Единицы Планка

В физике элементарных частиц и физической космологии , планковские единицы представляют собой совокупность единиц измерения , определенных исключительно в терминах четырех универсальных физических констант , таким образом , что эти физические константы принимают на численном значении 1 , когда выражена в терминах этих единиц.

Первоначально предложенные в 1899 году немецким физиком Максом Планком , эти единицы представляют собой систему естественных единиц, потому что происхождение их определения происходит только от свойств природы, а не от каких-либо человеческих построений . Единицы Планка - это только одна из нескольких систем естественных единиц, но единицы Планка основаны не на свойствах какого-либо объекта-прототипа или частицы (выбор которых по своей природе произвольный), а только на свойствах свободного пространства . Они актуальны при исследовании объединенных теорий, таких как квантовая гравитация .

Термин « планковская шкала» относится к количеству пространства, времени, энергии и других единиц, которые по величине аналогичны соответствующим единицам Планка. Эта область может характеризоваться энергиями около10 ¹⁹  ГэВ , время интервалы по всему10 ⁻⁴³  с и длиной около10 ⁻³⁵  м (приблизительно эквивалент энергии Планковской массы, Планковского времени и Планковской длины). В масштабе Планка не ожидается , что предсказания Стандартной модели , квантовой теории поля и общей теории относительности будут применяться, и ожидается, что квантовые эффекты гравитации будут преобладать. Самый известный пример представлен условиями в первые 10 ^-43 секунды нашей Вселенной после Большого взрыва , примерно 13,8 миллиарда лет назад.

Четыре универсальные константы, которые по определению имеют числовое значение 1 при выражении в этих единицах:

• скорость света в вакууме, с ,
• гравитационная постоянная , G ,
• приведенная постоянная Планка , ħ ,
• постоянная Больцмана , K _B .

Единицы Planck не учитывают электромагнитный размер. Некоторые авторы решили расширить систему до электромагнетизма, например, определив электрическую постоянную ε ₀ как имеющую числовое значение 1 или 1/4 π в этой системе. Точно так же авторы предпочитают использовать варианты системы, которые присваивают другие числовые значения одной или нескольким из четырех констант, указанных выше.

Введение [ править ]

Любой системе измерения может быть назначен взаимно независимый набор основных величин и связанных с ними основных единиц , из которых могут быть выведены все другие величины и единицы. В Международной системе единиц , например, базовые величины СИ включают длину с соответствующей единицей измерения - метр . В системе единиц Планка можно выбрать аналогичный набор основных величин и связанных единиц, в терминах которых могут быть выражены другие величины и когерентные единицы. Единица длины Планка стала известна как длина Планка., а единица времени Планка известна как время Планка, но эта номенклатура не была установлена ​​как распространяющаяся на все величины. Все единицы Планка выводятся из размерных универсальных физических констант, которые определяют систему, и в соглашении, в котором эти единицы опущены (т. Е. Рассматриваются как имеющие безразмерное значение 1), эти константы затем исключаются из уравнений физики, в которых они фигурируют. . Например, закон всемирного тяготения Ньютона ,

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {F_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

можно выразить как:

${\displaystyle {\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}.}$

Оба уравнения согласованы по размерам и одинаково справедливы в любой системе единиц, но второе уравнение, при отсутствии G , связывает только безразмерные величины, поскольку любое отношение двух величин одинакового размера является безразмерной величиной. Если условно обозначить, что все физические величины выражены в единицах Планка, указанные выше отношения могут быть выражены просто с помощью символов физических величин, без явного масштабирования их соответствующими единицами:

${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.}$

Это последнее уравнение (без G ) действительно только в том случае , если F , m ₁ , m ₂ и r являются безразмерными числовыми значениями этих величин, измеренными в единицах Планка. Вот почему единицы Планка или любое другое использование натуральных единиц следует использовать с осторожностью. Ссылаясь на G = c = 1 , Пол С. Вессон писал, что «математически это приемлемый трюк, который экономит труд. Физически он представляет собой потерю информации и может привести к путанице». ^[1]

История и определение [ править ]

Концепция естественных единиц была введена в 1881 году, когда Джордж Джонстон Стоуни , отметив, что электрический заряд квантуется, производные единицы длины, времени и массы, теперь названы единицами Стони в его честь, путем нормализации G , c и заряда электрона. , e , к 1. В 1899 году, за год до появления квантовой теории, Макс Планк ввел то, что позже стало известно как постоянная Планка. ^{[2] [3]} В конце статьи он предложил базовые блоки, позже названные в его честь. Единицы Планка основаны на кванте действия, теперь обычно известном как постоянная Планка, который появился вПриближение Вина для излучения черного тела . Планк подчеркнул универсальность новой системы единиц, написав:

... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und daeßrlicten All, und daeßerlicenschell, und auheßermersische Maßeinheiten «bezeichnet werden können .
... можно установить единицы измерения длины, массы, времени и температуры, которые не зависят от особых тел или веществ, обязательно сохраняя свое значение для всех времен и для всех цивилизаций, включая внеземные и нечеловеческие, которые могут называться «натуральными единицами измерения».

Планка рассматривать только единицы , основанные на универсальных констант , , и прибыть в естественных единицах для длины , времени , массы и температуры . ^[3] Его определения отличаются от современных на фактор , потому что современные определения используют вместо . ^{[2] [3]}${\displaystyle G}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle c}$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle h}$

Таблица 1: Современные значения первоначального выбора величин Планком

Имя	Измерение	Выражение	Значение ( единицы СИ )
Планковская длина	Длина (L)	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	1,616 255 (18) × 10 −35  м [4]
Планковская масса	Масса (М)	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	2,176 434 (24) × 10 -8  кг [5]
Планковское время	Время (T)	${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	5,391 247 (60) × 10 −44  с [6]
Планковская температура	Температура (Θ)	${\displaystyle T_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk_{\text{B}}^{2}}}}}$	1,416 784 (16) × 10 32  К [7]

В отличие от Международной системы единиц , не существует официального органа, который бы давал определение системе единиц Планка. Франк Вильчек определяет базовые единицы Планка как единицы массы, длины и времени, с учетом дополнительной единицы измерения температуры, которая должна быть избыточной. ^{[8] В} других таблицах, помимо единицы измерения температуры, добавляется единица измерения электрического заряда ^{[9], при этом} иногда также заменяется масса энергией. ^[10] Эта единица заряда определяется как

${\displaystyle q_{P}={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}.}$

Заряд Планка, а также другие электромагнитные единицы, которые можно определить как сопротивление и магнитный поток, труднее интерпретировать, чем оригинальные единицы Планка, и используются реже. ^[11] (Установка на 1 дает для заряда значение, идентичное единице заряда, используемой в единицах КХД .) Внутреннее предложение Рабочей группы СИ от 2006 года о фиксации заряда Планка вместо элементарного заряда было отклонено, и вместо этого значение элементарного заряда было выбрано фиксированным по определению. ^[12]${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$

Значения c , h , e и k _B в единицах СИ являются точными из-за определения секунды, метра, килограмма и кельвина в терминах этих констант и не вносят неопределенности в значения единиц Планка, выраженные в терминах Единицы СИ. Диэлектрическая проницаемость вакуума ε ₀ имеет относительную погрешность, равную1,5 × 10 ⁻¹⁰ . ^[13] Численное значение G было определено экспериментально с относительной погрешностью2,2 × 10 ⁻⁵ . ^[14] Таким образом, неопределенность в этих значениях единиц Планка происходит почти полностью из неопределенности в значении G . Кроме того, поскольку значения единиц СИ Планка , которые не зависят от G ε ₀ являются точными, одной длины Планка , деленная на один раз Планка равна в точности , чтобы1 л _П/1 т _П= c = 299792458 м / с .

Производные единицы [ править ]

В любой системе измерения единицы для многих физических величин могут быть выведены из основных единиц. В таблице 2 представлен образец производных единиц Планка, некоторые из которых на самом деле используются редко. Как и в случае с базовыми единицами, их использование в основном ограничивается теоретической физикой, потому что большинство из них слишком велики или слишком малы для эмпирического или практического использования, и в их значениях есть большие неопределенности.

Таблица 2: Связанные производные единицы единиц Планка

Производная единица	Выражение	Приблизительный эквивалент СИ
площадь (L 2 )	${\displaystyle l_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	2,6121 × 10 −70  м 2
объем (л 3 )	${\displaystyle l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}}$	4,2217 × 10 −105  м 3
импульс (LMT −1 )	${\displaystyle m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	6,5249  кг⋅м / с
энергия (L 2 MT −2 )	${\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	1.9561 × 10 9  Дж
сила (LMT −2 )	${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1,2 · 103 × 10 44  Н
плотность (L −3 M)	${\displaystyle \rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {\hbar t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5,1550 × 10 96  кг / м 3
ускорение (LT −2 )	${\displaystyle a_{\text{P}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}}$	5.5608 × 10 51  м / с 2
частота (T −1 )	${\displaystyle f_{p}={\frac {c}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	1.8549 × 10 43  Гц

Некоторые единицы Планка, такие как время и длина, на много порядков слишком велики или слишком малы для практического использования, поэтому единицы Планка как система обычно имеют отношение только к теоретической физике. В некоторых случаях единица Планка может предлагать ограничение диапазона физической величины, в которой применяются современные теории физики ^{[ необходима цитата ]} . Например, наше понимание Большого взрыва начинается с эпохи Планка , когда Вселенная была старше одного планковского времени и имела один планковский размер в диаметре. ^{[ необходима цитата ]} Описание Вселенной, когда ей было меньше одного планковского времени, требуется теория квантовой гравитацииэто включило бы квантовые эффекты в общую теорию относительности . Такой теории пока не существует.

Некоторые величины не являются «экстремальными» по величине, например масса Планка , которая составляет около 22 микрограммов : очень большие по сравнению с субатомными частицами, но вполне укладываются в диапазон масс живых существ. Точно так же связанные единицы энергии и количества движения входят в диапазон некоторых повседневных явлений.

Значение [ править ]

В единицах Планка мало антропоцентрического произвола, но они все же включают в себя произвольный выбор определяющих констант. В отличие от метра и секунды , которые существуют в качестве основных единиц в системе СИ по историческим причинам, планковская длина и планковское время концептуально связаны на фундаментальном физическом уровне. Следовательно, естественные единицы помогают физикам переосмыслить вопросы. Фрэнк Вильчек кратко об этом говорит:

Мы видим, что вопрос [поставлен] не в том, «Почему гравитация такая слабая?» а скорее: «Почему масса протона такая малая?» Ибо в естественных (планковских) единицах сила гравитации - это просто то, что она есть, первичная величина, а масса протона - это крошечное число [1 / (13  квинтиллионов )]. ^[15]

Хотя это правда, что электростатическая сила отталкивания между двумя протонами (только в свободном пространстве) значительно превышает силу гравитационного притяжения между теми же двумя протонами, дело не в относительной силе двух фундаментальных сил. С точки зрения единиц Планка, это сравнение яблок с апельсинами , потому что масса и электрический заряд - несоизмеримые величины. Скорее, несоответствие величины силы является проявлением того факта, что заряд протонов приблизительно равен единице заряда, но масса протонов намного меньше единицы массы .

Планковский масштаб [ править ]

В физике элементарных частиц и физической космологии , масштаб Планка представляет собой энергетический масштаб около 1,22 × 10 ¹⁹ ГэВ (энергия Планка, соответствующая эквивалентности массы и энергии из массы Планка , 2,17645 × 10 ^-8 кг) , при котором квантовые эффекты от тяжести стать сильным. В этом масштабе нынешние описания и теории взаимодействий субатомных частиц в терминах квантовой теории поля рушатся и становятся неадекватными из-за воздействия очевидной неперенормируемости гравитации в рамках текущих теорий.

Отношение к гравитации [ править ]

В масштабе длины Планка ожидается, что сила гравитации станет сопоставимой с другими силами, и предполагается, что все фундаментальные силы объединены в этом масштабе, но точный механизм этого объединения остается неизвестным. Таким образом, масштаб Планка - это точка, в которой эффекты квантовой гравитации больше нельзя игнорировать в других фундаментальных взаимодействиях , и где текущие расчеты и подходы начинают ломаться, и требуются средства для учета ее воздействия. ^{[16] [17]}

Хотя физики достаточно хорошо понимают другие фундаментальные взаимодействия сил на квантовом уровне, гравитация проблематична и не может быть интегрирована с квантовой механикой при очень высоких энергиях с использованием обычных рамок квантовой теории поля. На меньших уровнях энергии его обычно игнорируют, в то время как для энергий, приближающихся или превышающих планковский масштаб, требуется новая теория квантовой гравитации . Другие подходы к этой проблеме включают теорию струн и M-теорию , петлевую квантовую гравитацию , некоммутативную геометрию , масштабную относительность , теорию причинных множеств и P-адическую квантовую механику.. ^[18]

В космологии [ править ]

В космологии Большого Взрыва , то эпоха Планка или Планка эпохи является самым ранним этапом Большого взрыва , до того , как прошло время был равен времени Планка, т _P , или приблизительно 10 ^-43 секунд. ^[19] В настоящее время нет доступной физической теории для описания таких коротких времен, и неясно, в каком смысле понятие времени имеет смысл для значений, меньших, чем время Планка. Обычно считается, что квантовые эффекты гравитации доминируют над физическими взаимодействиями в этом масштабе времени. В этом масштабе, в единую силу в стандартной моделисчитается объединенным с гравитацией . Неизмеримо горячее и плотное состояние эпохи Планка сменилось эпохой великого объединения , когда гравитация отделена от единой силы Стандартной модели, за которой, в свою очередь, последовала инфляционная эпоха , которая закончилась примерно через ^10-32 секунды (или около 10 ¹⁰  т _П ). ^[20]

Наблюдаемая Вселенная сегодня выражается в единицах Планка: ^{[21] [22]}

После измерения космологической постоянной в 1998 году, оцененной в 10 ⁻¹²² в единицах Планка, было отмечено, что это предположительно близко к обратной величине квадрата возраста Вселенной . Барроу и Шоу предложили модифицированную теорию, в которой Λ - это поле, развивающееся таким образом, что его значение остается Λ ~ T ^{−2 на} протяжении всей истории Вселенной. ^[23]

Анализ юнитов [ править ]

Планковское время и длина [ править ]

Планковская длина, обозначаемая ℓ _P , является единицей длины, определяемой как:

${\displaystyle \ell _{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$

Это равно 1,616 255 (18) × 10 ^-35  м ^[4], где две цифры, заключенные в круглые скобки, представляют собой оценочную стандартную ошибку, связанную с сообщенным числовым значением.

Единица времени Планка - это время, необходимое свету для прохождения расстояния в 1 планковскую длину в вакууме , что составляет временной интервал приблизительно 5,39 × 10 ^-44 с . ^[24] Все научные эксперименты и человеческий опыт происходят во временных масштабах, которые на много порядков больше планковского времени ^[25], поэтому любые события, происходящие в планковском масштабе, невозможно обнаружить с помощью современных научных технологий. По состоянию на октябрь 2020 ^[update]года наименьшая неопределенность временного интервала в прямых измерениях составляла порядка 247 зептосекунд (2,47 × 10 ⁻¹⁹ секунд). ^[26]

Хотя в настоящее время нет известного способа измерения временных интервалов в масштабе планковского времени, исследователи в 2020 году предложили теоретический аппарат и эксперимент, которые, если они когда-либо будут реализованы, могут быть подвержены влиянию эффектов времени всего лишь 10 ⁻³³ секунд, тем самым устанавливая верхний обнаруживаемый предел для квантования времени, которое примерно в 20 миллиардов раз длиннее планковского времени. ^{[27] [28]}

Планковская энергия [ править ]

Большинство планковских единиц чрезвычайно малы, как в случае планковской длины или планковского времени, или чрезвычайно велики, как в случае планковской температуры или планковского ускорения. Для сравнения: энергия Планка примерно равна энергии, запасенной в автомобильном бензобаке (57,2 л бензина при 34,2 МДж / л химической энергии). Космические лучи сверхвысокой энергии наблюдалась в 1991 году был измерены энергией около 50 Дж, что эквивалентно приблизительно 2,5 × 10 ^-8 E _P . ^[29] Теоретически, самая высокая энергия фотона несет около 1 Е _Р энергии (см сверхвысокой энергии гамма - лучей ), и любое дальнейшее увеличение энергии (транс-планковский фотона) будет делать это неотличим отПланковская частица с таким же импульсом.

Сила Планка [ править ]

Сила Планка - это производная единица силы, полученная в результате определения базовых единиц Планка для времени, длины и массы. Он равен естественной единице количества движения, деленной на естественную единицу времени.

${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}=1.210295\times 10^{44}{\mbox{ N.}}}$

Сила гравитационного притяжения двух тел массой 1 Планка каждое, разделенных на 1 длину Планка, равна 1 силе Планка; эквивалентно, электростатическая сила притяжения / отталкивания двух планковских зарядов, разнесенных на 1 планковскую длину, равна 1 планковской силе.

Различные авторы утверждали, что сила Планка порядка максимальной силы, которую можно наблюдать в природе. ^{[30] [31]} Однако справедливость этих предположений оспаривается. ^[32]

Планковский импульс [ править ]

Импульс Планка равен массе Планка, умноженной на скорость света . В отличие от большинства других единиц Планка, импульс Планка возникает в человеческом масштабе. Для сравнения, бег с пятифунтовым объектом (10 ⁸ × масса Планка) со средней скоростью (10 ^-8 × скорость света в вакууме) дал бы объекту планковский импульс. Человек весом 70 кг, движущийся со средней скоростью ходьбы 1,4 м / с (5,0 км / ч; 3,1 мили в час), будет иметь импульс около 15 . Бейсбол , который имеет массу 0,145 кг, путешествия при 45 м / с (160 км / ч; 100 миль / ч) будет иметь импульс Планка.${\displaystyle m_{\text{P}}c}$${\displaystyle m=}$

Планковская плотность [ править ]

Планковская плотность - это очень большая единица, эквивалентная примерно 10 ⁹³ граммам, сжатым в одном кубическом сантиметре. Плотность Планка считается верхним пределом плотности. ^{[ необходима цитата ]}

Планковская температура [ править ]

Планковская температура 1 (единица), равная 1,416 784 (16) × 10 ³²  К ^[7] , считается фундаментальным пределом температуры. ^[33] Объект с температурой1,42 × 10 ³²  Кельвина ( Т _Р ) будет испускать излучение абсолютно черного тела с пиковой длиной волны от1,616 × 10 ^-35  м ( планковская длина ), где каждый фотон и каждое отдельное столкновение будут иметь энергию для создания планковской частицы . Там нет известных физических моделей в состоянии описать температуры больше чем или равна T _P .

Список физических уравнений [ править ]

Физические величины, которые имеют разные размеры (такие как время и длина), не могут быть приравнены, даже если они численно равны (1 секунда не то же самое, что 1 метр). В теоретической физике, однако, эту осторожность можно устранить с помощью процесса, называемого обезразмериванием . В таблице 3 показано, как использование единиц Планка упрощает многие фундаментальные уравнения физики, поскольку это дает каждой из пяти фундаментальных констант и их произведениям простое числовое значение 1 . В системе СИ единицы должны быть учтены. В безразмерной форме единицы, которые теперь являются единицами Планка, не нужно записывать, если их использование понятно.

Таблица 3: Как единицы Планка упрощают ключевые уравнения физики

	Форма СИ	Форма единиц Планка
Закон всемирного тяготения Ньютона	${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$
Уравнения поля Эйнштейна в общей теории относительности	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }$	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }$
Эквивалентность массы и энергии в специальной теории относительности	${\displaystyle {E=mc^{2}}\ }$	${\displaystyle {E=m}\ }$
Соотношение энергия – импульс	${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}\;}$	${\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}\;}$
Тепловая энергия на частицу на степень свободы	${\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}k_{\text{B}}T}\ }$	${\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}T}\ }$
Формула энтропии Больцмана	${\displaystyle {S=k_{\text{B}}\ln \Omega }\ }$	${\displaystyle {S=\ln \Omega }\ }$
Соотношение Планка – Эйнштейна для энергии и угловой частоты	${\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }$	${\displaystyle {E=\omega }\ }$
Закон Планка (поверхностная интенсивность на единицу телесного угла на единицу угловой частоты ) для черного тела при температуре Т .	${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}~{\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T}}-1}}}$	${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}}{4\pi ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\omega /T}-1}}}$
Константа Стефана – Больцмана σ определена	${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{\text{B}}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}}$	${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}}{60}}}$
Бекенстейна - Хокинг энтропия черной дыры [34]	${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {A_{\text{BH}}k_{\text{B}}c^{3}}{4G\hbar }}={\frac {4\pi Gk_{\text{B}}m_{\text{BH}}^{2}}{\hbar c}}}$	${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {A_{\text{BH}}}{4}}=4\pi m_{\text{BH}}^{2}}$
Уравнение Шредингера	${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}}$
Гамильтонова форма уравнения Шредингера	${\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi _{t}\right\rangle }$	${\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i{\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi _{t}\right\rangle }$
Ковариантная форма уравнения Дирака.	${\displaystyle \ (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0}$	${\displaystyle \ (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$
Температура Унру	${\displaystyle T={\frac {\hbar a}{2\pi ck_{B}}}}$	${\displaystyle T={\frac {a}{2\pi }}}$
Закон Кулона	${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$
Уравнения Максвелла	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {1}{\epsilon _{0}}}\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$
Закон идеального газа	${\displaystyle PV=Nk_{B}T}$ или же ${\displaystyle PV=nRT}$	${\displaystyle PV=NT}$

Альтернативные варианты нормализации [ править ]

Как уже указывалось выше, единицы Планка выводятся путем «нормализации» числовых значений некоторых фундаментальных констант к 1. Эти нормализации не являются единственно возможными и не обязательно лучшими. Более того, выбор факторов, которые следует нормализовать, среди факторов, фигурирующих в фундаментальных уравнениях физики, не очевиден, и значения единиц Планка чувствительны к этому выбору.

Множитель 4 π широко используется в теоретической физике, потому что площадь поверхности сферы радиуса r равна 4 π r ² в контекстах, имеющих сферическую симметрию в трех измерениях. Это, наряду с понятием потока , является основой для закона обратных квадратов , закона Гаусса , и дивергенции оператора , приложенного к плотности потока . Например, гравитационные и электростатические поля, создаваемые точечными зарядами, обладают сферической симметрией (Barrow 2002: 214–15). 4 π r ²Появление в знаменателе закона Кулона в рационализированной форме , например, следует из потока электростатического поля, равномерно распределенного по поверхности сферы. То же самое и с законом всемирного тяготения Ньютона. (Если бы пространство имело более трех пространственных измерений, коэффициент 4 π был бы изменен в соответствии с геометрией сферы в более высоких измерениях .)

Следовательно, значительная часть физической теории, разработанная после того, как Планк (1899) предлагает нормировать не G, а либо 4 π G (или 8 π G, или 16 π G ) на 1. Это приведет к увеличению множителя1/4 π (или же 1/8 π или же 1/16 π) в безразмерную форму закона всемирного тяготения, совместимую с современной рационализированной формулировкой закона Кулона в терминах диэлектрической проницаемости вакуума. Фактически, альтернативные нормализации часто сохраняют фактор1/4 πв безразмерной форме закона Кулона, так что безразмерные уравнения Максвелла для электромагнетизма и гравитоэлектромагнетизма принимают ту же форму, что и для электромагнетизма в SI, которые не имеют никаких множителей 4 π . Когда это применяется к электромагнитным постоянным, ε ₀ , эта система единиц называется « рационализированной » . Применительно к единицам гравитации и Планка они называются рационализированными единицами Планка ^[35] и используются в физике высоких энергий. ^[36]

Рационализированные единицы Планка определены так, что .${\displaystyle c=4\pi G=\hbar =\varepsilon _{0}=k_{\text{B}}=1}$

Есть несколько возможных альтернативных нормализаций.

Гравитационная постоянная [ править ]

В 1899 году закон всемирного тяготения Ньютона все еще рассматривался как точный, а не как удобное приближение для «малых» скоростей и масс (приблизительный характер закона Ньютона был показан после развития общей теории относительности в 1915 году). Следовательно, Планк нормализовал гравитационную постоянную G в законе Ньютона к единице. В теориях, появившихся после 1899 г., G почти всегда появляется в формулах, умноженных на 4 π или их небольшое целое число. Следовательно, выбор, который следует сделать при разработке системы естественных единиц, состоит в том, что, если таковые имеются, случаи 4 π, появляющиеся в уравнениях физики, должны быть исключены с помощью нормализации.

• Нормализация 4 π G до 1 (и, следовательно, установка G =1/4π):

• Закон Гаусса для гравитации принимает вид Φ _g = - M (а не Φ _g = −4 π M в единицах Планка).
• Исключает 4 π G из уравнения Пуассона .
• Устраняет 4 π G в уравнениях гравитоэлектромагнетизма (GEM), которые справедливы в слабых гравитационных полях или локально плоском пространстве-времени . Эти уравнения имеют ту же форму, что и уравнения Максвелла (и уравнение силы Лоренца ) электромагнетизма , с плотностью массы, заменяющей плотность заряда , и с1/4 π Gзаменяя ε ₀ .
• Нормализует характеристическое сопротивление Z _г в гравитационного излучения в свободном пространстве до 1 ( как правило , выражается как4 π G/c). ^{[примечание 1]}
• Исключает 4 π G из формулы Бекенштейна – Хокинга (для энтропии черной дыры с точки зрения ее массы m _BH и площади ее горизонта событий A _BH ), которая упрощается до S _BH = π A _BH = ( m _BH ) ² .

• Положив 8 π G = 1 (и, следовательно, установив G =1/8π). Это исключит 8 П G из уравнений поля Эйнштейна , Эйнштейн-Гильберт действия , и уравнений Фридмана , для гравитации. Единицы Планка, модифицированные так, что 8 π G = 1 , известны как уменьшенные единицы Планка , потому что масса Планка делится на √ 8 π . Кроме того , формула Бекенштейн-Хокинга для энтропии черной дыры упрощается до S _BH = ( м _ВН ) ² /2 = 2 & pi ; A _BH .
• Установка 16 π G = 1 (и, следовательно, установка G =1/16π). Это устранило бы постояннуюв ⁴/16 π Gиз действия Эйнштейна – Гильберта. Форма уравнений поля Эйнштейна с космологической постоянной Λ принимает вид R _μν -1/2Rg _μν + Хд _μν =1/2Т _µν .

Планковские единицы и инвариантное масштабирование природы [ править ]

Этот раздел, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверяя сделанные утверждения и добавляя встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Апрель 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Некоторые теоретики (такие как Дирак и Милн ) предложили космологии , предполагающие, что физические «константы» могут действительно изменяться со временем (например, переменная скорость света или теория переменного G Дирака.). Такие космологии не получили широкого признания, и все же существует значительный научный интерес к возможности того, что физические «константы» могут измениться, хотя такие предложения вызывают сложные вопросы. Возможно, первый вопрос, на который следует ответить, звучит так: как такое изменение повлияет на работу физических измерений или, что более фундаментально, на наше восприятие реальности? Если бы какая-то конкретная физическая константа изменилась, как бы мы это заметили или чем изменилась бы физическая реальность? Какие измененные константы приводят к значимой и измеримой разнице в физической реальности? Если физическая константа , которая не безразмерный , такие как скорость света , сделална самом деле изменение, сможем ли мы его заметить или однозначно измерить? - вопрос, рассмотренный Майклом Даффом в его статье «Комментарий к изменению во времени фундаментальных констант». ^{[37] [38]}

Джордж Гамов в своей книге « Мистер Томпкинс в стране чудес» утверждал, что достаточное изменение размерной физической постоянной, такой как скорость света в вакууме, приведет к очевидным ощутимым изменениям. Но эта идея подвергается сомнению:

[] Важный урок, который мы извлекаем из того, как чистые числа, такие как α, определяют мир, - это то, что на самом деле означает для миров быть разными. Чистое число, которое мы называем постоянной тонкой структуры и обозначаем α, представляет собой комбинацию заряда электрона e , скорости света c и постоянной Планка h . Сначала у нас может возникнуть соблазн подумать, что мир, в котором скорость света меньше, будет другим миром. Но это было бы ошибкой. Если бы все c , h и e были изменены так, чтобы их значения в метрических (или любых других) единицах были разными, когда мы искали их в наших таблицах физических констант, но значениеα остался прежним, этот новый мир с точки зрения наблюдений был бы неотличим от нашего мира. Единственное, что имеет значение при определении миров, - это значения безразмерных констант Природы. Если бы все массы были удвоены по величине [включая массу Планка m _P  ], вы не можете сказать, потому что все чистые числа, определяемые отношениями любой пары масс, не изменились.

-  Барроу 2002 ^[21]

Ссылаясь на «Комментарий Даффа об изменении фундаментальных констант во времени» ^[37] и на статью Даффа, Окуна и Венециано «Триалог по количеству фундаментальных констант», ^[39]в частности, в разделе, озаглавленном «Оперативно неразличимый мир мистера Томпкинса», если бы все физические величины (массы и другие свойства частиц) были выражены в единицах Планка, эти величины были бы безразмерными числами (масса, деленная на массу Планка, длина деленное на длину Планка и т. д.), и единственные величины, которые мы в конечном итоге измеряем в физических экспериментах или в нашем восприятии реальности, - это безразмерные числа. Когда кто-то обычно измеряет длину с помощью линейки или рулетки, этот человек на самом деле считает отметки на данном эталоне или измеряет длину относительно этого эталона, который является безразмерным значением. То же самое и с физическими экспериментами, поскольку все физические величины измеряются относительно некоторой другой величины аналогичного размера.

Мы можем заметить разницу, если изменится некоторая безразмерная физическая величина, такая как постоянная тонкой структуры , α , или отношение масс протона к электрону ,м _п/м _е, изменяется (атомная структура изменилась бы), но если бы все безразмерные физические величины остались неизменными (это включает все возможные отношения одинаковых физических величин), мы не сможем сказать , изменилась ли размерная величина, такая как скорость света , c . И действительно, концепция Томпкинса теряет смысл в нашем восприятии реальности, если размерная величина, такая как c , изменилась , даже резко.

Если бы скорость света c как-нибудь внезапно уменьшилась вдвое и изменилась на1/2c (но с аксиомой, что все безразмерные физические величины остаются прежними), то планковская длина увеличилась бы в 2 √ 2 раза с точки зрения какого-нибудь незатронутого наблюдателя снаружи. Измеренная «смертными» наблюдателями в единицах Планка, новая скорость света останется равной 1 новой планковской длине на 1 новое планковское время, что ничем не отличается от старых измерений. Но, поскольку по аксиоме размер атомов (приблизительно радиус Бора ) связан с планковской длиной неизменной безразмерной константой пропорциональности:

${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}={\frac {m_{\text{P}}}{m_{e}\alpha }}l_{\text{P}}.}$

Тогда атомы были бы больше (в одном измерении) на 2 √ 2 , каждый из нас был бы выше на 2 √ 2 , и поэтому наши измерительные стержни были бы выше (и шире и толще) в 2 √ 2 раза . Наше восприятие расстояния и длины относительно длины Планка по аксиоме является неизменной безразмерной константой.

Наши часы будут медленнее в 4 √ 2 раза (с точки зрения этого незатронутого наблюдателя снаружи), потому что время Планка увеличилось на 4 √ 2, но мы не заметим разницы (наше восприятие длительности времени относительно планковского времени является, по аксиоме, неизменной безразмерной константой). Этот гипотетический незатронутый наблюдатель снаружи мог бы заметить, что теперь свет распространяется со скоростью вдвое меньшей, чем раньше (а также со всеми другими наблюдаемыми скоростями), но он все равно будет двигаться.299 792 458 наших новых метров за время, прошедшее до одной из наших новых секунд (1/2c × 4 √ 2 ÷ 2 √ 2 продолжает равняться299 792 458  м / с ). Мы не заметим никакой разницы.

Это противоречит тому, что пишет Джордж Гамов в своей книге « Мистер Томпкинс» ; Там Гамов предполагает, что если бы универсальная константа, зависящая от размерности, такая как c, значительно изменилась, мы бы легко заметили разницу. Несогласие лучше рассматривать как двусмысленность во фразе «изменение физической константы» ; что произойдет, зависит от того, были ли (1) все остальные безразмерные константы такими же, или (2) все остальные зависящие от размеровконстанты остаются неизменными. Второй выбор - это несколько сбивающая с толку возможность, поскольку большинство наших единиц измерения определяется в зависимости от результатов физических экспериментов, а экспериментальные результаты зависят от констант. Гамов не обращает внимания на эту тонкость; мысленные эксперименты, которые он проводит в своих популярных работах, предполагают второй вариант «изменения физической константы» . Дафф или Барроу указали бы, что приписывание изменения измеримой реальности, то есть α , определенной размерной составляющей величине, такой как c , неоправданно. Та же самая операционная разница в измерении или воспринимаемой реальности может быть также вызвана изменением h или e, если αизменяется и никакие другие безразмерные константы не меняются. В определении миров в конечном итоге имеют значение только безразмерные физические константы. ^{[37] [40]}

Этот неизменный аспект шкалы относительно Планка или любой другой системы естественных единиц приводит многих теоретиков к выводу, что гипотетическое изменение размерных физических констант может проявляться только как изменение безразмерных физических констант . Одной из таких безразмерных физических констант является постоянная тонкой структуры . Некоторые физики-экспериментаторы утверждают, что они действительно измерили изменение постоянной тонкой структуры ^[41], и это усилило споры об измерении физических констант. По мнению некоторых теоретиков ^[42], существуют некоторые очень особые обстоятельства, при которых изменения постоянной тонкой структуры могут быть измерены как изменение размерногофизические константы. Другие, однако, отвергают возможность измерения изменения размерных физических констант при любых обстоятельствах. ^[37] Сложность или даже невозможность измерения изменений размерных физических констант заставила некоторых теоретиков спорить друг с другом, имеет ли размерная физическая константа какое-либо практическое значение, и это, в свою очередь, приводит к вопросам о том, какие размерные физические константы значимы. ^[39]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Использование внешних ссылок в этой статье может не соответствовать политикам или рекомендациям Википедии . Пожалуйста, улучшите эту статью , удалив лишние или неприемлемые внешние ссылки и преобразовав полезные ссылки, где это уместно, в сноски . ( Июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Значение фундаментальных констант , включая единицы Планка, по данным Национального института стандартов и технологий (NIST).
• «Планка Era» и «Планк Time» (до 10 ^-43 секунд после рождения из Вселенной ) ( Университет штата Орегон ).
• Шкала Планка: теория относительности встречает квантовую механику и гравитацию из "Света Эйнштейна" на UNSW
• Многомерная алгебра и физика планковского масштаба , Джон К. Баез
• Адлер, Рональд Дж. (2010). «Шесть легких дорог в масштабе Планка». Американский журнал физики . 78 (9): 925–932. arXiv : 1001.1205 . Bibcode : 2010AmJPh..78..925A . DOI : 10.1119 / 1.3439650 . S2CID  55181581 .
• Сиварам, К. (1 августа 1986 г.). «Эволюция Вселенной через эпоху Планка». Астрофизика и космическая наука . 125 (1): 189–199. Bibcode : 1986Ap и SS.125..189S . DOI : 10.1007 / BF00643984 . S2CID  123344693 .