В евклидове пространства , то расстояние от точки до плоскости расстояние между заданной точкой и ее ортогональной проекцией на плоскости или ближайшей точкой на плоскости.
Его можно найти, начиная с замены переменных, которая перемещает начало координат, чтобы оно совпало с данной точкой, а затем находя точку на смещенной плоскости.что ближе всего к источнику . Полученная точка имеет декартовы координаты:
.
Расстояние между началом координат и точкой является .
Преобразование общей проблемы в проблему расстояния от источника
Предположим, мы хотим найти ближайшую точку на плоскости к точке (), где плоскость задается формулой . Мы определяем, , , а также , чтобы получить как плоскость, выраженную через преобразованные переменные. Теперь проблема заключается в нахождении ближайшей точки на этой плоскости к началу координат и ее расстояния от начала координат. Точку на плоскости с точки зрения исходных координат можно найти из этой точки, используя приведенные выше соотношения между а также , между а также , и между а также ; расстояние в исходных координатах такое же, как расстояние в пересмотренных координатах.
Переформулировка с использованием линейной алгебры
Формулу для ближайшей точки к началу координат можно выразить более кратко, используя обозначения линейной алгебры . Выражениев определении плоскости это скалярное произведение, а выражение в решении появляется квадрат нормы. Таким образом, если - заданный вектор, плоскость может быть описана как набор векторов для которого а ближайшая точка на этой плоскости - вектор
Евклидово расстояние от начала координат до плоскости является нормой этой точки,
.
Почему это ближайшая точка
В координатной или векторной формулировке можно проверить, что данная точка лежит на данной плоскости, подставив точку в уравнение плоскости.
Чтобы увидеть, что это ближайшая точка к началу координат на плоскости, заметьте, что является скалярным кратным вектора определяющий плоскость, и поэтому ортогонален плоскости. Таким образом, если любая точка на плоскости, кроме сам, то отрезки линии от начала до и из к образуют прямоугольный треугольник , и по теореме Пифагора расстояние от начала координат до является
.
С должно быть положительным числом, это расстояние больше, чем , расстояние от начала координат до . [2]
В качестве альтернативы можно переписать уравнение плоскости, используя скалярные произведения с вместо исходного скалярного произведения с (поскольку эти два вектора являются скалярными кратными друг другу), после чего тот факт, что ближайшая точка становится непосредственным следствием неравенства Коши – Шварца . [1]
Ближайшая точка и расстояние для гиперплоскости и произвольной точки
Векторное уравнение для гиперплоскости в-мерное евклидово пространство через точку с нормальным вектором является или же где . [3] Соответствующая декартова форма где . [3]
Ближайшая точка на этой гиперплоскости к произвольной точке является