В математике , при изучении динамических систем , орбита представляет собой совокупность точек , связанные с помощью функции эволюции динамической системы. Его можно понимать как подмножество фазового пространства, покрываемого траекторией динамической системы при определенном наборе начальных условий по мере развития системы. Поскольку траектория фазового пространства однозначно определяется для любого заданного набора координат фазового пространства, разные орбиты не могут пересекаться в фазовом пространстве, поэтому набор всех орбит динамической системы является разбиением фазового пространства. Понимание свойств орбит с помощью топологических методов является одной из задач современной теории динамических систем.
Для динамических систем с дискретным временем орбиты представляют собой последовательности ; для реальных динамических систем орбиты кривые ; а для голоморфных динамических систем орбиты являются римановыми поверхностями .
Определение
Для динамической системы ( T , M , Φ), где T - группа , M - множество, а Φ - эволюционная функция
- где с участием
мы определяем
тогда набор
называется орбитой через x . Орбита, состоящая из одной точки, называется постоянной орбитой . Непостоянная орбита называется замкнутой или периодической, если существует в такой, что
- .
Реальная динамическая система
Для реальной динамической системы ( R , M , Φ) I ( x ) является открытым интервалом в действительных числах , т. Е.. Для любого x из M
называется положительной полуорбитой через x и
называется отрицательной полуорбитой через точку x .
Динамическая система с дискретным временем
Для динамической системы с дискретным временем:
прямая орбита x представляет собой набор:
обратная орбита x - это набор:
а орбита x - это множество:
где :
- это эволюционная функция которая здесь итеративная функция ,
- набор это динамическое пространство ,
- - номер итерации, который является натуральным числом и
- начальное состояние системы и
Обычно используются разные обозначения:
- записывается как
- где является в обозначениях выше.
Общая динамическая система
Для общей динамической системы, особенно в однородной динамике, когда есть "хорошая" группа действуя в вероятностном пространстве с сохранением меры орбита назовем периодическим (или, что эквивалентно, замкнутым), если стабилизатор решетка внутри .
Кроме того, связанный термин - ограниченная орбита, когда множество предварительно компактный внутри .
Классификация орбит может привести к интересным вопросам, связанным с другими областями математики, например, гипотеза Оппенгейма (доказанная Маргулисом) и гипотеза Литтлвуда (частично доказанная Линденштраусом) касаются вопроса о том, каждая ли ограниченная орбита некоторого естественного действия на однородное пространство действительно периодический, это наблюдение принадлежит Рагхунатану, а на другом языке - Касселсу и Суиннертон-Дайеру. Такие вопросы тесно связаны с теоремами глубокой классификации мер.
Заметки
Часто бывает, что функция эволюции может быть понята как составляющая элементы группы , и в этом случае теоретико-групповые орбиты действия группы - это то же самое, что и динамические орбиты.
Примеры
Критическая орбита дискретной динамической системы на основе комплексного квадратичного полинома . Имеет тенденцию к слабому притяжению фиксированной точки с множителем = 0,99993612384259
критическая орбита стремится к слабо притягивающей точке. Можно увидеть спираль от притягивающей фиксированной точки до отталкивающей фиксированной точки (z = 0), которая является местом с высокой плотностью кривых уровня.
- Орбита точки равновесия - постоянная орбита.
Устойчивость орбит
Основная классификация орбит:
- постоянные орбиты или фиксированные точки
- периодические орбиты
- непостоянные и непериодические орбиты
Невозможно замкнуть орбиту двумя способами. Это может быть асимптотически периодическая орбита, если она сходится к периодической орбите. Такие орбиты не закрываются, потому что они никогда не повторяются по-настоящему, но они становятся сколь угодно близкими к повторяющейся орбите. Орбита также может быть хаотичной . Эти орбиты сколь угодно близки к начальной точке, но никогда не сходятся к периодической орбите. Они демонстрируют чувствительную зависимость от начальных условий , а это означает, что небольшие различия в начальном значении вызовут большие различия в будущих точках орбиты.
Есть и другие свойства орбит, которые позволяют классифицировать их по-разному. Орбита может быть гиперболической, если близлежащие точки приближаются к орбите или отклоняются от нее экспоненциально быстро.
Смотрите также
- Странствующий набор
- Метод фазового пространства
- Паутинный график или диаграмма Ферхюльста
- Периодические точки комплексных квадратичных отображений и множитель орбиты
- Орбитальный портрет
Рекомендации
- Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (1996). Введение в современную теорию динамических систем . Кембридж. ISBN 0-521-57557-5.
- Перко, Лоуренс (2001). «Периодические орбиты, предельные циклы и сепаратрисные циклы» . Дифференциальные уравнения и динамические системы (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 202–211. ISBN 0-387-95116-4.