Полулинейная карта

В линейной алгебре , в частности , проективная геометрии , в полулинейной карте между векторными пространствами V и W над полем К является функция , которая является линейным отображением «до твиста», следовательно , пол -линейного, где «твист» означает " полевой автоморфизм из К ". Явно это функция T  : V → W, которая:

• аддитивная по отношению к сложению векторов:${\ Displaystyle Т (v + v ') = T (v) + T (v')}$
• существует такой полевой автоморфизм θ поля K , что , где - образ скаляра при автоморфизме. Если такой автоморфизм существует и T отличен от нуля, он единственен и T называется θ-полулинейным.${\ Displaystyle Т (\ лямбда v) = \ лямбда ^ {\ тета} Т (v)}$${\ displaystyle \ lambda ^ {\ theta}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Если домен и домен являются одним и тем же пространством (то есть T  : V → V ), это можно назвать полулинейным преобразованием . Обратимые полулинейные преобразования данного векторного пространства V (для всех вариантов полевого автоморфизма) образуют группу, называемую общей полулинейной группой и обозначаемую по аналогии с общей линейной группой и расширяющую ее . Частный случай, когда поле - это комплексные числа ℂ, а автоморфизм - комплексное сопряжение , полулинейное отображение называется антилинейным отображением . ${\ Displaystyle \ OperatorName {\ Gamma L} (V),}$

Подобные обозначения (замена латинских символов на греческие) используются для полулинейных аналогов более ограниченного линейного преобразования; формально полупрямое произведение линейной группы с группой Галуа полевого автоморфизма. Например, PΣU используется для полулинейных аналогов проективной специальной унитарной группы PSU. Обратите внимание, однако, что только недавно было замечено, что эти обобщенные полулинейные группы не определены правильно, как указано в ( Bray, Holt & Roney-Dougal 2009 ) - изоморфные классические группы G и H(подгруппы SL) могут иметь неизоморфные полулинейные расширения. На уровне полупрямых произведений это соответствует различным действиям группы Галуа на данной абстрактной группе, полупрямому произведению, зависящему от двух групп и действия. Если расширение не уникально, существует ровно два полулинейных расширения; например, симплектические группы имеют единственное полулинейное расширение, тогда как SU ( n , q ) имеет два расширения, если n четно, а q нечетно, и то же самое для PSU.

Определение [ править ]

Отображение f  : V → W для векторных пространств V и W над полями K и L соответственно является σ- полулинейным или просто полулинейным , если существует гомоморфизм полей σ  : K → L такой, что для всех x , y в V и λ в K выполняется

1. ${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) + е (у),}$
2. ${\ Displaystyle е (\ лямбда х) = \ сигма (\ лямбда) е (х).}$

Заданный вложение σ из поля K в L позволяет идентифицировать K с подполя L , что делает σ -semilinear сопоставить K - линейное отображение при этой идентификации. Однако отображение, являющееся τ -поллинейным для различного вложения τ ≠ σ , не будет K- линейным по отношению к исходному отождествлению σ , если только f не будет тождественно нулем.

В более общем смысле , отображение ψ  : M → N между правым R - модуля M и левого S - модуля N является σ - полулинейная , если существует кольцо антигомоморфизмом сг  : R → S , что для всех х , у в М и Х в R выполняется

1. ${\ Displaystyle \ psi (x + y) = \ psi (x) + \ psi (y),}$
2. ${\displaystyle \psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).}$

Термин полулинейный применяется к любой комбинации левого и правого модулей с соответствующей корректировкой приведенных выше выражений, при этом σ является гомоморфизмом, если необходимо. ^{[1] [2]}

Пара ( ψ , σ ) называется диморфизмом . ^[3]

Связанные [ править ]

Транспонировать [ править ]

Пусть σ  : R → S - изоморфизм колец, M - правый R -модуль, N - правый S -модуль и ψ  : M → N - σ -поллинейное отображение. Определим транспонирование о ф как отображение ^т ψ  : N ^* → М ^* , удовлетворяющее условию ^[4]

${\displaystyle \langle y,\psi (x)\rangle =\sigma (\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\rangle )\quad \forall y\in N^{*},\forall x\in M.}$

Это σ ⁻¹ -поллинейное отображение.

Свойства [ править ]

Пусть σ  : R → S - изоморфизм колец, M - правый R -модуль, N - правый S -модуль и ψ  : M → N - σ -поллинейное отображение. Отображение

${\displaystyle M\to R:x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi (x)\rangle ),\quad y\in N^{*}}$

определяет R -линейную форму. ^[5]

Примеры [ править ]

• Пусть со стандартной базой . Определить карту по${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle f\colon V\to V}$

  ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}}$

f является полулинейным (относительно автоморфизма поля комплексного сопряжения), но не линейным.

• Пусть - поле Галуа порядка , p характеристика. Пусть . По мечте первокурсника известно, что это полевой автоморфизм. Каждому линейному отображению между векторными пространствами V и W над K можно установить -полулинейное отображение${\displaystyle K=\operatorname {GF} (q)}$${\displaystyle q=p^{i}}$${\displaystyle \ell ^{\theta }=\ell ^{p}}$${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle \theta }$

  ${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).}$

В самом деле, любое линейное отображение может быть таким образом преобразовано в полулинейное. Это часть общего наблюдения, обобщенного в следующем результате.

• Пусть - некоммутативное кольцо, левый -модуль и обратимый элемент из . Определите карту , поэтому , и является внутренним автоморфизмом . Таким образом, гомотетия должна быть не линейной, а -поллинейной. ^[6]${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x}$${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$${\displaystyle \sigma }$

Общая полулинейная группа [ править ]

Для векторного пространства V множество всех обратимых полулинейных преобразований V → V (по всем полевым автоморфизмам) является группой ΓL ( V ).

Для векторного пространства V над K ΓL ( V ) распадается как полупрямое произведение

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),}$

где Aut ( K ) являются автоморфизмами К . Аналогично, полулинейные преобразования других линейных групп могут быть определены как полупрямое произведение с группой автоморфизмов или, что более важно, как группа полулинейных отображений векторного пространства, сохраняющая некоторые свойства.

Мы отождествляем Aut ( K ) с подгруппой группы ΓL ( V ), фиксируя базис B для V и определяя полулинейные отображения:

${\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

для любого . Мы будем обозначать эту подгруппу через Aut ( K ) _B . Мы также видим, что эти дополнения к GL ( V ) в ΓL ( V ) регулярно применяются GL ( V ), поскольку они соответствуют смене базиса .${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (K)}$

Доказательство [ править ]

Таким образом, любое линейное отображение является полулинейным . Закрепить базис B из V . Теперь для любого полулинейного отображения f относительно полевого автоморфизма σ ∈ Aut ( K ) определим g  : V → V следующим образом:${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)}$

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(l_{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)}$

Поскольку f ( B ) также является базисом V , отсюда следует, что g является просто заменой базиса V и, следовательно, линейным и обратимым: g ∈ GL ( V ) .

Установить . Для каждого в V ,${\displaystyle h:=fg^{-1}}$${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b}$

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

Таким образом , ч находится в Aut ( К ) подгруппы относительно неподвижной основе B. Это разложение является уникальным для фиксированного базиса B . Кроме того, GL ( V ) нормализуется действием Aut ( K ) _B , поэтому ΓL ( V ) = GL ( V ) ⋊ Aut ( K ) .

Приложения [ править ]

Проективная геометрия [ править ]

В группах распространяются типичные классические группы в GL ( V ). Важность рассмотрения таких отображений следует из рассмотрения проективной геометрии . Индуцированное действие группы на ассоциированном проективном пространстве P ( V ) дает проективную полулинейную группу , обозначаемую как продолжение проективной линейной группы PGL ( V ).${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (V)}$

Проективная геометрия векторного пространства V , обозначаемый PG ( V ), является решетка всех подпространств V . Хотя типичное полулинейное отображение не является линейным отображением, из этого следует, что каждое полулинейное отображение индуцирует отображение , сохраняющее порядок . То есть каждое полулинейное отображение индуцирует проективность . Обратное этому наблюдению (за исключением проективной прямой) является основной теоремой проективной геометрии . Таким образом, полулинейные отображения полезны, потому что они определяют группу автоморфизмов проективной геометрии векторного пространства.${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle f\colon \operatorname {PG} (V)\to \operatorname {PG} (W)}$

Группа Матье [ править ]

Группа PΓL (3,4) может быть использована для построения группы Матье M ₂₄ , которая является одной из спорадических простых групп ; PΓL (3,4) - максимальная подгруппа в M ₂₄ , и есть много способов расширить ее до полной группы Матье.

См. Также [ править ]

• Антилинейная карта
• Комплексно сопряженное векторное пространство

Ссылки [ править ]

• Ассмус, ЭФ; Ки, Дж.Д. (1994), Конструкции и их коды , Cambridge University Press , стр. 93, ISBN 0-521-45839-0
• Бурбаки, Николас (1989) [1970]. Алгебра I, главы 1–3 [ Алжир: главы 1–3 ] (PDF) . Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC  18588156 .
• Брей, Джон Н .; Холт, Дерек Ф .; Рони-Дугал, Колва М. (2009), "Некоторые классические группы не четко определены", Журнал теории групп , 12 (2): 171-180, DOI : 10,1515 / jgt.2008.069 , ISSN  1433-5883 , М.Р.  2502211
• Фор, Клод-Ален; Фрёличер, Альфред (2000), Современная проективная геометрия , Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6525-9
• Грюнберг, KW; Weir, AJ (1977), Linear Geometry , Graduate Texts in Mathematics, 49 (1-е изд.), Springer-Verlag New York
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

Эта статья включает материал из полулинейного преобразования в PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .