Полифазная матрица

В обработке сигналов , A матрица многофазная является матрицей, элементы которой являются фильтрующими масками . Он представляет собой банк фильтров , как он используется в поддиапазона кодеров псевдонимов дискретного преобразования вейвлет . ^[1]

Если есть два фильтра, то на одном уровне традиционное вейвлет-преобразование отображает входной сигнал на два выходных сигнала , каждый из которых имеет половину длины: ${\ displaystyle \ scriptstyle h, \, g}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle a_ {0}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle a_ {1}, \, d_ {1}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {1} & = (h \ cdot a_ {0}) \ downarrow 2 \\ d_ {1} & = (g \ cdot a_ {0}) \ downarrow 2 \ end { выровнено}}}

Обратите внимание, что точка означает умножение многочленов ; т.е. свертка и означает понижающую дискретизацию . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ downarrow}$

Если приведенная выше формула реализована напрямую, вы вычислите значения, которые впоследствии будут сброшены с помощью понижающей выборки. Вы можете избежать их вычисления, разделив фильтры и сигнал на четные и нечетные индексированные значения перед вейвлет-преобразованием:

{\begin{aligned}h_{\mbox{e}}&=h\downarrow 2&a_{0,{\mbox{e}}}&=a_{0}\downarrow 2\\h_{\mbox{o}}&=(h\leftarrow 1)\downarrow 2&a_{0,{\mbox{o}}}&=(a_{0}\leftarrow 1)\downarrow 2\end{aligned}}

Стрелки и обозначают сдвиг влево и вправо соответственно. Они должны иметь тот же приоритет, что и свертка, потому что они фактически являются свертками со смещенным дискретным дельта-импульсом . $\scriptstyle \leftarrow$ $\scriptstyle \rightarrow$

\delta =(\dots ,0,0,{\underset {0-{\mbox{th position}}}{1}},0,0,\dots )

Вейвлет-преобразование, переформулированное для разделенных фильтров, выглядит следующим образом:

{\begin{aligned}a_{1}&=h_{\mbox{e}}\cdot a_{0,{\mbox{e}}}+h_{\mbox{o}}\cdot a_{0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\\d_{1}&=g_{\mbox{e}}\cdot a_{0,{\mbox{e}}}+g_{\mbox{o}}\cdot a_{0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\end{aligned}}

Это можно записать как умножение матрицы на вектор

{\begin{aligned}P&={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}}&h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\g_{\mbox{e}}&g_{\mbox{o}}\rightarrow 1\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}a_{1}\\d_{1}\end{pmatrix}}&=P\cdot {\begin{pmatrix}a_{0,{\mbox{e}}}\\a_{0,{\mbox{o}}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Эта матрица представляет собой многофазную матрицу. $\scriptstyle P$

Конечно, многофазная матрица может иметь любой размер, она не обязательно должна иметь квадратную форму. То есть принцип хорошо масштабируется для любых наборов фильтров , мультивейвлетов , вейвлет-преобразований, основанных на дробных уточнениях .

Свойства [ править ]

Представление кодирования поддиапазонов многофазной матрицей - это больше, чем упрощение записи. Это позволяет адаптировать многие результаты из теории матриц и теории модулей . Следующие свойства объясняются для матрицы, но они одинаково масштабируются до более высоких измерений. $\scriptstyle 2\,\times \,2$

Обратимость / идеальная реконструкция [ править ]

Случай, когда многофазная матрица позволяет реконструировать обработанный сигнал из отфильтрованных данных, называется свойством идеальной реконструкции . Математически это эквивалентно обратимости. Согласно теореме об обратимости матрицы над кольцом, многофазная матрица обратима тогда и только тогда, когда определитель многофазной матрицы является символом Кронекера , который равен нулю везде, кроме одного значения.

{\begin{aligned}\det P&=h_{\mbox{e}}\cdot g_{\mbox{o}}-h_{\mbox{o}}\cdot g_{\mbox{e}}\\\exists A\ A\cdot P&=I\iff \exists c\ \exists k\ \det P=c\cdot \delta \rightarrow k\end{aligned}}

По правилу Крамера обратное может быть дано немедленно. $\scriptstyle P$

P^{-1}\cdot \det P={\begin{pmatrix}g_{\mbox{o}}\rightarrow 1&-h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\-g_{\mbox{e}}&h_{\mbox{e}}\end{pmatrix}}

Ортогональность [ править ]

Ортогональность означает, что сопряженная матрица также является обратной матрицей . Сопряженная матрица - это транспонированная матрица с присоединенными фильтрами . $\scriptstyle P^{*}$ $\scriptstyle P$

P^{*}={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}}^{*}&g_{\mbox{e}}^{*}\\h_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1&g_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1\end{pmatrix}}

Это означает, что евклидова норма входных сигналов сохраняется. То есть соответствующее вейвлет-преобразование является изометрией .

\left\|a_{1}\right\|_{2}^{2}+\left\|d_{1}\right\|_{2}^{2}=\left\|a_{0}\right\|_{2}^{2}

Условие ортогональности

P\cdot P^{*}=I

можно выписать

{\begin{aligned}h_{\mbox{e}}^{*}\cdot h_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot h_{\mbox{o}}&=\delta \\g_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+g_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=\delta \\h_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=0\end{aligned}}

Норма оператора [ править ]

Для неортогональных многофазных матриц возникает вопрос, какие евклидовы нормы могут принимать выходные данные. Это можно ограничить с помощью операторной нормы .

\forall x\ \left\|P\cdot x\right\|_{2}\in \left[\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}\cdot \|x\|_{2},\|P\|_{2}\cdot \|x\|_{2}\right]

Для многофазной матрицы норма евклидова оператора может быть задана явно с помощью нормы Фробениуса и преобразования z : ^[2] $\scriptstyle 2\,\times \,2$ $\scriptstyle \|\cdot \|_{F}$ $\scriptstyle Z$

{\begin{aligned}p(z)&={\frac {1}{2}}\cdot \left\|ZP(z)\right\|_{F}^{2}\\q(z)&=\left|\det[ZP(z)]\right|^{2}\\\|P\|_{2}&=\max \left\{{\sqrt {p(z)+{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&=\min \left\{{\sqrt {p(z)-{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\end{aligned}}

Это частный случай матрицы, где операторная норма может быть получена с помощью преобразования z и спектрального радиуса матрицы или соответствующей спектральной нормы . $n\times n$

{\begin{aligned}\left\|P\right\|_{2}&={\sqrt {\max \left\{\lambda _{\text{max}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\\&=\max \left\{\left\|ZP(z)\right\|_{2}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\[3pt]\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&={\sqrt {\min \left\{\lambda _{\text{min}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\end{aligned}}

Сигнал, в котором предполагаются эти границы, может быть получен из собственного вектора, соответствующего максимальному и минимизирующему собственному значению.

Схема подъема [ править ]

Концепция многофазной матрицы допускает разложение матрицы . Например, разложение на матрицы сложения приводит к схеме подъема . ^[3] Однако классические матричные разложения, такие как LU и QR-разложение, не могут применяться немедленно, потому что фильтры образуют кольцо относительно свертки, а не поля .

Ссылки [ править ]

^ Strang, Гилберт ; Нгуен, Чыонг (1997). Вейвлеты и банки фильтров . Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-7-1.
^ Тилеманн, Хеннинг (2001). Адаптивное построение вейвлетов для сжатия изображений (Дипломная работа). Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, Fachbereich Mathematik / Informatik. Архивировано из оригинала на 2011-07-18 . Проверено 10 ноября 2006 .
^ Добеши, Ингрид ; Свелденс, Вим (1998). «Факторинговый вейвлет превращается в шаги подъема» . J. Fourier Anal. Прил . 4 (3): 245–267. DOI : 10.1007 / BF02476026 . S2CID 195242970 . Архивировано из оригинала на 2006-12-07.

[strang1997filterbanks-1] Strang, Гилберт ; Нгуен, Чыонг (1997). Вейвлеты и банки фильтров . Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-7-1.

[thielemann2001adaptivewavelet-2] Тилеманн, Хеннинг (2001). Адаптивное построение вейвлетов для сжатия изображений (Дипломная работа). Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, Fachbereich Mathematik / Informatik. Архивировано из оригинала на 2011-07-18 . Проверено 10 ноября 2006 .

[sweldens1998liftingfactor-3] Добеши, Ингрид ; Свелденс, Вим (1998). «Факторинговый вейвлет превращается в шаги подъема» . J. Fourier Anal. Прил . 4 (3): 245–267. DOI : 10.1007 / BF02476026 . S2CID 195242970 . Архивировано из оригинала на 2006-12-07.

[1]