В математике , то сопряженный транспонированные (или эрмитово транспонированный ) из двух величин м матрицы с размерностью п матрицы с комплексными записями представляет собой N матрицу с размерностью м матрица , полученная из взяв транспонирование , а затем принимать комплексное сопряжение каждого элемента (комплексно - сопряженные будучи , для действительных чисел и ). Часто обозначается как или . [1] [2] [3]
Для вещественных матриц, сопряженное транспонирование только транспонированное, .
Определение [ править ]
Сопряженное транспонирование матрицы формально определяется формулой
| ( Уравнение 1 ) |
где нижний индекс обозначает -й элемент для и , а черта сверху обозначает скалярное комплексное сопряжение.
Это определение также можно записать как [3]
где обозначает транспонирование и обозначает матрицу с комплексно сопряженными элементами.
Другие названия сопряженного транспонирования матрицы - эрмитово сопряженная , неоднородная матрица , присоединенная матрица или трансъюгированная . Сопряженное транспонирование матрицы можно обозначить любым из этих символов:
- , обычно используется в линейной алгебре [3]
- , обычно используется в линейной алгебре [1]
- (иногда произносится как A кинжалом ), обычно используемый в квантовой механике
- , хотя этот символ чаще используется для псевдообратной матрицы Мура – Пенроуза.
В некоторых контекстах обозначает матрицу только с комплексно сопряженными элементами и без транспонирования.
Пример [ править ]
Предположим, мы хотим вычислить сопряженное транспонирование следующей матрицы .
Сначала транспонируем матрицу:
Затем мы сопрягаем каждую запись матрицы:
Основные замечания [ править ]
Квадратная матрица с элементами называется
- Эрмитовский или самосопряженный, если ; то есть .
- Косые Эрмитова или антиэрмитов- если ; то есть .
- Нормально, если .
- Унитарное если , что то же самое , что то же самое .
Даже если не является квадратным, обе матрицы и являются эрмитовыми и фактически положительными полуопределенными матрицами .
Матрица сопряженное транспонирование «сопряженный» не следует путать с adjugate , , который также иногда называют сопряженным .
Сопряженное транспонирование матрицы с реальными записями сводится к транспонированной из , как конъюгат действительного числа является само число.
Мотивация [ править ]
Сопряженное транспонирование может быть мотивировано тем, что комплексные числа могут быть удобно представлены вещественными матрицами 2 × 2, подчиняясь сложению и умножению матриц:
То есть, обозначающие каждое комплексное число г на реальном 2 × 2 матрицы линейного преобразования на диаграмме Аргана ( если смотреть в качестве реального векторного пространства ), пострадавших от комплекса г -умножения на .
Таким образом, матрица комплексных чисел размером m на n может быть хорошо представлена матрицей действительных чисел размером 2 m на 2 n . Поэтому сопряженное транспонирование возникает очень естественно , как результат просто транспонирование такой матрицы , когда снова рассматривать как п матрицу с размерностью м матрицы из комплексных чисел.
Свойства сопряженного транспонирования [ править ]
- для любых двух матриц и тех же размеров.
- для любого комплексного числа и любой матрицы размером m на n .
- для любой матрицы размером m на n и любой матрицы размером n на p . Обратите внимание, что порядок факторов обратный. [2]
- для любой матрицы размером m на n , т.е. эрмитова транспозиция является инволюцией .
- Если квадратная матрица, то где обозначает определитель из .
- Если это квадратная матрица, то , где обозначает след из .
- является обратимым тогда и только тогда , когда обратим, и в этом случае .
- В собственные из являются комплексно сопряженными с собственными значениями из .
- для любой матрицы размером m на n , любого вектора in и любого вектора . Здесь обозначает стандартное сложное внутреннее произведение для и аналогично для .
Обобщения [ править ]
Последнее свойство приведенного выше показывает , что если один вид как линейное преобразование из гильбертова пространства в то матрица соответствует сопряженному оператору о . Таким образом, понятие сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженного транспонирования матриц относительно ортонормированного базиса.
Доступно другое обобщение: предположим, что это линейное отображение из комплексного векторного пространства в другое, тогда определены комплексно сопряженное линейное отображение, а также транспонированное линейное отображение , и мы можем, таким образом, принять сопряженное транспонирование как комплексное сопряжение переносить . Он отображает сопряженный двойные из сопряженных двойственных .
См. Также [ править ]
- Сложный точечный продукт
- Эрмитово сопряженный
- Адъюгированная матрица
Ссылки [ править ]
- ^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 8 сентября 2020 .
- ^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Сопряженное транспонирование" . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 .
- ^ a b c "сопряженное транспонирование" . planetmath.org . Проверено 8 сентября 2020 .
Внешние ссылки [ править ]
- "Присоединенная матрица" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]