Возможная завихренность

Эта статья требует внимания эксперта по данной теме . Добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. При размещении этого тега рассмотрите возможность связывания этого запроса с WikiProject . ( Декабрь 2017 г. )

В механике жидкости , потенциальный вихрь (PV) представляет собой количество , которое пропорционально скалярное произведение из завихренности и стратификации . Это количество, следующее за посылкой воздуха или воды, может быть изменено только диабатическими процессами или процессами трения. Это полезная концепция для понимания генерации завихренности в циклогенезе (рождение и развитие циклона), особенно вдоль полярного фронта , и при анализе течения в океане.

Потенциальная завихренность (PV) рассматривается как один из важных теоретических достижений современной метеорологии. Это упрощенный подход к пониманию движения жидкости во вращающейся системе, такой как атмосфера и океан Земли. Его развитие восходит к теореме о циркуляции Бьеркнеса в 1898 г. ^[1], которая является специализированной формой теоремы Кельвина о циркуляции . Начиная с Hoskins et al., 1985, ^[2]ФЭ чаще всего используется в оперативной диагностике погоды, такой как отслеживание динамики воздушных посылок и инверсия для поля полного потока. Даже после того, как подробные численные прогнозы погоды в более мелких масштабах стали возможны благодаря увеличению вычислительной мощности, представление PV все еще используется в академических кругах и обычных прогнозах погоды, проливая свет на особенности синоптического масштаба для синоптиков и исследователей. ^[3]

Бароклинная нестабильность требует наличия потенциального градиента завихренности, вдоль которого волны усиливаются во время циклогенеза.

Теорема Бьеркнеса о циркуляции [ править ]

Вильгельм Бьеркнес обобщил уравнение завихренности Гельмгольца (1858 г.) и теорему Кельвина о циркуляции (1869 г.) на невязкие, геострофические и бароклинные жидкости ^[1], то есть жидкости различной плотности во вращающейся системе координат, которая имеет постоянную угловую скорость. Если мы определим циркуляцию как интеграл касательной составляющей скорости вокруг замкнутого контура жидкости и возьмем интеграл замкнутой цепочки частиц жидкости, мы получим

${\displaystyle {\frac {DC}{Dt}}=-\oint {\frac {1}{\rho }}\nabla p\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},}$ (1)

где - производная по времени в системе отсчета вращения (не инерциальной системе отсчета), - относительная циркуляция, - проекция области, окруженной контуром жидкости, на экваториальную плоскость, - плотность, - давление, - это угловая скорость системы. С помощью теоремы Стокса первый член в правой части можно переписать как${\textstyle {\frac {D}{Dt}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A_{e}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {DC}{Dt}}=\int _{A}{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho ^{2}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},}$(2)

который гласит, что скорость изменения циркуляции определяется изменением плотности в координатах давления и экваториальной проекцией его площади, соответствующей первому и второму слагаемым в правой части. Первый член также называется « соленоидным термином ». В условиях баротропной жидкости с постоянной площадью проекции теорема Бьеркнеса о циркуляции сводится к теореме Кельвина. Однако в контексте динамики атмосферы такие условия не являются хорошим приближением: если контур жидкости перемещается из экваториальной области во внетропическую зону, это не сохраняется. Кроме того, сложная геометрия подхода материального контура не идеальна для аргументов в пользу движения жидкости.${\displaystyle A_{e}}$${\displaystyle A_{e}}$

Видео Россби о мелководье [ править ]

Карл Россби предположил в 1939 г. ^[4], что вместо полного трехмерного вектора завихренности наиболее важным компонентом для крупномасштабного атмосферного потока является местная вертикальная составляющая абсолютной завихренности . Кроме того, крупномасштабную структуру двумерного недивергентного баротропного потока можно моделировать, предполагая, что он сохраняется. В его более поздней статье 1940 г. ^[5] эта теория была ослаблена с двумерного течения на квази-двумерные уравнения мелкой воды на бета-плоскости.${\displaystyle \zeta _{a}}$${\displaystyle \zeta _{a}}$. В этой системе атмосфера разделена на несколько несжимаемых слоев, уложенных друг на друга, и вертикальная скорость может быть вычислена путем интегрирования схождения горизонтального потока. Россби показал, что для однослойной мелководной системы без внешних сил или диабатического нагрева

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta +f}{h}}\right)=0}$, (3)

где - относительная завихренность, - глубина слоя, - параметр Кориолиса. Сохраняющаяся величина в уравнении (3) позже называется потенциальной завихренностью мелкой воды . Для атмосферы с несколькими слоями, каждый из которых имеет постоянную потенциальную температуру, приведенное выше уравнение принимает вид${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta _{\theta }+f}{\Delta }}\right)=0,}$ (4)

где - относительная завихренность на изоэнтропической поверхности - поверхности с постоянной потенциальной температурой , и является мерой веса единицы поперечного сечения отдельного столба воздуха внутри слоя.${\displaystyle \zeta _{\theta }}$${\displaystyle \Delta =-\delta p/g}$

Интерпретация [ править ]

Уравнение (3) является атмосферным эквивалентом углового момента . Например, вращающаяся фигуристка с раскинутыми в стороны руками может увеличить скорость вращения, сжимая руки. Точно так же, когда вихрь воздуха расширяется, он, в свою очередь, вращается медленнее. Когда воздух сходится по горизонтали, скорость воздуха увеличивается, чтобы поддерживать потенциальную завихренность, а вертикальная протяженность увеличивается, чтобы сохранить массу. С другой стороны, дивергенция заставляет вихрь расширяться, замедляя скорость вращения.

Потенциальная завихренность Эртеля [ править ]

Ганс Эртель обобщил работу Россби в независимой статье, опубликованной в 1942 году. ^{[6] [7]} Выявив сохраняющуюся величину, следующую за движением воздушной частицы, можно доказать, что определенная величина, называемая потенциальной завихренностью Эртеля, также сохраняется для идеализированная непрерывная жидкость. Рассмотрим уравнение количества движения и уравнение неразрывности идеализированной сжимаемой жидкости в декартовых координатах:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {v^{2}} -\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} =-\nabla \Phi -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}$ (5)

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,}$ (6)

где - геопотенциальная высота. Записав абсолютную завихренность как , as , а затем взяв ротор полного уравнения импульса (5), мы имеем${\displaystyle \Phi }$${\textstyle \mathbf {\zeta _{a}} =\nabla \times \mathbf {v} +2\mathbf {\Omega } }$${\displaystyle 1/\rho }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} -\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )=\nabla p\times \nabla \alpha .}$ (7)

Считается гидродинамическим инвариантом, то есть равным нулю после рассматриваемого движения жидкости. Скалярное умножение уравнения (7) на , и заметим, что мы имеем${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,t)}$${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}}$${\displaystyle \nabla \psi }$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} ={\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle \nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} -\nabla \psi \cdot [\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]=\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).}$ (8)

Второй член в левой части уравнения (8) равен , в котором второй член равен нулю. Из формулы тройного векторного произведения имеем${\textstyle \nabla \cdot [\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]-(\mathbf {v} \times \zeta _{a})\cdot (\nabla \times \nabla \psi )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )-\mathbf {\zeta _{a}} (\mathbf {v} \cdot \nabla \psi )\\&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+\mathbf {\zeta _{a}} {\frac {\partial \psi }{\partial t}},\end{aligned}}}$ (9)

где вторая строка из - за того , что сохраняется после движения, . Подставляя уравнение (9) в уравнение (8) выше,${\displaystyle \psi }$${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}=0}$

${\displaystyle \nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} +\mathbf {v} \cdot \nabla (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {\zeta _{a}} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \psi =\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).}$ (10)

Комбинирование первого, второго и четвертого слагаемых в уравнении (10) может дать результат . Разделив и используя вариантную форму уравнения неразрывности , уравнение (10) дает${\textstyle {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )}$${\textstyle \rho }$${\textstyle {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {D\alpha }{Dt}}}$

${\displaystyle \alpha {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi ){\frac {D\alpha }{Dt}}=\alpha \nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha )}$ (11)

Если инвариант является только функцией давления и плотности , то его градиент перпендикулярен перекрестному произведению и , что означает, что правая часть уравнения (11) равна нулю. Конкретно для атмосферы потенциальная температура выбрана как инвариант для адиабатических движений без трения. Таким образом, закон сохранения потенциальной завихренности Эртеля имеет вид${\textstyle \psi }$${\textstyle p}$${\textstyle \rho }$${\textstyle \nabla p}$${\textstyle \nabla \rho }$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}PV=0.}$ (12)

потенциальная завихренность определяется как

${\displaystyle PV={\frac {\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \theta }{\rho }},}$ (13)

где это жидкость , плотность , является абсолютной завихренностью и является градиентом от потенциальной температуры . С помощью комбинации первого закона термодинамики и сохранения импульса можно показать, что потенциальная завихренность может быть изменена только за счет диабатического нагрева (например, скрытого тепла, выделяемого при конденсации) или процессов трения.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {\zeta _{a}} }$${\displaystyle \nabla \theta }$

Если атмосфера стабильно стратифицирована так, что потенциальная температура монотонно увеличивается с высотой, может использоваться как вертикальная координата вместо . В системе координат "плотность" определяется как . Тогда, если мы начнем вывод из уравнения горизонтального импульса в изоэнтропических координатах, Ertel PV принимает гораздо более простой вид ^[8]${\textstyle \theta }$${\textstyle \theta }$${\textstyle z}$${\textstyle (x,y,\theta )}$${\textstyle \sigma \equiv -g^{-1}\partial p/\partial \theta }$

${\displaystyle PV_{\theta }={\frac {f+\mathbf {k} \cdot (\nabla _{\theta }\times \mathbf {v} )}{\sigma }}}$ (14)

где - локальный вертикальный вектор единичной длины, а - оператор трехмерного градиента в изоэнтропических координатах. Можно видеть, что эта форма потенциальной завихренности является просто непрерывной формой изоэнтропической многослойной ФВ Россби в уравнении (4).${\textstyle \mathbf {k} }$${\textstyle \nabla _{\theta }}$

Интерпретация [ править ]

Теорема сохранения PV Эртеля, уравнение (12), утверждает, что для сухой атмосферы, если воздушный пакет сохраняет свою потенциальную температуру, его потенциальная завихренность также сохраняется после его полного трехмерного движения. Другими словами, при адиабатическом движении частицы воздуха сохраняют ПВ Эртеля на изоэнтропической поверхности. Примечательно, что эта величина может служить лагранжевым индикатором, связывающим поля ветра и температуры. Использование теоремы сохранения PV Эртеля привело к различным успехам в понимании общей циркуляции. Одним из них был процесс «сворачивания тропопаузы», описанный Reed et al. (1950). ^[9]Для верхних слоев тропосферы и стратосферы воздушные посылки следуют адиабатическим движениям в течение синоптического периода времени. Во внетропическом регионе изэнтропические поверхности в стратосфере могут проникать в тропопаузу, и, таким образом, частицы воздуха могут перемещаться между стратосферой и тропосферой, хотя сильный градиент PV вблизи тропопаузы обычно предотвращает это движение. Однако во фронтальной области вблизи струйных полос, которая представляет собой концентрированную область внутри струйной струи.там, где скорости ветра самые сильные, контур ФВ может простираться существенно вниз в тропосферу, что аналогично изэнтропическим поверхностям. Следовательно, стратосферный воздух может адвектироваться, следуя как постоянной PV, так и изоэнтропическим поверхностям, вниз в глубину тропосферы. Было также доказано, что использование фотоэлектрических карт позволяет точно различать воздушные посылки недавнего стратосферного происхождения даже при возмущениях субсиноптического масштаба. (Иллюстрацию можно найти в Holton, 2004, рисунок 6.4)

Ertel PV также действует как индикатор потока в океане и может использоваться для объяснения того, как горный хребет, такой как Анды , может заставить верхние западные ветры отклоняться к экватору и обратно. Карты, изображающие Ertel PV, обычно используются в метеорологическом анализе, в котором потенциальная единица завихренности (PVU) определяется как .${\textstyle {10^{-6}\cdot \mathrm {K} \cdot \mathrm {m} ^{2} \over \mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} }\equiv 1\ \mathrm {PVU} }$

Квазигеострофическая PV [ править ]

Одно из простейших, но, тем не менее, важных условий балансировки - это квазигеострофические уравнения . Это приближение в основном утверждает, что для трехмерных атмосферных движений, которые являются почти гидростатическими и геострофическими , их геострофическая часть может приблизительно определяться полем давления, тогда как агеострофическая часть управляет эволюцией геострофического потока. Потенциальная завихренность в квазигеострофическом пределе (QGPV) была впервые сформулирована Чарни и Стерном в 1960 году. ^[10] Как и в главе 6.3 в Holton 2004, ^[8] мы начинаем с горизонтального импульса (15), непрерывности массы (16) , гидростатические (17) и термодинамические (18) уравнения на бета-плоскости, предполагая, что течение невязкое и гидростатическое ,

${\displaystyle {\frac {D_{g}\mathbf {u_{g}} }{Dt}}+f_{0}\mathbf {k} \times \mathbf {u_{a}} +\beta y\mathbf {k} \times \mathbf {u_{g}} =0}$ (15)

${\displaystyle \nabla _{hp}\cdot \mathbf {u_{a}} +{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0}$ (16)

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial p}}=-{\frac {R\pi }{p}}\theta }$ (17)

${\displaystyle {\frac {D_{g}\theta }{Dt}}+\omega {\frac {d\theta _{0}}{dp}}={\frac {J}{c_{p}\pi }}}$ (18)

где представляет геострофическую эволюцию, , это термин диабатического нагрева в , является геопотенциальной высотой, является геострофическим компонентом горизонтальной скорости, является геострофическим скорость, является горизонтальным оператором градиента в (х, у, р) координат. С помощью некоторых манипуляций (см. Квазигеострофические уравнения или Холтона 2004, Глава 6) можно прийти к закону сохранения${\textstyle {\frac {D_{g}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{g}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{g}{\frac {\partial }{\partial y}}}$${\textstyle \pi =(p/ps)^{R/c_{p}}}$${\textstyle J}$${\textstyle Js^{-1}kg^{-1}}$${\textstyle \Phi }$${\textstyle \mathbf {u_{g}} }$${\textstyle \mathbf {u_{a}} }$${\textstyle \nabla _{hp}}$

${\displaystyle {\frac {D_{g}}{Dt}}q=-f_{0}{\frac {\partial }{\partial p}}\left(\sigma {\frac {\kappa J}{p}}\right),}$ (19)

где - пространственно усредненная сухая статическая устойчивость. Предполагая, что течение адиабатическое, значит , мы имеем сохранение QGPV. Сохраняющаяся величина принимает вид${\textstyle \sigma =-{\frac {R\pi }{p}}{\frac {d\theta _{0}}{dp}}}$${\textstyle J=0}$${\textstyle q}$

${\displaystyle {q={{{1 \over f_{o}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{o} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}},}$ (20)

который является QGPV, и он также известен как псевдопотенциал-завихренность. Помимо диабатического нагревающего члена в правой части уравнения (19), можно также показать, что QGPV может изменяться силами трения.

Эртель PV сводится к QGPV если один расширить Эртель PV в ведущем порядке, и предположим , что уравнение эволюции квазигеострофичности, то есть, . ^[3] Из-за этого фактора следует также отметить, что PV Ertel сохраняет следующий воздушный пакет на изоэнтропической поверхности и, следовательно, является хорошим лагранжевым индикатором, тогда как QGPV сохраняется после крупномасштабного геострофического потока. QGPV широко используется для изображения крупномасштабных структур атмосферных потоков, как описано в разделе #PV принцип обратимости ;${\textstyle {\frac {D}{Dt}}\approx {\frac {D_{g}}{Dt}}}$

Принцип обратимости PV [ править ]

Помимо того, что потенциальная завихренность является лагранжевым индикатором, она также дает динамические последствия через принцип обратимости. Для двумерной идеальной жидкости распределение завихренности управляет функцией тока с помощью оператора Лапласа,

${\displaystyle {\zeta ={\nabla ^{2}\Psi }},}$ (21)

где - относительная завихренность, - функция тока. Следовательно, зная поле завихренности, оператор может быть инвертирован и функция тока может быть вычислена. В этом частном случае (уравнение 21) завихренность дает всю информацию, необходимую для вывода движений или функции тока, поэтому можно думать в терминах завихренности, чтобы понять динамику жидкости. Подобный принцип был первоначально введен Кляйншмитом для определения потенциальной завихренности в трехмерной жидкости в 1940-х годах и развит Чарни и Стерном в их квазигеострофической теории. ^[11]${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \Psi }$

Несмотря на теоретическую элегантность потенциальной завихренности Эртеля, ранние применения Ertel PV ограничивались исследованиями индикаторов с использованием специальных изэнтропических карт. Обычно недостаточно вывести другие переменные только на основании данных о полях PV Эртеля, поскольку они являются продуктом полей ветра ( ) и температуры ( и ). Однако крупномасштабные атмосферные движения по своей природе квазистатичны; поля ветра и массы регулируются и уравновешиваются друг с другом (например, градиентный баланс, геострофический баланс). Следовательно, можно сделать другие предположения, чтобы сформировать замыкание и вывести полную структуру рассматриваемого потока: ^[2]${\textstyle \zeta _{a}}$${\textstyle \theta }$${\textstyle \rho }$

(1) ввести условия балансировки определенной формы. Эти условия должны быть физически реализуемыми и стабильными без нестабильности, такой как статическая нестабильность. Кроме того, пространственные и временные масштабы движения должны быть совместимы с предполагаемым балансом;

(2) указать определенное эталонное состояние, такое как распределение температуры, потенциальная температура или геопотенциальная высота;

(3) устанавливают надлежащие граничные условия и глобально инвертируют поле PV.

Первое и второе предположения явно выражаются при выводе квазигеострофической PV. Геострофический баланс первого порядка используется в качестве условия балансировки. Члены второго порядка, такие как агеострофические ветры, возмущения потенциальной температуры и возмущения геострофической высоты, должны иметь согласованную величину, т. Е. Порядка числа Россби . Базовое состояние - это усредненные по зонам потенциальная температура и геопотенциальная высота. Третье предположение очевидно даже для двумерного обращения завихренности, поскольку обращение оператора Лапласа в уравнении (21), которое является эллиптическим оператором второго порядка , требует знания граничных условий .

Например, в уравнении (20) обратимость подразумевает, что, зная , что оператор типа Лапласа может быть инвертирован, чтобы получить геопотенциальную высоту . также пропорциональна функции тока QG в квазигеострофическом предположении. Тогда можно легко определить геострофическое поле ветра . Наконец, поле температуры задается путем подстановки в термодинамическое уравнение (17).${\textstyle q}$${\textstyle \Phi }$${\textstyle \Phi }$${\textstyle \Psi }$${\textstyle \Psi }$${\textstyle \theta }$${\textstyle \Phi }$

См. Также [ править ]

• Завихренность
• Циркуляция (гидродинамика)

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Запись в глоссарии AMS
• Потенциальная завихренность Майкла Э. Макинтайра