В алгебраической геометрии предварительный стек F над категорией C, снабженной некоторой топологией Гротендика, является категорией вместе с функтором p : F → C, удовлетворяющим определенному условию подъема и таким, что (когда слои являются группоидами) локально изоморфные объекты изоморфны. Стека является престековой с эффективными спусками, а это означает локальные объекты могут быть исправлены вместе , чтобы стать глобальным объектом.
Предварительные пакеты, которые появляются в природе, обычно являются стеками, но некоторые наивно сконструированные предварительные стеки (например, группоидная схема или предварительный набор проективизированных векторных пучков ) могут не быть стеками. Престаки можно изучать отдельно или передавать в стопки .
Поскольку стек является предварительным, все результаты предварительных сумм также действительны для стеков. На протяжении всей статьи мы работаем с фиксированной базовой категорией C ; например, C может быть категорией всех схем над некоторой фиксированной схемой, снабженной некоторой топологией Гротендика .
Определение
Пусть F - категория и расслоена над C через функтор; это означает, что можно строить обратные образы вдоль морфизмов в C с точностью до канонических изоморфизмов.
Для объекта U в C и объектов x , y в, для каждого морфизма в C , после исправления откатов, пусть [1] [2]
- множество всех морфизмов из к ; здесь скобка означает, что мы канонически идентифицируем разные наборы Hom, возникающие в результате различного выбора откатов. Для каждогонад U определите отображение ограничения от f до g : быть составом
где канонический изоморфизм используется для получения знака = справа. потомявляется предпучкой в категории срезов , Категория всех морфизмов в C с целевой U .
По определению F является престековой , если для каждой пары х , у ,является пучком множеств относительно индуцированной топологии Гротендика на.
Это определение можно эквивалентно сформулировать следующим образом. [3] Во-первых, для каждого семейства покрытий, мы «определяем» категорию как категория, где: письмо , так далее.,
- объект - это набор пар, состоящих из предметов в и изоморфизмы удовлетворяющие условию коцикла:
- морфизм состоит из в такой, что
Объект этой категории называется нисходящим элементом. Эта категория четко не определена ; проблема в том, что откаты определяются только с точностью до канонических изоморфизмов; аналогично продукты волокна определены только с точностью до канонических изоморфизмов, несмотря на противоположную практику обозначений. На практике просто делается некоторая каноническая идентификация откатов, их составов, продуктов волокна и т.д .; с точностью до таких отождествлений указанная выше категория определена корректно (другими словами, она определена с точностью до канонической эквивалентности категорий).
Есть очевидный функтор который отправляет объект в точку спуска, которую он определяет. Тогда можно сказать: F является предстакалом тогда и только тогда, когда для каждого покрывающего семейства, функтор полностью верен. Подобное утверждение не зависит от ранее упомянутого выбора канонических отождествлений.
Существенный образ состоит именно из эффективных спусковых данных (просто определение «эффективный»). Таким образом, F является стеком тогда и только тогда, когда для каждого семейства покрытий, эквивалентность категорий.
Эти переформулировки определений предварительных сумм и стеков делают интуитивное значение этих понятий очень явным: (1) «расслоенная категория» означает, что можно построить обратную связь (2) «предварительная суммирование в группоидах» дополнительно означает «локально изоморфный» подразумевает «изоморфный» ( 3) «стек в группоидах» означает, в дополнение к предыдущим свойствам, глобальный объект может быть сконструирован из локальных данных с учетом условий коцикла. Все это работает с точностью до канонических изоморфизмов .
Морфизмы
Определения
Данные предварительные стеки над фиксированной базовой категорией C морфизм - функтор такой, что (1) и (2) он отображает декартовы морфизмы в декартовы морфизмы. Примечание (2) является автоматическим, если G расслоена на группоиды; например, алгебраический стек (так как тогда все морфизмы декартовы.)
Если - стек, связанный со схемой S в базовой категории C , то слойэто, по построению, множество всех морфизмов из U в S в C . Аналогично, учитывая схему U в C, рассматриваемую как стек (т. Е.) и категории F, расслоенной на группоиды над C , лемма 2-Йонеды утверждает: существует естественная эквивалентность категорий [4]
где относится к категории относительных функторов ; объекты являются функторами из U в F над C, а морфизмы - это естественные преобразования, сохраняющие базу. [5]
Волокнистый продукт
Позволять быть морфизмами предварительных сумм. Тогда по определению [6] расслоенное произведение это категория, в которой
- объект - тройка состоящий из объекта x в F , объекта y в G , как над одним и тем же объектом в C , и изоморфизмав G над тождественным морфизмом в C и
- морфизм состоит из в F ,в G , оба над одним и тем же морфизмом в C , такие что.
Он приходит с забывчивыми функторами p , q издля F и G .
Этот продукт из волокна ведет себя как обычный продукт из волокна, но с точностью до естественных изоморфизмов. Смысл этого в следующем. Во-первых, очевидный квадрат не коммутируется; вместо этого для каждого объекта в :
- .
То есть существует обратимое естественное преобразование (= естественный изоморфизм)
- .
Во-вторых, он удовлетворяет строгому универсальному свойству: для заданного предстека H морфизмы, , естественный изоморфизм существует вместе с естественными изоморфизмами а также такой, что является . В общем, послойное произведение F и G над B является канонически изоморфным предварительным суммированием выше.
Когда B является базовой категорией C (предварительный стек над самим собой), B отбрасывается и просто записывается. Обратите внимание: в этом случае в объектах все идентичности.
Пример : для каждого предварительного суммирования, существует диагональный морфизм дано .
Пример : Дано, . [7]
Пример : Дано и диагональный морфизм ,
- ;
этот изоморфизм строится просто вручную.
Представимые морфизмы
Морфизм предварительных суммирований называется сильно представимым, если для любого морфизмаиз схемы S в C, рассматриваемой как предварительное суммирование, волокнистый продуктиз prestacks является схемой в C .
В частности, определение относится к структурной карте (базовая категория C - это предварительная сумма над самой собой через тождество). Тогда p сильно представимо тогда и только тогда, когдаявляется схемой в C .
Определение применимо также к диагональному морфизму . Если сильно представимо, то каждый морфизм из схемы U сильно представима, так каксильно представим для любого Т → Х .
Если является сильно представимым морфизмом для любого , S схема, рассматриваемая как предварительная суммирование, проекцияэто морфизм схем ; это позволяет переносить многие понятия свойств морфизмов схем в контекст стека. А именно, пусть P будет свойством морфизмов в базовой категории C , которое устойчиво при замене базы и локально в топологии C (например, этальной топологии или гладкой топологии ). Тогда сильно представимый морфизмпредварительных сумм обладает свойством P, если для каждого морфизма, T схема, рассматриваемая как предварительная суммирование, индуцированная проекцияобладает свойством P .
Пример: предварительная сумма, заданная действием алгебраической группы
Пусть G - алгебраическая группа, действующая справа на схеме X конечного типа над полем k . Тогда группа действие G на X определяет престековое (но не стек) над категорией C из K -схем, следующим образом . Пусть F - категория, в которой
- объект - это пара состоящий из схемы U в C и x из множества,
- морфизм состоит из в C и элементтакое, что xg = y ', где мы написали.
Через забывание функтора к C , эта категория F является расслаивается в группоидах и известна как группоиде действия или трансформация группоиде. Это также можно назвать фактор престековой из X на G и обозначается , как, поскольку, как выясняется, его стекификация является частным стеком . Конструкция является частным случаем формирования # Предварительного стека классов эквивалентности ; в частности, F - предварительная сумма.
Когда X - точкаи G аффинна, факторявляется классификация престековой из G и его stackification является стек классифицируя из G .
Если рассматривать X как предварительную сумку (фактически, стек), возникает очевидная каноническая карта
над C ; явно, каждый объектв предварительном стеке X идет к себе, и каждый морфизм, удовлетворяющий x равнопо определению переходит в единичный групповой элемент G ( U ).
Тогда вышеупомянутое каноническое отображение вписывается в 2- коэквалайзер ( 2-частное ):
- ,
где t : ( x , g ) → xg - заданное действие группы, а s - проекция. Это не 1-коуравнитель, поскольку вместо равенства, надо дано
Предварительный набор классов эквивалентности
Пусть X схемный в базовой категории C . По определению, предварительное отношение эквивалентности является морфизмомв C такая, что для каждой схемы T в C функцияимеет образ, являющийся отношением эквивалентности . Префикс «пре-» - это потому, что мы не требуембыть инъективной функцией .
Пример : пусть алгебраическая группа G действует на схеме X конечного типа над полем k . Братьи тогда для любой схемы T над k пусть
По лемме Йонеды это определяет морфизм f , который, очевидно, является предварительным отношением эквивалентности.
К каждому данному предотношению эквивалентности (+ еще несколько данных), существует связанный предварительный стек F, определенный следующим образом. [8] Во-первых, F - категория, где: с обозначениями,
- объект - это пара состоящий из схемы T и морфизма x : T → X в C
- морфизм состоит из а также такой, что а также
- состав с последующим состоит из а также получается следующим образом: поскольку , по универсальному свойству существует индуцированное отображение
- .
- морфизм идентичности для объекта состоит из тождественного отображения T → T и δ, которое является с последующим ; последний получается факторизацией диагонального морфизма через f , что возможно по рефлексивности.
Категория F расслаивается на группоиды с помощью функтора забывчивости . Наконец, мы проверяем, что F является предварительным стеком; [9] для этого обратите внимание: для объектов x , y в F ( U ) и объекта в ,
Теперь это означает, что это волокнистый продукт а также . Поскольку волокнистое изделие пучков представляет собой пучок, отсюда следует, что это связка.
Предварительный стек F, указанный выше, может быть записан как и его стекификация записывается как .
Обратите внимание: когда X рассматривается как стек, как X, так ииметь одинаковый набор предметов. На уровне морфизма, в то время как X имеет в качестве морфизмов только тождественные морфизмы, предварительная сумма иметь дополнительные морфизмы заданное пред отношением эквивалентности f .
Важность этой конструкции заключается в том, что она дает атлас для алгебраического пространства: каждое алгебраическое пространство имеет виддля некоторых схем U , R и предварительного отношения этальной эквивалентноститаким образом, что, для каждого Т , является инъективной функцией («эталь» означает два возможных отображения эталь.)
Начиная со стопки Делиня-Мамфорда , можно найти предварительное отношение эквивалентности для некоторых схем R , U так, чтобы это стефикация связанного с ним предварительного стека: . [10] Это делается следующим образом. По определению существует этальный сюръективный морфизмот некоторой схемы U . Поскольку диагональ сильно представима, расслоенное произведение является схемой (то есть представленной схемой), и тогда пусть
быть первой и второй проекциями. Принимая, мы видим является предварительным отношением эквивалентности. Мы заканчиваем, примерно, следующим образом.
- Продлевать к (на уровне объекта ничего не меняется; нам нужно только объяснить, как отправлять .)
- По универсальному свойству стекинга факторы через .
- Убедитесь, что последняя карта является изоморфизмом.
Стеки, связанные с предварительными стеками
Есть способ связать стек с заданным предварительным стеком. Это похоже на sheafification предпучки и называется stackification . Идея построения довольно проста: с учетом предварительного стека, мы позволяем HF быть категорией, в которой объект - это данные спуска, а морфизм - это данные спуска. (Подробности пока опущены)
Как оказалось, это стек с естественным морфизмом. такой, что F - стек тогда и только тогда, когда θ - изоморфизм.
В некоторых частных случаях стефикация может быть описана в терминах торсоров для аффинных групповых схем или обобщений. Фактически, согласно этой точке зрения, стек в группоидах - это не что иное, как категория торсоров, а предварительный стек - категория тривиальных торсоров, которые являются локальными моделями торсоров.
Заметки
- ^ Вистоли , § 3.7.
- ^ Алг , гл. 4., § 1.
- ^ Вистоли , Определение 4.6.
- ^ Вистоли , § 3.6.2.
- ^ Вистоли , Определение 3.33.
- ^ Алг , определение 2.25.
- ^ Alg , пример 2.29.
- ^ Alg , определение 3.13.
- ^ Аргументом здесь служит лемма 25.6. из конспектов М. Ольссон на штабеля .
- ^ Alg , предложение 5.20. и Alg , теорема 4.35. . От редакции: в справочнике используется язык группоидных схем, но группоидная схема, которую они используют, совпадает с используемым здесь предварительным отношением эквивалентности; сравните Предложение 3.6. и проверки ниже.
Рекомендации
- Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дан; Фултон, Уильям; Фантечи, Барбара; Гётче, Лотар; Kresch, Эндрю (2006), Алгебраические стеки , заархивированные с оригинала на 2008-05-05 , извлекаться 2017-06-13
- Вистоли, Анджело (2005), "Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска", Фундаментальная алгебраическая геометрия , Math. Surveys Monogr., 123 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 1–104, arXiv : math / 0412512 , Bibcode : 2004math ..... 12512V , MR 2223406
Внешние ссылки
- Дай Тамаки (7 августа 2019 г.). «Предварительные пакеты и волокнистые категории» .