В математике , то метрика Леви Прохор (иногда называют просто как метрика Прохорова ) является метрика (т.е. определение расстояния) на сборе вероятностных мер на заданном метрическом пространстве . Он назван в честь французского математика Поля Леви и советского математика Юрия Васильевича Прохорова ; Прохоров ввел ее в 1956 г. как обобщение более ранней метрики Леви .
Определение
Позволять - метрическое пространство со своей борелевской сигмаалгеброй . Позволятьобозначают совокупность всех вероятностных мер на измеримом пространстве .
Для подмножества , Определим е-окрестность из от
где является открытым шаром радиуса сосредоточен на .
Метрика Леви-Прохорова определяется путем установки расстояния между двумя вероятностными мерами а также быть
Для вероятностных мер ясно .
Некоторые авторы опускают одно из двух неравенств или выбирают только открытое или закрытое ; одно неравенство влечет другое, и, но ограничение открытыми наборами может изменить определенную таким образом метрику (если не польский ).
Характеристики
- Если является разъемным , сходимость мер в метрике Леви-Прохорова эквивалентна слабую сходимость мер . Таким образом,является метризацией топологии слабой сходимости на.
- Метрическое пространство является отделимы тогда и только тогда , когда отделимо.
- Если является полной , тозавершено. Если все меры вимеют отделимый носитель , то имеет место и обратная импликация: если завершено тогда завершено. В частности, это так, если отделимо.
- Если отделимо и полно, подмножество является относительно компактным тогда и только тогда , когда его- закрытие -компактный.
Смотрите также
Рекомендации
- Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534 .
- Золотарев, В.М. (2001) [1994], "Метрика Леви – Прохорова" , Энциклопедия математики , EMS Press