Правильная скорость

Билогарифмическая сюжет из гаммы (синий), v / с (голубым) и η (желтый) по сравнению с правильной скоростью ш / с (то есть импульсом р / тс ). Обратите внимание, что w / c отслеживается v / c на низких скоростях и γ на высоких скоростях. Пунктирная красная кривая - это γ - 1 ( кинетическая энергия K / mc ² ), а пунктирная пурпурная кривая - релятивистский фактор Доплера .

В относительности , собственно скорости (также известные как быстрота ) ш от объекта относительно наблюдателя представляет собой отношение между наблюдателем-измеренным смещением вектором и собственного временем τ , прошедшим на часах объекта путешествия:${\ displaystyle {\ textbf {x}}}$

${\ displaystyle {\ textbf {w}} = {\ frac {d {\ textbf {x}}} {d \ tau}}}$

Это альтернатива обычной скорости - расстоянию в единицу времени, при котором наблюдатель измеряет и расстояние, и время.

Два типа скорости, обычная и собственная, на малых скоростях почти равны. Однако при высоких скоростях собственная скорость сохраняет многие свойства, которые скорость теряет в теории относительности по сравнению с теорией Ньютона . Например, собственная скорость равна количеству импульса на единицу массы при любой скорости и, следовательно, не имеет верхнего предела. На высоких скоростях, как показано на рисунке справа, она также пропорциональна энергии объекта.

Собственная скорость w может быть связана с обычной скоростью v через фактор Лоренца γ :

${\ displaystyle {\ textbf {w}} = {\ frac {d {\ textbf {x}}} {dt}} {\ frac {dt} {d \ tau}} = {\ textbf {v}} \, \ gamma (v)}$

где t - время координат или «время карты». Для однонаправленного движения каждый из них также просто связан с углом гиперболической скорости движущегося объекта или скоростью η соотношением

${\ displaystyle \ eta = \ sinh ^ {- 1} {\ frac {w} {c}} = \ tanh ^ {- 1} {\ frac {v} {c}} = \ pm \ cosh ^ {- 1 } \ gamma}$.

Введение [ править ]

В плоском пространстве-времени собственная скорость - это отношение между пройденным расстоянием относительно системы координат (используемой для определения одновременности) и собственным временем τ, прошедшим на часах движущегося объекта. Он равен импульсу p объекта, деленному на его массу покоя m , и состоит из пространственно-подобных компонентов четырехвекторной скорости объекта . В монографии Уильяма Шурклиффа ^[1] упоминается его раннее использование в тексте Сирса и Брема. ^[2] Фраундорф исследовал его педагогическую ценность ^{[3], в} то время как Унгар, ^[4] Бейлис ^[5] и Хестенес ^[6]исследовали его актуальность с точки зрения теории групп и геометрической алгебры . Правильная скорость иногда называется быстротой. ^[7]

В отличие от более известной координатной скорости v , собственная скорость не синхронизирована ^[1] (не требует синхронизированных часов) и полезна для описания как суперрелятивистского, так и субрелятивистского движения. Подобно координатной скорости и в отличие от четырехвекторной скорости, она находится в трехмерном срезе пространства-времени, определяемом фреймом карты. Как показано ниже и на рисунке справа, собственные скорости даже складываются как три вектора с изменением масштаба компонента вне кадра. Это делает их более полезными для картографических (например, инженерных) приложений и менее полезными для получения информации без координат. Правильная скорость, деленная на скорость света c, является гиперболическим синусом скорости η, точно так же, как фактор Лоренца γ является гиперболическим косинусом скорости, а координатная скорость v относительно скорости света является гиперболическим тангенсом скорости.

Представьте себе объект, путешествующий через область пространства-времени, локально описываемую метрическим уравнением плоского пространства Германа Минковского ( cd τ) ² = ( cd t) ² - ( d x ) ² . Здесь система координат эталонной карты и синхронизированные часы определяют положение карты x и время карты t соответственно, а буква d перед координатой означает бесконечно малое изменение. Небольшая манипуляция позволяет показать, что собственная скорость w = d x / d τ = γ v, где, как обычно, координатная скоростьv = d x / dt . Таким образом, конечное w гарантирует, что v меньше скорости света c . Группируя γ с v в выражении для релятивистского импульса p , собственная скорость также расширяет ньютоновскую форму импульса как массу, умноженную на скорость, до высоких скоростей без необходимости в релятивистской массе . ^[8]

Правильная формула сложения скорости [ править ]

Формула сложения собственных скоростей: ^{[9] [10] [11]}

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u} }$

где коэффициент бета определяется выражением .${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }}$${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Эта формула обеспечивает правильную пространственную модель гировектора скорости гиперболической геометрии, которая использует все пространство по сравнению с другими моделями гиперболической геометрии, которые используют диски или полуплоскости.

Таким образом, в физических обозначениях локальные собственные скорости w ≡ d x / dτ складываются как 3-векторы ^{[12] во} многом аналогично координатным скоростям на низкой скорости, при условии, что мы изменяем масштаб вектора «вне кадра». Другими словами:

${\displaystyle {\vec {w}}_{\text{AC}}=\left({\vec {w}}_{\text{AB}}\right)_{\text{C}}+{\vec {w}}_{\text{BC}}=\gamma _{\text{AC}}{\vec {v}}_{\text{AC}}}$,

где лоренц-фактор γ = 1 / β, а величина w _AB масштабируется в системе C в соответствии с:

${\displaystyle \left({\vec {w}}_{\text{AB}}\right)_{\text{C}}\equiv \left({\frac {{\vec {w}}_{\text{AB}}\cdot {\vec {w}}_{\text{BC}}}{(1+\gamma _{\text{AB}})c^{2}}}+\gamma _{\text{BC}}\right){\vec {w}}_{\text{AB}}}$.

В однонаправленном случае это становится коммутативным и упрощается до произведения коэффициента Лоренца, умноженного на сумму координатных скоростей, например, до w _AC = γ _AB γ _BC ( v _AB + v _BC ) , как обсуждается в разделе приложения ниже.

Связь с другими параметрами скорости [ править ]

Таблица скорости [ править ]

В приведенной ниже таблице показано, как правильная скорость w = c или «один световой год карты на год путешественника» является естественным ориентиром для перехода от субрелятивистского к суперрелятивистскому движению.

Обратите внимание на то, что угол скорости η и собственная скорость w изменяются от 0 до бесконечности и отслеживают координату-скорость, когда w << c . С другой стороны, когда w >> c , собственная скорость отслеживает фактор Лоренца, в то время как угол скорости логарифмический и, следовательно, увеличивается намного медленнее.

Уравнения взаимного преобразования [ править ]

Следующие уравнения преобразуют четыре альтернативных показателя скорости (или однонаправленной скорости), которые вытекают из метрического уравнения Минковского для плоского пространства:

${\displaystyle (c\delta \tau )^{2}=(c\delta t)^{2}-(\delta x)^{2}.\,}$.

Фактор Лоренца γ: энергия более mc ² ≥ 1 [ править ]

${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+\left({\frac {w}{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}=\cosh(\eta )\equiv {\frac {e^{\eta }+e^{-\eta }}{2}}}$

Правильная скорость w : импульс на единицу массы [ править ]

${\displaystyle {\frac {w}{c}}\equiv {\frac {1}{c}}{\frac {dx}{d\tau }}={\frac {v}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}=\sinh(\eta )\equiv {\frac {e^{\eta }-e^{-\eta }}{2}}=\pm {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}}$

Координатная скорость: v ≤ c [ править ]

${\displaystyle {\frac {v}{c}}\equiv {\frac {1}{c}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {w}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1+({\frac {w}{c}})^{2}}}}=\tanh(\eta )\equiv {\frac {e^{2\eta }-1}{e^{2\eta }+1}}=\pm {\sqrt {1-\left({\frac {1}{\gamma }}\right)^{2}}}}$

Гиперболический угол скорости или быстрота [ править ]

${\displaystyle \eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right)}$

или в логарифмах:

${\displaystyle \eta =\ln \left({\frac {w}{c}}+{\sqrt {\left({\frac {w}{c}}\right)^{2}+1}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}\right)=\pm \ln \left(\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\right)}$.

Приложения [ править ]

Сравнение скоростей на высокой скорости [ править ]

Правильная скорость полезна для сравнения скорости объектов с импульсом на единицу массы покоя ( w ), превышающим скорость света c . Координатная скорость таких объектов обычно близка к скорости света, тогда как собственная скорость говорит нам, насколько быстро они покрывают землю по часам движущихся объектов . Это важно, например, если, подобно некоторым частицам космических лучей, летящие объекты имеют конечное время жизни. Собственная скорость также указывает нам на импульс объекта, который не имеет верхней границы.

Например, электрон с энергией 45 ГэВ, ускоренный на Большом электрон-позитронном коллайдере (LEP) в Серне в 1989 г., имел бы лоренц-фактор γ около 88 000 (45 ГэВ, деленные на массу покоя электрона 511 кэВ). Его координатная скорость v была бы примерно на шестьдесят четыре триллионных меньше скорости света c при 1 световой секунде в секунду карты . С другой стороны, его правильная скорость была бы w = γv ~ 88 000 световых секунд на секунду путешественника . Для сравнения, координатная скорость электрона 250 ГэВ в предлагаемом Международном линейном коллайдере ^[13] (ILC) останется около c, в то время как его собственная скорость значительно увеличится до ~ 489 000 световых секунд на секунду путешественника.

Правильная скорость также полезна для сравнения относительных скоростей вдоль линии на высокой скорости. В этом случае

${\displaystyle {\frac {p_{AC}}{m_{1}}}=w_{AC}=\gamma _{AC}v_{AC}=\gamma _{AB}\gamma _{BC}\left(v_{AB}+v_{BC}\right)=\gamma _{AB}w_{BC}+w_{AB}\gamma _{BC}\,}$

где A, B и C относятся к различным объектам или системам отсчета. ^[14] Например, w _AC относится к правильной скорости объекта A по отношению к объекту C. Таким образом, при вычислении относительной правильной скорости, коэффициенты Лоренца умножаются при сложении координатных скоростей.

Следовательно, каждый из двух электронов (A и C) при лобовом столкновении при 45 ГэВ в лабораторной системе координат (B) будет видеть, как другой приближается к ним при v _AC ~ c и w _AC = 88,000 ² (1 + 1) ~ 1,55 × 10 ¹⁰ световых секунд на секунду путешественника. Таким образом, с точки зрения цели, коллайдеры могут исследовать столкновения с гораздо более высокой энергией и импульсом снаряда на единицу массы.

Правильные дисперсионные соотношения на основе скорости [ править ]

Построение графика зависимости ( γ - 1) от собственной скорости после умножения первого на mc ^2, а второго на массу m для различных значений m дает семейство кривых зависимости кинетической энергии от импульса, которое включает в себя большинство движущихся объектов, встречающихся в повседневной жизни. . Такие графики могут, например, использоваться, чтобы показать, где фигурируют скорость света, постоянная Планка и энергия Больцмана kT .

Для иллюстрации на рисунке справа с осями log-log показаны объекты с одинаковой кинетической энергией (связанные по горизонтали), которые несут разное количество импульса, а также то, как скорость объекта с малой массой сравнивается (путем вертикальной экстраполяции) со скоростью скорость после совершенно неупругого столкновения с большим неподвижным объектом. Линии с большим уклоном (подъем / ход = 2) обозначают контуры постоянной массы, а линии единичного уклона обозначают контуры постоянной скорости.

Объекты, которые хорошо вписываются в этот сюжет, - это люди, управляющие автомобилями, частицы пыли в броуновском движении , космический корабль на орбите вокруг Солнца, молекулы при комнатной температуре, истребитель на скорости 3 Маха, один радиоволновой фотон , человек, движущийся со скоростью один световой год за год путешественника, импульс 1,8-мегаджоульного лазера , электрон на 250 ГэВ и наша наблюдаемая Вселенная с кинетической энергией черного тела, ожидаемой от одиночной частицы при 3 градусах Кельвина.

Однонаправленное ускорение за счет правильной скорости [ править ]

Правильное ускорение на любой скорости - это физическое ускорение, испытываемое объектом локально . В пространстве-времени это трехвекторное ускорение по отношению к мгновенно изменяющейся свободно плавающей рамке объекта. ^[15] Его величина α - инвариантная к кадру величина четырехскоростного ускорения этого объекта . Правильное ускорение также полезно с точки зрения (или среза пространства-времени) внешних наблюдателей. Наблюдатели во всех кадрах могут не только прийти к единому мнению о его величине, но и измерить степень, в которой ускоряющаяся ракета «прижата педалью к металлу».

В однонаправленном случае, т.е. когда ускорение объекта параллельно или антипараллельно его скорости в пространственно-временном срезе наблюдателя, изменение собственной скорости является интегралом собственного ускорения по времени карты, т.е. Δ w = α Δ t для постоянного α . На низких скоростях это сводится к хорошо известному соотношению между координатной скоростью и временем отображения координат времени ускорения , то есть Δ v = a Δ t . Для постоянного однонаправленного собственного ускорения аналогичные отношения существуют между быстротой η и прошедшим собственным временем Δ τ, а также между коэффициентом Лоренца γ и пройденным расстоянием Δ x . Чтобы быть конкретным:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t}}=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau }}=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x}}}$,

где, как отмечалось выше, различные параметры скорости связаны соотношением

${\displaystyle \eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right)}$.

Эти уравнения описывают некоторые последствия ускоренного движения на высокой скорости. Например, представьте космический корабль, который может разогнать своих пассажиров на 1 g (или 1,03 светового года / год ² ) на полпути к месту назначения, а затем замедлить их на 1 g на оставшуюся половину, чтобы создать земную искусственную гравитацию из точки A. в точку Б в кратчайшие сроки. Для расстояния по карте Δx _AB первое уравнение выше предсказывает фактор Лоренца средней точки (по сравнению с его единичным значением покоя) γ _mid = 1 + α (Δx _AB / 2) / c ² . Следовательно, время приема-передачи на часах путешественника будет Δτ = 4 (c / α) ch ⁻¹ [γ _mid], в течение которого время, прошедшее на часах карты, будет Δt = 4 (c / α) sinh [ch ⁻¹ [γ _mid ]].

Этот воображаемый космический корабль может предлагать поездки к Проксиме Центавра и обратно продолжительностью около 7,1 лет пути (около 12 лет по земным часам), туда и обратно к центральной черной дыре Млечного Пути около 40 лет (по земным часам прошло около 54000 лет) и туда и обратно в Галактику Андромеды продолжительностью около 57 лет (более 5 миллионов лет по земным часам). К сожалению, хотя ускорение ракеты в 1 g может быть легко достигнуто, его нельзя поддерживать в течение длительного периода времени. ^[16]

См. Также [ править ]

• Кинематика : для изучения того, как позиция меняется со временем.
• Фактор Лоренца : γ = dt / d τ или кинетическая энергия более mc ²
• Скорость : гиперболический угол скорости в мнимых радианах.
• Четыре скорости : объединение путешествия во времени и пространстве
• Равномерное ускорение : фиксированная координата ускорения
• Координаты Гуллстранда – Пенлеве : плавающие кадры в искривленном пространстве-времени.

Примечания и ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Выдержки из первого издания физики пространства-времени и других ресурсов, опубликованных Эдвином Ф. Тейлором.