В математике , особенно в динамических системах , первое рекуррентное отображение или отображение Пуанкаре , названное в честь Анри Пуанкаре , является пересечением периодической орбиты в пространстве состояний непрерывной динамической системы с некоторым подпространством меньшей размерности, называемым сечением Пуанкаре , трансверсально к потоку системы. Точнее, рассматривается периодическая орбита с начальными условиями внутри секции пространства, которая затем покидает эту секцию, и наблюдает за точкой, в которой эта орбита сначала возвращается в секцию. Затем создаетсяmap для отправки первой точки во вторую, отсюда и название first recurrence map . Трансверсальность сечения Пуанкаре означает, что периодические орбиты, начинающиеся на подпространстве, протекают через него, а не параллельно ему. [ необходима цитата ]
Отображение Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему с пространством состояний, которое на одно измерение меньше исходной непрерывной динамической системы. Поскольку он сохраняет многие свойства периодических и квазипериодических орбит исходной системы и имеет пространство состояний меньшей размерности, он часто используется для более простого анализа исходной системы. [ необходима цитата ] На практике это не всегда возможно, поскольку не существует общего метода построения отображения Пуанкаре.
Карта Пуанкаре отличается от графика повторения тем, что пространство, а не время, определяет, когда наносить точку. Например, местоположение Луны, когда Земля находится в перигелии, представляет собой график повторения; геометрическое место Луны, когда она проходит через плоскость, перпендикулярную орбите Земли и проходит через Солнце и Землю в перигелии, является картой Пуанкаре. [ необходима цитата ] Он использовался Мишелем Эноном для изучения движения звезд в галактике , потому что путь звезды, проецируемой на плоскость, выглядит как запутанный беспорядок, в то время как карта Пуанкаре показывает структуру более четко.
Определение
Пусть ( R , M , φ ) - глобальная динамическая система , где R - действительные числа , M - фазовое пространство, а φ - функция эволюции . Пусть γ - периодическая орбита, проходящая через точку p, а S - локальное дифференцируемое и трансверсальное сечение φ через точку p , называемое сечением Пуанкаре через точку p .
Учитывая открытый и связанный район из р , А функция
называется отображением Пуанкаре орбиты γ на сечении Пуанкаре S через точку p, если
- P ( p ) = p
- P ( U ) - окрестность точки p, а P : U → P ( U ) - диффеоморфизм
- для каждой точки х в U , то положительное полуорбита из х пересекает S в первый раз , при Р ( х )
Отображения Пуанкаре и анализ устойчивости
Отображения Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему . Устойчивость периодической орбиты исходной системы тесно связана с устойчивостью неподвижной точки соответствующего отображения Пуанкаре.
Пусть ( R , M , φ ) - дифференцируемая динамическая система с периодической орбитой γ через p . Позволять
- соответствующее отображение Пуанкаре через p . Мы определяем
а также
тогда ( Z , U , P ) - дискретная динамическая система с пространством состояний U и функцией эволюции
По определению эта система имеет фиксированную точку в p .
Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка p дискретной динамической системы устойчива.
Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка p дискретной динамической системы асимптотически устойчива.
Смотрите также
- Повторение Пуанкаре
- Стробоскопическая карта
- Карта Энона
- Сюжет повторения
- Отражающая функция Мироненко
- Инвариантная мера
Рекомендации
Внешние ссылки
- Шивакумар Джолад, Карта Пуанкаре и ее применение к проблеме «Вращающегося магнита» , (2005)