Расширение плоской волны

В физике , то разложение плоской волны выражает плоскую волну в виде линейной комбинации из сферических волн ,

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }({\hat {\mathbf {k} }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}),}$

куда

• i - мнимая единица ,
• k - волновой вектор длины k ,
• r - позиционный вектор длины r ,
• j _ℓ - сферические функции Бесселя ,
• P _ℓ - полиномы Лежандра , а
• шляпа ^ обозначает единичный вектор .

В особом случае, когда k выровнено по оси z ,

${\displaystyle e^{ikr\cos \theta }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ),}$

где θ представляет собой сферический полярный угол из г .

Расширение по сферическим гармоникам [ править ]

С помощью теоремы о сложении сферических гармоник уравнение можно переписать как

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }j_{\ell }(kr)Y_{\ell }^{m}{}({\hat {\mathbf {k} }})Y_{\ell }^{m*}({\hat {\mathbf {r} }}),}$

куда

• Y _ℓ ^m - сферические гармоники и
• верхний индекс * означает комплексное сопряжение .

Обратите внимание, что комплексное сопряжение между двумя сферическими гармониками можно менять местами из-за симметрии.

Приложения [ править ]

Разложение плоской волны применяется в

• Акустика
• Оптика
• Квантовая теория рассеяния

См. Также [ править ]

• Уравнение Гельмгольца
• Метод плоских волн в вычислительном электромагнетизме
• Расширение Вейля

Ссылки [ править ]

• Электронная библиотека математических функций, уравнение 10.60.7 , Национальный институт стандартов и технологий
• Рами Мехрем (2009), Расширение плоской волны, бесконечные интегралы и тождества, включающие сферические функции Бесселя , arXiv : 0909.0494 , Bibcode : 2009arXiv0909.0494M