В теории чисел , ряд Пуанкаре является математической серией обобщающей классических серий теты , который связан с какой - либо дискретной группой симметрий комплексной области , возможно , из нескольких комплексных переменных . В частности, они обобщают классический ряд Эйзенштейна . Они названы в честь Анри Пуанкаре .
Если Γ - конечная группа, действующая в области D, а H ( z ) - любая мероморфная функция на D , то автоморфная функция получается усреднением по Γ:
Однако, если Γ - дискретная группа , необходимо ввести дополнительные множители, чтобы гарантировать сходимость такого ряда. С этой целью ряд Пуанкаре - это ряд вида
где J γ - определитель Якоби элемента группы γ, [1], а звездочка означает, что суммирование происходит только по представителям смежного класса, дающим различные члены в ряду.
Классический ряд Пуанкаре веса 2 к о наличии Фукса группы Г определяется серии
суммирование по классам конгруэнции дробно-линейных преобразований
принадлежащий Γ. Выбор H будет символом из циклической группы порядка п , получает так называемый ряд Пуанкара порядка п :
Последний ряд Пуанкаре сходится абсолютно и равномерно на компактах (в верхней полуплоскости) и является модулярной формой веса 2 k для Γ. Заметим, что когда Γ полная модулярная группа и n = 0, получается ряд Эйзенштейна веса 2 k . В общем случае ряд Пуанкаре при n ≥ 1 является касп-формой .
Заметки
- ^ Или более общий фактор автоморфности, как обсуждалось в Колларе 1995 , §5.2.
Рекомендации
- Коллар, Янош (1995), карты Шафаревича и автоморфные формы , MB Porter Lectures, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04381-4, Руководство по ремонту 1341589 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Тета-ряды» , Энциклопедия математики , EMS Press.