Булева алгебра — математически богатая ветвь абстрактной алгебры . Точно так же, как теория групп имеет дело с группами и линейной алгеброй с векторными пространствами , булевы алгебры являются моделями эквациональной теории двух значений 0 и 1 (чья интерпретация не обязательно должна быть числовой). Общим для булевых алгебр, групп и векторных пространств является понятие алгебраической структуры , множества , замкнутого относительно некоторых операций , удовлетворяющих определенным уравнениям.
Так же, как есть основные примеры групп, такие как группа Z целых чисел и симметрическая группа S n перестановок n объектов , есть также основные примеры булевых алгебр, такие как следующие.
Таким образом, Булева алгебра позволяет применять методы абстрактной алгебры к математической логике и цифровой логике .
В отличие от групп конечного порядка , которые демонстрируют сложность и разнообразие и чья теория первого порядка разрешима только в особых случаях, все конечные булевы алгебры имеют одни и те же теоремы и имеют разрешимую теорию первого порядка. Вместо этого сложности булевой алгебры разделены между структурой бесконечных алгебр и алгоритмической сложностью их синтаксической структуры.
Булева алгебра рассматривает эквациональную теорию максимальной двухэлементной финитной алгебры, называемую булевым прототипом , и модели этой теории, называемые булевыми алгебрами . Эти термины определяются следующим образом.
Алгебра — это семейство операций над набором, называемым базовым набором алгебры . Мы принимаем базовый набор логического прототипа как {0,1}.