q -Гауссовское распределение

q -Гауссовский

Функция плотности вероятности
Параметры	${\ displaystyle q <3}$ форма ( реальная ) ( реальная ) ${\ displaystyle \ beta> 0}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в (- \ infty; + \ infty) \!}$для для${\ Displaystyle 1 \ Leq Q <3}$ ${\ displaystyle x \ in \ left [\ pm {1 \ over {\ sqrt {\ beta (1-q)}}} \ right]}$${\ displaystyle q <1}$
PDF	${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta x^{2}})}$
Иметь в виду	${\displaystyle 0{\text{ for }}q<2}$, в противном случае не определено
Медиана	${\displaystyle 0}$
Режим	${\displaystyle 0}$
Дисперсия	${\displaystyle {1 \over {\beta (5-3q)}}{\text{ for }}q<{5 \over 3}}$ ${\displaystyle \infty {\text{ for }}{5 \over 3}\leq q<2}$ ${\displaystyle {\text{Undefined for }}2\leq q<3}$
Асимметрия	${\displaystyle 0{\text{ for }}q<{3 \over 2}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle 6{q-1 \over 7-5q}{\text{ for }}q<{7 \over 5}}$

Д -Gaussian является распределением вероятности , вытекающее из максимизации энтропии Tsallis при соответствующих ограничениях. Это один из примеров распределения Tsallis . Д -Gaussian является обобщением гауссовой таким же образом , что Tsallis энтропия представляет собой обобщение стандартной Больцмана-Гиббса энтропии или Шэннона энтропии . ^[1] нормальное распределение извлекается в виде ц  → 1.

Кв -Gaussian был применен к проблемам в области статистической механики , геологии , анатомии , астрономии , экономики , финансов и машинного обучения . Распределение часто выступаете за его тяжелые хвосты по сравнению с гауссовым для 1 < д <3. Для на д -Gaussian распределения является ПДФОМ ограниченной случайной величины . Это делает в биологии и других областей ^[2] на д${\displaystyle q<1}$-Гауссово распределение больше подходит, чем распределение Гаусса, для моделирования эффекта внешней стохастичности. В 2008 г. был предложен обобщенный q -аналог классической центральной предельной теоремы ^[3] , в котором ограничение независимости для переменных iid ослаблено до степени, определяемой параметром q , причем независимость восстанавливается при q  → 1. Однако, Доказательство такой теоремы до сих пор отсутствует. ^[4]

В тяжелых регионах хвоста, распределение эквивалентно Стьюдентом т -распределение с прямым отображением между д и степенями свободы . Поэтому практикующий, использующий одно из этих распределений, может параметризовать одно и то же распределение двумя разными способами. Выбор q- гауссовой формы может возникнуть, если система не является обширной или если отсутствует связь с небольшими размерами выборок.

Характеристика [ править ]

Функция плотности вероятности [ править ]

Д -Gaussian имеет функцию плотности вероятности ^[3]

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}$

куда

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}}$

- q -экспонента, а нормировочный множитель равен${\displaystyle C_{q}}$

${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1}$

${\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ for }}q=1\,}$

${\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.}$

Обратите внимание , что для по д -Gaussian распределение является ПДФ ограниченной случайной величины .${\displaystyle q<1}$

Энтропия [ править ]

Так же, как нормальное распределение является максимальным распределением энтропии информации для фиксированных значений первого и второго моментов (с фиксированным нулевым моментом, соответствующим условию нормализации), q- гауссово распределение является максимальным распределением энтропии Тсаллиса для фиксированных значений этих три момента.${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$${\displaystyle \operatorname {E} (X^{0})=1}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

T -распределение студента [ править ]

Хотя это может быть оправданно интересной альтернативной формой энтропии, статистически это масштабируемые репараметризации Стьюдента т -распределения введено В. Госс в 1908 году для описания небольших выборок статистики. В первоначальной презентации Госсета параметр степеней свободы ν был ограничен положительным целым числом, связанным с размером выборки, но легко заметить, что функция плотности Госсета действительна для всех реальных значений ν . ^{[ необходима цитата ]} Масштабированная репараметризация вводит альтернативные параметры q и β, которые связаны с ν .

Учитывая t -распределение Стьюдента с ν степенями свободы, эквивалентный q -Гауссиан имеет

${\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ with }}\beta ={\frac {1}{3-q}}}$

с обратным

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}$

В любом случае функция является просто масштабированной версией t- распределения Стьюдента.${\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}$

Иногда утверждают, что это распределение является обобщением t- распределения Стьюдента на отрицательные и / или нецелые степени свободы. Тем не менее, теория Стьюдента т -распределения проходит тривиальна для всех действительных степеней свободы, где поддержка распределения теперь компактно , а не бесконечна в случае v , <0. ^{[ править ]}

Версия с тремя параметрами [ править ]

Как и во многих распределениях с центром на нуле, q- гауссиан может быть тривиально расширен, чтобы включить параметр местоположения μ . Тогда плотность определяется как

${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

Генерация случайных отклонений [ править ]

Преобразование Бокса – Мюллера было обобщено, чтобы сделать возможным случайную выборку из q- гауссианцев. ^[5] Стандартный метод Бокса – Мюллера генерирует пары независимых нормально распределенных переменных из уравнений следующего вида.

${\displaystyle Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})}$

Обобщенный метод Бокса – Мюллера может генерировать пары q- гауссовских отклонений, которые не являются независимыми. На практике из пары равномерно распределенных переменных генерируется только одно отклонение. Следующая формула будет генерировать отклонения от q- гауссиана с указанным параметром q и${\displaystyle \beta ={1 \over {3-q}}}$

${\displaystyle Z={\sqrt {-2{\text{ ln}}_{q'}(U_{1})}}{\text{ cos}}(2\pi U_{2})}$

где - q -логарифм и${\displaystyle {\text{ ln}}_{q}}$${\displaystyle q'={{1+q} \over {3-q}}}$

Эти отклонения могут быть преобразованы для генерирования отклонений от произвольного q- гауссиана с помощью

${\displaystyle Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta (3-q)}}}}$

Приложения [ править ]

Физика [ править ]

Было показано, что импульсное распределение холодных атомов в диссипативных оптических решетках является q- гауссовым. ^[6]

Д -Gaussian распределения также получают в виде асимптотической функции плотности вероятности в положении одномерного движения масс субъекта двух сил: детерминированные силы типа (определение бесконечного потенциальной ямы) и стохастическую белый шум силу , где это белый шум . Обратите внимание, что в приближении сверхдемпфирования / малой массы вышеупомянутая сходимость не выполняется , как недавно было показано. ^[7]${\displaystyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$${\displaystyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$${\displaystyle \xi (t)}$${\displaystyle q<0}$

Финансы [ править ]

Распределение финансовой прибыли на Нью-Йоркской фондовой бирже, NASDAQ и других местах было интерпретировано как q- гауссовское. ^{[8] [9]}

См. Также [ править ]

• Константино Цаллис
• Статистика Цаллиса
• Энтропия Тсаллиса
• Распределение Цаллиса
• q -экспоненциальное распределение
• Q-гауссовский процесс

Заметки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Джунипер, Дж. (2007) "Распределение Цаллиса и обобщенная энтропия: перспективы будущих исследований принятия решений в условиях неопределенности" (PDF) . , Центр полной занятости и справедливости, Университет Ньюкасла, Австралия

Внешние ссылки [ править ]

• Статистика Цаллиса, статистическая механика для неэкстенсивных систем и дальнодействующих взаимодействий