порядка 2 и , следовательно , конечны. ^{[примечание 1]}

Известны следующие дополнительные результаты (Бернсайд, Санов, М. Холл ):

B ( m , 3), B ( m , 4) и B ( m , 6) конечны для всех m .

Частный случай группы B (2, 5) остается открытым: по состоянию на 2005 г. ^{[Обновить]}не было известно, конечна ли эта группа.

Прорыв в решении проблемы Бернсайда был достигнут Петром Новиковым и Сергеем Адяном в 1968 году. Используя сложный комбинаторный аргумент, они продемонстрировали, что для любого нечетного числа n с n > 4381 существуют бесконечные конечно порожденные группы показателя n . Позже Адиан улучшил оценку нечетной экспоненты до 665. ^[2] Последнее улучшение оценки нечетной экспоненты - 101, полученное самим Адяном в 2015 году. Случай четной экспоненты оказался значительно сложнее. Лишь в 1994 году Сергею Васильевичу Иванову удалось доказать аналог теоремы Новикова – Адяна: для любого m > 1 и четногоn ≥ 2 ⁴⁸ , n делится на 2 ⁹ , группа B ( m , n ) бесконечна; вместе с теоремой Новикова – Адяна это влечет бесконечность для всех m > 1 и n ≥ 2 ⁴⁸ . В 1996 г. И.Г. Лысенок улучшил это до m > 1 и n ≥ 8000. Новиков – Адян, Иванов и Лысенок получили значительно более точные результаты о структуре свободных бернсайдовых групп. В случае нечетной экспоненты все конечные подгруппы свободных бернсайдовских групп оказались циклическими группами. В случае четной экспоненты каждая конечная подгруппа содержится в произведении двух групп диэдра, и существуют нециклические конечные подгруппы. Кроме того, было показано, что проблемы слова и сопряженности эффективно разрешимы в B ( m , n ) как для случая нечетных, так и для четных показателей n .

Знаменитый класс контрпримеров к проблеме Бернсайда составляют конечно порожденные нециклические бесконечные группы, в которых каждая нетривиальная собственная подгруппа является конечной циклической группой , так называемые монстры Тарского . Первые примеры таких групп были построены А.Ю. Ольшанского в 1979 г. геометрическими методами, положительно решив О.Ю. Проблема Шмидта. В 1982 году Ольшанский смог усилить свои результаты и установить существование для любого достаточно большого простого числа p (можно взять p > 10 ⁷⁵ ) конечно порожденной бесконечной группы, в которой каждая нетривиальная собственная подгруппа является циклической группой порядка p. В статье, опубликованной в 1996 г., Иванов и Ольшанский решили аналог проблемы Бернсайда в произвольной гиперболической группе для достаточно больших показателей.

Ограниченная проблема Бернсайда [ править ]

Сформулированный в 1930-х годах, он задает другой, связанный с этим вопрос:

Ограниченная проблема Бернсайда. Если известно, что группа G с m образующими и показателем n конечна, можно ли заключить, что порядок группы G ограничен некоторой константой, зависящей только от m и n ? Эквивалентно, существует ли только конечное число конечных групп с m образующими экспоненты n с точностью до изоморфизма ?

Этот вариант проблемы Бернсайда также можно сформулировать в терминах некоторых универсальных групп с m образующими и показателем n . Согласно основным результатам теории групп, пересечение двух подгрупп конечного индекса в любой группе само является подгруппой конечного индекса. Пусть M - пересечение всех подгрупп свободной бернсайдовской группы B ( m , n ), имеющих конечный индекс, тогда M - нормальная подгруппа в B ( m , n ) (иначе существует подгруппа g ⁻¹Mg с конечным индекс, содержащий элементы, не принадлежащие M). Поэтому можно определить группы B ₀ ( т , п ) , чтобы быть фактор - группа B ( м , п ) / М . Каждая конечная группа экспоненты n с m образующими является гомоморфным образом B ₀ ( m , n ). Затем ограниченная проблема Бернсайда спрашивает, является ли B ₀ ( m , n ) конечной группой.

В случае простого показателя p эта проблема широко исследовалась А. И. Кострикиным в 1950-х годах до отрицательного решения общей проблемы Бернсайда. Его решение, устанавливающее конечность B ₀ ( m , p ), использовало связь с глубокими вопросами о тождествах в алгебрах Ли в конечной характеристике. Дело о произвольном показателе было полностью разрешено положительно Ефимом Зельмановым , награжденным Филдсовской медалью в 1994 году за свою работу.

Заметки [ править ]

^ Ключевой шаг состоит в том, чтобы заметить, что тождества a ² = b ² = ( ab )² = 1 вместе влекут, что ab = ba , так что свободная бернсайдовская группа экспоненты два обязательно абелева .

Ссылки [ править ]

^ Кертис, Чарльз; Райнер, Ирвинг (1962). Теория представлений конечных групп и ассоциированных алгебр . Джон Вили и сыновья. С. 256–262.
^ Джон Бриттон предложил почти 300-страничное альтернативное доказательство проблемы Бернсайда в 1973 году; однако Адиан в конечном итоге указал на изъян в этом доказательстве.

Библиография [ править ]

С. И. Адян (1979) Проблема Бернсайда и тождества в группах . Перевод с русского Джона Леннокса и Джеймса Виголда. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты по математике и смежным областям], 95. Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк. ISBN 3-540-08728-1 .
С.И. Адян (2015). «Новые оценки нечетных показателей бесконечных бернсайдовских групп». Тр. Мат. Inst. Стеклова . 289 : 41–82. DOI : 10.1134 / S0371968515020041 .Перевод в Adian, SI (2015). «Новые оценки нечетных показателей бесконечных бернсайдовских групп» . Proc. Стеклова Математика . 289 (1): 33–71. DOI : 10.1134 / S0081543815040045 .
Иванов С.В. (1994) "Свободные бернсайдовские группы достаточно больших показателей", Междунар. J. Algebra Comput. 4 .
С.В. Иванов, А.Ю. Ольшанский (1996) " Гиперболические группы и их факторы ограниченных показателей ", Тр. Амер. Математика. Soc. 348 : 2091–2138.
Кострикин А.И. (1990) Вокруг Бернсайда . Перевод с русского и с предисловием Джеймса Вигольда . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 20. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-50602-0 .
И.Г. Лысенок (1996). «Бесконечные бернсайдовские группы четной экспоненты» . Изв. Росс. Акад. Наук Сер. Мат. (на русском). 60 (3): 3–224. DOI : 10.4213 / im77 .Перевод в Лысёнок И.Г. (1996). «Бесконечные бернсайдовские группы четной экспоненты». Изв. Математика . 60 (3): 453–654. DOI : 10.1070 / IM1996v060n03ABEH000077 .
А.Ю. Ольшанский (1989) Геометрия определяющих отношений в группах . Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурин (1991) Математика и ее приложения (Советская серия), 70. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 0-7923-1394-1 .
Э. Зельманов (1990). «Решение ограниченной проблемы Бернсайда для групп нечетной экспоненты» . Изв. Акад. АН СССР . Сер. Мат. (на русском). 54 (1): 42–59, 221.Перевод у Зельманова Е.И. (1991). "Решение ограниченной проблемы Бернсайда для групп нечетной экспоненты". Математика. СССР-Изв . 36 (1): 41–60. DOI : 10.1070 / IM1991v036n01ABEH001946 . S2CID 39623037 .
Э. Зельманов (1991). «Решение ограниченной проблемы Бернсайда для 2-групп» . Мат. Сб. (на русском). 182 (4): 568–592.Перевод у Зельманова Е.И. (1992). «Решение ограниченной проблемы Бернсайда для 2-групп». Математика. Сборник СССР . 72 (2): 543–565. DOI : 10.1070 / SM1992v072n02ABEH001272 .

Внешние ссылки [ править ]

История проблемы Бернсайда в архиве истории математики MacTutor

[2] Ключевой шаг состоит в том, чтобы заметить, что тождества a ² = b ² = ( ab )² = 1 вместе влекут, что ab = ba , так что свободная бернсайдовская группа экспоненты два обязательно абелева .

[Curtis-1] Кертис, Чарльз; Райнер, Ирвинг (1962). Теория представлений конечных групп и ассоциированных алгебр . Джон Вили и сыновья. С. 256–262.

[3] Джон Бриттон предложил почти 300-страничное альтернативное доказательство проблемы Бернсайда в 1973 году; однако Адиан в конечном итоге указал на изъян в этом доказательстве.