Неприводимый полином

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , неприводимый многочлен , грубо говоря, полином , который не может быть разложен в произведение двух непостоянных полиномов . Свойство неприводимости зависит от природы коэффициентов, которые принимаются для возможных факторов, то есть от поля или кольца, которому предположительно принадлежат коэффициенты многочлена и его возможных факторов. Например, многочлен x ² - 2 является многочленом с целыми коэффициентами, но, поскольку каждое целое число также является действительным числом, это также многочлен с действительными коэффициентами. Он неприводим, если рассматривается как многочлен с целыми коэффициентами, но он множится, как если бы он рассматривался как многочлен с действительными коэффициентами. Говорят, что многочлен x ² - 2 неприводим по целым числам, но не по действительным числам.${\ displaystyle \ left (х - {\ sqrt {2}} \ right) \ left (x + {\ sqrt {2}} \ right)}$

Полином, неприводимый над любым полем, содержащим коэффициенты, абсолютно неприводим . По основной теореме алгебры , одномерный полином является абсолютно неприводимым , если и только если его степень один. С другой стороны, с несколькими неопределенными существуют абсолютно неприводимые многочлены любой степени, например, для любого положительного целого числа n .${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {n} -1,}$

Неприводимый многочлен иногда называют приводимым многочленом . ^{[1] [2]}

Неприводимые полиномы естественным образом возникают при изучении факторизации полиномов и расширений алгебраических полей .

Полезно сравнивать неприводимые многочлены с простыми числами : простые числа (вместе с соответствующими отрицательными числами равной величины) являются неприводимыми целыми числами . Они демонстрируют многие общие свойства концепции «неприводимости», которые в равной степени применимы к неприводимым многочленам, такие как по существу уникальная факторизация на простые или неприводимые множители. Когда кольцо коэффициентов является полем или другой уникальной областью факторизации , неприводимый многочлен также называется простым многочленом , потому что он порождает простой идеал .

Определение

Если F является полем, непостоянный многочлен неприводит над F , если его коэффициенты принадлежат F , и она не может быть разложена в произведение двух непостоянных многочленов с коэффициентами из F .

Полином с целыми коэффициентами, или, в более общем плане , с коэффициентами в однозначном разложении R , иногда называется неприводимыми (или неприводимым над R ) , если оно является неприводимым элементом из кольца многочленов , то есть, это не обратимо , не равна нулю, и не может быть разложена в произведение двух необратимых многочленов с коэффициентами в R . Это определение обобщает определение, данное для случая коэффициентов в поле, потому что над полем непостоянные многочлены - это в точности необратимые и ненулевые многочлены.

Другое определение часто используются, говоря , что многочлен неприводит над R , если оно является неприводимым над полем частных из R (поля рациональных чисел , если R является целыми числами). Это второе определение не используется в этой статье.

Природа фактора

Отсутствие явного алгебраического выражения для множителя само по себе не означает, что многочлен неприводим. Когда многочлен сводится к множителям, эти множители могут быть явными алгебраическими выражениями или неявными выражениями . Например, можно явно разложить на множители комплексные числа, поскольку, однако, теорема Абеля – Руффини утверждает, что существуют многочлены любой степени выше 4, для которых существуют комплексные множители, не имеющие явного алгебраического выражения. Такой коэффициент можно записать просто как, скажем, где${\ displaystyle x ^ {2} +2}$${\ Displaystyle \ влево (х - {\ sqrt {2}} я \ вправо) \ влево (х + {\ sqrt {2}} я \ вправо);}$${\ Displaystyle \ влево (х-х_ {1} \ вправо),}$${\ displaystyle x_ {1}}$неявно определяется как частное решение уравнения, которое устанавливает полином равным 0. Кроме того, факторы любого типа также могут быть выражены как числовые приближения, получаемые с помощью алгоритмов поиска корней , например как${\ displaystyle \ left (x-1.2837 \ ldots \ right).}$

Простые примеры

Следующие шесть многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства приводимых и неприводимых многочленов:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aligned}}}$

Над целыми числами первые три полинома приводимы (третий полином приводим, потому что множитель 3 не обратим в целых числах); последние два неприводимы. (Четвертый, конечно, не является полиномом от целых чисел.)

Над рациональными числами первые два и четвертый многочлены приводимы, но три других многочлена неприводимы (как многочлен над рациональными числами, 3 является единицей и, следовательно, не считается множителем).

Над действительными числами первые пять многочленов приводимы, но неприводимы.${\displaystyle p_{6}(x)}$

Над комплексными числами все шесть многочленов приводимы.

Над комплексными числами

Над сложной области , и, в более общем плане , над алгебраически замкнутым полем , одномерный многочлен неприводим тогда и только тогда , когда ее степень равна единице. Этот факт известен как основная теорема алгебры в случае комплексных чисел и вообще как условие алгебраической замкнутости.

Отсюда следует, что любой непостоянный одномерный многочлен можно разложить на множители как

${\displaystyle a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)}$

где - степень, - старший коэффициент и - нули многочлена (не обязательно разные и не обязательно имеющие явные алгебраические выражения ).${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$

Существуют неприводимые многомерные многочлены любой степени над комплексными числами. Например, полином

${\displaystyle x^{n}+y^{n}-1,}$

определяющая кривую Ферма , неприводима для любого положительного n .

По реалам

Над поля вещественных чисел , то степень неприводимого одномерного полинома либо один или два. Точнее, неприводимые многочлены - это многочлены первой степени и квадратичные многочлены с отрицательным дискриминантом. Отсюда следует, что любой непостоянный одномерный многочлен может быть разложен на множители как произведение многочленов степени не выше двух. Например, множители над действительными числами как и не могут быть дополнительно разложены на множители, поскольку оба фактора имеют отрицательный дискриминант:${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac.}$${\displaystyle x^{4}+1}$${\displaystyle \left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),}$${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.}$

Уникальное свойство факторизации

Каждый многочлен над полем F может быть разложен на произведение ненулевой константы и конечного числа неприводимых (над F ) многочленов. Это разложение уникально до порядка множителей и умножения множителей на ненулевые константы, произведение которых равно 1.

Для области уникальной факторизации верна та же теорема, но более точно сформулирована с использованием понятия примитивного полинома. Примитивный многочлен является многочленом над однозначным разложением на множители, такие , что 1 является наибольшим общим делителем его коэффициентов.

Пусть F - единственная область факторизации. Непостоянный неприводимый многочлен над F примитивен. Примитивный многочлен над F неприводит над F тогда и только тогда , когда оно является неприводимым над полем частных от F . Каждый многочлен над F может быть разложен на произведение ненулевой константы и конечного числа непостоянных неприводимых примитивных многочленов. Ненулевая константа может сама по себе быть разложена в произведение единицы из F и конечного числа неприводимых элементов из F. Оба факторизаций уникальны до порядка сомножителей и умножения коэффициентов на единице F .

Это теорема, которая мотивирует, что определение неприводимого многочлена в единственной области факторизации часто предполагает, что многочлен непостоянен.

Все алгоритмы, которые в настоящее время реализованы для факторизации многочленов по целым и рациональным числам, используют этот результат (см. Факторизация многочленов ).

Над целыми числами и конечным полем

Неприводимость многочлена над целыми числами связана , что над полем из элементов (для штриха ). В частности, если одномерный полином F над неприводит над для некоторых простого числа , что не делит старший коэффициент е (коэффициент при старшей степени переменного), то е неприводит над . Критерий Эйзенштейна представляет собой вариант этого свойства, в котором также задействована неприводимость по .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p^{2}}$

Обратное, однако, неверно: существуют многочлены сколь угодно большой степени, неприводимые над целыми числами и приводимые над любым конечным полем. ^[3] Простым примером такого многочлена является${\displaystyle x^{4}+1.}$

Связь между неприводимостью целых чисел и неприводимостью по модулю p глубже, чем предыдущий результат: на сегодняшний день все реализованные алгоритмы факторизации и неприводимости целых и рациональных чисел используют факторизацию по конечным полям в качестве подпрограммы .

Число неприводимых монических многочленов степени n над полем для q степени простого числа дается формулой ^[4]${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},}$

где μ - функция Мёбиуса . При q = 2 такие многочлены обычно используются для генерации псевдослучайных двоичных последовательностей .

В некотором смысле почти все многочлены с коэффициентами ноль или единица неприводимы над целыми числами. Точнее, если предполагается версия гипотезы Римана для дзета-функций Дедекинда , вероятность неприводимости по целым числам для многочлена со случайными коэффициентами в {0, 1} стремится к единице при увеличении степени. ^{[5] [6]}

Алгоритмы

Уникальное свойство факторизации многочленов не означает, что факторизация данного многочлена всегда может быть вычислена. Даже неприводимость многочлена не всегда может быть доказана вычислением: есть поля, над которыми не может существовать никакой алгоритм для определения неприводимости произвольных многочленов. ^[7]

Алгоритмы факторизации многочленов и определения неприводимости известны и реализованы в системах компьютерной алгебры для многочленов над целыми числами, рациональными числами, конечными полями и конечно порожденными полевыми расширениями этих полей. Все эти алгоритмы используют алгоритмы факторизации многочленов над конечными полями .

Расширение поля

Понятия неприводимого многочлена и алгебраического расширения поля сильно связаны следующим образом.

Пусть х быть элементом расширения L полевого K . Этот элемент называется алгебраическим , если оно является корнем многочлена с коэффициентами в K . Среди многочленов, у которых x является корнем, есть ровно один монический с минимальной степенью, называемый минимальным многочленом от x . Минимальный многочлен алгебраического элемента x из L неприводим и является единственным моническим неприводимым многочленом, корнем которого является x . Минимальный многочлен от xделит каждый многочлен, имеющий x в качестве корня (это теорема Абеля о неприводимости ).

И наоборот, если это одномерный полином над полем K , пусть будет фактор - кольцо кольца многочленов по идеалу , порожденного от P . Тогда L является полем тогда и только тогда , когда Р неприводит над К . В этом случае, если x является образом X в L , минимальный многочлен от x является частным от P по его старшему коэффициенту .${\displaystyle P(X)\in K[X]}$${\displaystyle L=K[X]/P(X)}$${\displaystyle K[X]}$

Примером вышесказанного является стандартное определение комплексных чисел как${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).}$

Если полином P имеет неприводимый фактор Q над K , который имеет степень больше единицы, то можно применить к Q предшествующее построение алгебраического расширения, чтобы получить расширение , в котором P имеет больше , по крайней мере один корень , чем в K . Повторяя эту конструкцию, мы в конечном итоге получаем поле, над которым P разлагается на линейные множители. Это поле, уникальный до в поле изоморфизма , называется поле разложения в Р .

Над областью целостности

Если R является областью целостности , элемент f из R, который не является ни нулем, ни единицей, называется неприводимым, если нет неединиц g и h с f = gh . Можно показать, что каждый простой элемент неприводим; ^[8] обратное неверно в общем случае, но верно в областях единственной факторизации . Кольцо многочленов Р [ х ] над полем F(или любой домен уникальной факторизации) снова является уникальной областью факторизации. Индуктивно, это означает , что кольцо многочленов от п неизвестных (над кольцом R ) является однозначным разложением на множители , если то же самое верно для R .

Смотрите также

• Лемма Гаусса (полином)
• Теорема о рациональном корне , метод определения, есть ли у многочлена линейный множитель с рациональными коэффициентами
• Критерий Эйзенштейна
• Метод Перрона
• Теорема Гильберта о неприводимости
• Критерий неприводимости Кона
• Неразложимый компонент из топологического пространства
• Факторизация многочленов над конечными полями
• Функция квартики § Приводимые квартики
• Кубическая функция § Факторизация
• Casus unducibilis , неприводимая кубика с тремя действительными корнями
• Квадратное уравнение § Квадратичная факторизация

Примечания

использованная литература

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556. Эта классическая книга охватывает большую часть содержания этой статьи.
• Галлиан, Джозеф (2012), Современная абстрактная алгебра (8-е изд.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997), Конечные поля (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39231-0, стр.91 .
• Мак-Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гарретт (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 9780821816462
• Менезес, Альфред Дж .; Ван Оршот, Пол К .; Ванстон, Скотт А. (1997), Справочник по прикладной криптографии , CRC Press , ISBN 978-0-8493-8523-0, Стр. 154 .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Неприводимый многочлен» . MathWorld .
• Неприводимый полином в PlanetMath .
• Информация о примитивных и неприводимых многочленах , (комбинаторный) объектный сервер.