В теории меры теорема Прохорова связывает плотность мер с относительной компактностью (и, следовательно, слабой сходимостью ) в пространстве вероятностных мер . Это заслуга советского математика Юрия Васильевича Прохорова , который рассмотрел вероятностные меры на полных сепарабельных метрических пространствах. Термин «теорема Прохорова» также применяется к более поздним обобщениям прямых или обратных утверждений.
Заявление
Позволять - сепарабельное метрическое пространство . Позволять обозначают совокупность всех вероятностных мер, определенных на (со своей борелевской σ-алгеброй ).
Теорема.
- Коллекция вероятностных мер является точным тогда и только тогда, когда замыканиеэто последовательно компактно в пространствеоборудован топологией из слабой сходимости .
- Космос с топологией слабой сходимости метризуем .
- Предположим, что кроме того, - полное метрическое пространство (так чтоэто польское пространство ). Есть полная метрика на эквивалент топологии слабой сходимости; более того,плотно тогда и только тогда , когда замыкание в в компактный.
Следствия
Для евклидовых пространств мы имеем следующее:
- Если это плотная последовательность в (набор вероятностных мер на -мерное евклидово пространство ), то существует подпоследовательность и вероятностная мера такой, что слабо сходится к .
- Если это плотная последовательность в такое, что каждая слабо сходящаяся подпоследовательность имеет такой же предел , то последовательность слабо сходится к .
Расширение
Теорема Прохорова может быть расширена для рассмотрения комплексных мер или конечных мер со знаком .
Теорема: предположим, что - полное сепарабельное метрическое пространство и - семейство борелевских комплексных мер на . Следующие утверждения эквивалентны:
- последовательно компактно; то есть каждая последовательность имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.
- плотно и равномерно ограничено по норме полной вариации .
Комментарии
Так как Прохоров теорема выражает плотность в терминах компактности, то Арцели теорему часто используются для замены для компактности: в функциональных пространствах, это приводит к характеристике герметичности в терминах модуля непрерывности или соответствующего аналог-см герметичности в классическом Винеровское пространство и герметичность в пространстве Скорохода .
Есть несколько глубоких и нетривиальных расширений теоремы Прохорова. Однако эти результаты не затмевают важности и актуальности исходного результата для приложений.
Смотрите также
Рекомендации
- Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк, Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-19745-9.
- Богачев, Владимир (2006). Теория измерений Том 1 и 2 . Springer. ISBN 978-3-540-34513-8.
- Прохоров, Юрий В. (1956). «Сходимость случайных процессов и предельные теоремы в теории вероятностей». Теория вероятностей и ее приложения . 1 (2): 157–214. DOI : 10.1137 / 1101016 .
- Дадли, Ричард. М. (1989). Реальный анализ и вероятность . Чепмен и Холл. ISBN 0-412-05161-3.