Проективный многогранник

В геометрии , а (глобально) проективное полиэдр является тесселяция в вещественной проективной плоскости . ^[1] Это проективные аналоги сферических многогранников - мозаики сферы - и тороидальных многогранников - мозаики тороидов.

Проекционные многогранники также называют как эллиптические мозаик ^[2] или эллиптических разбиений , обращаясь к проективной плоскости (проективное) эллиптической геометрии , по аналогии с сферической черепицей , ^[3] является синонимом «сферического многогранника». Тем не менее, термин эллиптическая геометрия применяется как к сферической, так и к проективной геометрии, поэтому термин несет некоторую двусмысленность для многогранников.

Как клеточные разложения проективной плоскости, они имеют эйлерову характеристику 1, в то время как сферические многогранники имеют эйлерову характеристику 2. Квалификатор «глобально» противопоставляется локально проективным многогранникам, которые определены в теории абстрактных многогранников .

Неперекрывающиеся проективные многогранники ( плотность 1) соответствуют сферическим многогранникам (эквивалентно выпуклым многогранникам ) с центральной симметрией . Это подробно рассматривается и расширяется ниже в связи со сферическими многогранниками и связью с традиционными многогранниками .

Примеры [ править ]

Гей-куб является регулярным проективным многогранником с 3 квадратными гранями, 6 ребер и 4 вершин.

Наиболее известный пример проективного многогранников являются регулярными проективными многогранниками, частное от деления центрально - симметричных многогранников , а также два бесконечных класса даже dihedra и hosohedra : ^[4]

Полукуб , {4,3} / 2
Гемиоктаэдр , {3,4} / 2
Полудодекаэдр , {5,3} / 2
Хемиикосаэдр , {3,5} / 2
Полудигранник, {2p, 2} / 2, p> = 1
Полусоэдр, {2,2p} / 2, p> = 1

Их можно получить, взяв частное связанного сферического многогранника по антиподальному отображению (идентифицируя противоположные точки на сфере).

С другой стороны, тетраэдр не обладает центральной симметрией, поэтому нет «полутетраэдра». См. Связь со сферическими многогранниками ниже о том, как трактуется тетраэдр.

Гемиполиэдры [ править ]

Тетрагемигексаэдр проективное многогранник, и единственный однородное проективное многогранник , что погружает в евклидове 3-пространстве.

Обратите внимание, что приставка «полу-» также используется для обозначения гемиполиэдров , которые представляют собой однородные многогранники , некоторые грани которых проходят через центр симметрии. Поскольку они не определяют сферические многогранники (потому что они проходят через центр, который не отображается в определенную точку на сфере), они не определяют проективные многогранники посредством фактор-отображения из 3-пространства (без начала координат) в проективное самолет.

Из этих однородных гемиполиэдров только тетрагемигексаэдр является топологически проективным многогранником, что подтверждается его эйлеровой характеристикой и визуально очевидной связью с римской поверхностью . Он 2-покрыт кубооктаэдром и может быть реализован как частное сферического кубооктаэдра по антиподальному отображению. Это единственный равномерный (традиционный) многогранник, который является проективным, то есть единственный равномерный проективный многогранник, который погружается в трехмерное евклидово пространство как единый традиционный многогранник.

Связь со сферическими многогранниками [ править ]

Существует отображение 2-к-1 покрытия сферы на проективную плоскость, и при этом отображении проективные многогранники соответствуют сферическим многогранникам с центральной симметрией - двукратное покрытие проективного многогранника является центрально-симметричным сферическим многогранником. Кроме того, поскольку накрывающее отображение является локальным гомеоморфизмом (в данном случае локальной изометрией ), как сферический, так и соответствующие проективные многогранники имеют одну и ту же абстрактную фигуру вершины . ${\ Displaystyle S ^ {2} \ to \ mathbf {RP} ^ {2}}$

Например, двумерное покрытие (проективного) полукуба - это (сферический) куб. Полукуб имеет 4 вершины, 3 грани и 6 ребер, каждое из которых покрыто 2 копиями в сфере, и, соответственно, куб имеет 8 вершин, 6 граней и 12 ребер, в то время как оба этих многогранника имеют 4,4. Фигура с 4 вершинами (3 квадрата, пересекающиеся в вершине).

Кроме того, группа симметрии ( изометрий ) проективного многогранника и покрывающего сферического многогранника связаны: симметрии проективного многогранника естественным образом отождествляются с симметрией вращения сферического многогранника, в то время как полная группа симметрии сферического многогранника является произведением его группы вращений (группы симметрии проективного многогранника) и циклической группы порядка 2, {± I }. См. Группу симметрии ниже для уточнения и других размеров.

Сферические многогранники без центральной симметрии не определяют проективный многогранник, так как изображения вершин, ребер и граней будут перекрываться. На языке мозаик изображение на проективной плоскости представляет собой мозаику степени 2, что означает, что оно покрывает проективную плоскость дважды, а не 2 грани в сфере, соответствующей 1 грани в проективной плоскости, покрывая ее дважды, каждая грань в сфера соответствует одной грани в проективной плоскости, соответственно покрывая ее дважды.

Соответствие между проективными многогранниками и центрально-симметричными сферическими многогранниками может быть расширено до связности Галуа, включающей все сферические многогранники (не обязательно центрально-симметричные), если классы расширены за счет включения мозаик степени 2 проективной плоскости, покрытия которых являются не многогранниками, а полиэдрическое соединениенецентрально-симметричного многогранника вместе с его центральным обратным (соединение двух многогранников). Это геометризует связность Галуа на уровне конечных подгрупп в O (3) и PO (3), при которых присоединение является «объединением с центральным обратным». Например, тетраэдр не является центрально-симметричным и имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани, а также фигуру 3.3.3 вершины (3 треугольника, пересекающихся в каждой вершине). Его образ на проективной плоскости имеет 4 вершины, 6 ребер (которые пересекаются) и 4 грани (которые перекрываются), дважды покрывая проективную плоскость. Покрытие этого - звездчатый октаэдр - эквивалентно соединению двух тетраэдров - который имеет 8 вершин, 12 ребер и 8 граней, а также вершину, показанную на рисунке 3.3.3.

Обобщения [ править ]

В контексте абстрактных многогранников вместо этого используется термин « локально проективные многогранники» - см. Абстрактный многогранник: Локальная топология . Например, 11-ячейка - это «локально проективный многогранник», но не глобально проективный многогранник и не тесселирует любое многообразие, поскольку оно не локально евклидово, а скорее локально проективно, как следует из названия.

Проективные многогранники могут быть определены в более высоком измерении как мозаика проективного пространства в одном измерении меньше. Определение k -мерных проективных многогранников в n -мерном проективном пространстве несколько сложнее, потому что обычное определение многогранников в евклидовом пространстве требует взятия выпуклых комбинаций точек, что не является проективным понятием и редко упоминается в литературе, но было определено, например, в ( Vives & Mayo 1991 ).

Группа симметрии [ править ]

Группа симметрии проективного многогранника - это конечная (следовательно, дискретная) ^{[примечание 1]} подгруппа проективной ортогональной группы PO, и, наоборот, каждая конечная подгруппа PO является группой симметрии проективного многогранника, взяв многогранник, заданный образами многогранника фундаментальная область для группы.

Соответствующие измерения следующие: n -мерное действительное проективное пространство - это проективизация ( n + 1) -мерного евклидова пространства , поэтому проективная ортогональная группа n- мерного проективного пространства обозначается ${\ Displaystyle \ mathbf {RP} ^ {n} = \ mathbf {P} (\ mathbf {R} ^ {n + 1}),}$

PO ( n +1) = P (O ( n +1)) = O ( n +1) / {± I }.

Если n = 2 k четно (поэтому n +1 = 2 k +1 нечетно), то O (2 k +1) = SO (2 k +1) × {± I } разлагается как произведение, и, таким образом, ^{[ примечание 2],} поэтому группу проективных изометрий можно отождествить с группой изометрий вращения. ${\ Displaystyle PO (2k + 1) = PSO (2k + 1) \ cong SO (2k + 1)}$

Таким образом, в частности, группа симметрии проективного многогранника - это группа симметрии вращения покрывающего сферического многогранника; тогда полная группа симметрии сферического многогранника - это просто прямое произведение с отражением через начало координат , которое является ядром при переходе в проективное пространство. Проективная плоскость неориентируема, поэтому нет четкого понятия «сохраняющие ориентацию изометрий проективного многогранника», что отражено в равенстве PSO (3) = PO (3).

Если n = 2 k + 1 нечетно, то O ( n +1) = O (2 k +2) не распадается как произведение, и, таким образом, группа симметрии проективного многогранника - это не просто симметрии вращения сферического многогранника. многогранник, а скорее отношение 2 к 1 полной группы симметрии соответствующего сферического многогранника (сферическая группа является центральным расширением проективной группы). Кроме того, в нечетной проективной размерности (четная векторная размерность) и вместо этого является собственной (индекс 2) подгруппой, поэтому существует отдельное понятие сохраняющих ориентацию изометрий. ${\ Displaystyle PSO (2k) \ neq PO (2k)}$

Например, в n = 1 (многоугольники) симметриями 2 r -угольника является группа диэдра Dih _{2 r} (порядка 4 r ), а группой вращений - циклическая группа C _{2 r} , которые являются подгруппами O (2 ) и SO (2) соответственно. Проективизация 2 r -угольника (в круге) является r -угольником (на проективной прямой), и соответственно фактор-группы, подгруппы PO (2) и PSO (2) суть Dih _r и C _r . Обратите внимание, что такой же коммутативный квадрат подгрупп встречается для квадрата группы Spin иГруппа контактов - Spin (2), Pin ₊ (2), SO (2), O (2) - здесь идет вверх до 2-кратного покрытия, а не до 2-кратного частного.

Наконец, по теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами O ( n ) и подгруппами PO ( n ), в частности конечных подгрупп. При этой связи группы симметрий центрально-симметричных многогранников соответствуют группам симметрий соответствующего проективного многогранника, а группы симметрий сферических многогранников без центральной симметрии соответствуют группам симметрий проективных многогранников степени 2 (мозаики, дважды покрывающие проективное пространство), покрытие которых ( соответствующий присоединению связности) представляет собой соединение двух многогранников - исходного многогранника и его центрального обратного.

Эти группы симметрии следует сравнивать и противопоставлять группам бинарных полиэдров - точно так же, как Pin _± ( n ) → O ( n ) является покрытием 2 к 1, и, следовательно, существует связь Галуа между группами бинарных полиэдров и группами полиэдров, O ( n ) → PO ( n ) является покрытием 2-к-1 и, следовательно, имеет аналогичную связь Галуа между подгруппами. Однако, в то время как дискретные подгруппы O ( n ) и PO ( n ) соответствуют группам симметрии сферических и проективных многогранников, геометрически соответствующие покрывающему отображению не существует покрывающего пространства (for ), поскольку сфера односвязна ${\ displaystyle S ^ {n} \ to \ mathbf {RP} ^ {n},}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$ ${\ Displaystyle п \ geq 2}$ , и, следовательно, не существует соответствующего «бинарного многогранника», для которого подгруппы Pin являются группами симметрии.

См. Также [ править ]

Сферический многогранник
Тороидальный многогранник

Заметки [ править ]

^ Поскольку PO компактно , конечные и дискретные множества идентичны - бесконечные множества имеют точку накопления .
^ Изоморфизм / равенство различие в этом уравнении происходит потомучто контекст является 2-к-1 факторотображение- ПСО (2 к + 1) и ПО (2 к + 1) равные подмножества цели (а именно, все пространство ), следовательно, равенство, в то время как индуцированное отображениеявляется изоморфизмом, но эти две группы являются подмножествами разных пространств, следовательно, это изоморфизм, а не равенство. См. ( Conway & Smith 2003 , p. 34 ) пример проведения такого различия. ${\ displaystyle O \ to PO}$ ${\ displaystyle SO \ to PSO}$

Ссылки [ править ]

Сноски [ править ]

^ Шульте, Эгон; Вайс, Азия Ивич (2006), «5 Топологическая классификация», Проблемы многогранников, их групп и реализаций , стр. 9–13, arXiv : math / 0608397v1 , Bibcode : 2006math ...... 8397S
^ Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1970). Скрученные соты . Серия региональных конференций CBMS по математике (4). Книжный магазин AMS. п. 11 . ISBN 978-0-8218-1653-0.
^ Магнус, Вильгельм (1974), Неевклидовые мозаики и их группы , Academic Press , стр. 65, ISBN 978-0-12-465450-1
^ Кокстер, Введение в геометрию , 1969, Второе издание, сек. 21.3 Регулярные карты , стр. 386-388

Общие ссылки [ править ]

Архидиакон, Дан; Негами, Сейя (1993), "Построение самодвойственных проективных многогранников" , J. Comb. Теория B , 59 (1): 122–131, DOI : 10.1006 / jctb.1993.1059 , получено 15 апреля 2010 г.
Ароча, Хорхе Л .; Брачо, Хавьер; Монтехано, Луис (1 февраля 2000 г.). «Правильные проективные многогранники с плоскими гранями I» (PDF) . Aequationes Mathematicae . 59 (1): 55–73. CiteSeerX 10.1.1.498.9945 . DOI : 10.1007 / PL00000128 . Проверено 15 апреля 2010 .
Брахо, Хавьер (1 февраля 2000 г.). «Правильные проективные многогранники с плоскими гранями II». Aequationes Mathematicae . 59 (1): 160–176. DOI : 10.1007 / PL00000122 .
Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек Алан (07.02.2003), «3.7 Проективные или эллиптические группы», О кватернионах и октонионах , AK Peters, Ltd., стр. 34 , ISBN. 978-1-56881-134-5
Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, С. (1999), Геометрия и воображение , Книжный магазин AMS, стр. 147 , ISBN 978-0-8218-1998-2
Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), "6C. Проективные регулярные многогранники", абстрактные регулярные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press, стр. 162–165 , ISBN 978-0-521-81496-6
Вивес, Жильберто Кальвильо; Майо, Гильермо Лопес (1991). Сусана Гомес; Жан-Пьер Хеннар; Ричард А. Тапиа (ред.). Достижения в численных уравнениях в частных производных и оптимизации . Пятый семинар США и Мексики. СИАМ. С. 43–49 . ISBN 978-0-89871-269-8.

[5] Поскольку PO компактно , конечные и дискретные множества идентичны - бесконечные множества имеют точку накопления .

[6] Изоморфизм / равенство различие в этом уравнении происходит потомучто контекст является 2-к-1 факторотображение- ПСО (2 к + 1) и ПО (2 к + 1) равные подмножества цели (а именно, все пространство ), следовательно, равенство, в то время как индуцированное отображениеявляется изоморфизмом, но эти две группы являются подмножествами разных пространств, следовательно, это изоморфизм, а не равенство. См. ( Conway & Smith 2003 , p. 34 ) пример проведения такого различия. ${\ displaystyle O \ to PO}$ ${\ displaystyle SO \ to PSO}$

[1] Шульте, Эгон; Вайс, Азия Ивич (2006), «5 Топологическая классификация», Проблемы многогранников, их групп и реализаций , стр. 9–13, arXiv : math / 0608397v1 , Bibcode : 2006math ...... 8397S

[2] Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1970). Скрученные соты . Серия региональных конференций CBMS по математике (4). Книжный магазин AMS. п. 11 . ISBN 978-0-8218-1653-0.

[3] Магнус, Вильгельм (1974), Неевклидовые мозаики и их группы , Academic Press , стр. 65, ISBN 978-0-12-465450-1

[cox-4] Кокстер, Введение в геометрию , 1969, Второе издание, сек. 21.3 Регулярные карты , стр. 386-388

[1]