Квантование электромагнитного поля

Квантование электромагнитного поля , означает , что электромагнитное поле состоит из дискретных энергетических посылок, фотонов . Фотоны - это безмассовые частицы определенной энергии , определенного импульса и определенного спина .

Для того , чтобы объяснить фотоэлектрический эффект , Альберт Эйнштейн предполагается эвристический в 1905 году , что электромагнитное поле состоит из частиц энергии суммы hν , где ч является постоянной Планкой и ν является волна частоты . В 1927 году Поль А.М. Дирак смог вплести концепцию фотона в ткань новой квантовой механики и описать взаимодействие фотонов с материей. ^[1] Он применил технику, которая сейчас обычно называется вторичным квантованием , ^[2]хотя этот термин в некоторой степени неправильно употребляется для обозначения электромагнитных полей, потому что они, в конце концов, являются решениями классических уравнений Максвелла. В теории Дирака поля квантуются впервые, и это также первый раз, когда постоянная Планка входит в выражения. В своей оригинальной работе Дирак использовал фазы различных электромагнитных мод ( компоненты Фурье поля) и энергии мод в качестве динамических переменных для квантования (то есть он переинтерпретировал их как операторы и постулировал коммутационные отношения между ними). В настоящее время более распространено квантование компонентов Фурье векторного потенциала . Вот что сделано ниже.

Ниже представлено квантово-механическое состояние фотона, принадлежащее моде , и показано, что оно обладает следующими свойствами:${\ displaystyle | \ mathbf {k}, \ mu \ rangle}$${\displaystyle (\mathbf {k} ,\mu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\textrm {photon}}&=0\\H|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=h\nu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&{\hbox{with}}\quad \nu =c|\mathbf {k} |\\P_{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle \\S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\mu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&\mu =\pm 1.\end{aligned}}}$

Эти уравнения соответственно говорят: фотон имеет нулевую массу покоя; энергия фотона hν = hc | k | ( k - волновой вектор , c - скорость света); его электромагнитный импульс равен ℏ k [ℏ = h / (2 π )]; поляризация μ = ± 1 является собственным значением z -компоненты спина фотона.

Второе квантование [ править ]

Второе квантование начинается с разложения скалярного или векторного поля (или волновых функций) в базис, состоящий из полного набора функций. Эти функции разложения зависят от координат отдельной частицы. Коэффициенты, умножающие базисные функции, интерпретируются как операторы и устанавливаются (анти) коммутационные соотношения между этими новыми операторами, коммутационные соотношения для бозонов и антикоммутационные соотношения для фермионов (с самими базисными функциями ничего не происходит). Таким образом, расширенное поле преобразуется в поле фермионного или бозонного оператора. Коэффициенты расширения были повышены с обычных чисел до операторов, создания иоператоры уничтожения . Оператор создания создает частицу в соответствующей базисной функции, а оператор уничтожения уничтожает частицу в этой функции.

В случае электромагнитных полей требуемым расширением поля является разложение Фурье.

Электромагнитное поле и векторный потенциал [ править ]

Как следует из этого термина, электромагнитное поле состоит из двух векторных полей, электрического и магнитного поля . Оба являются зависящими от времени векторными полями, которые в вакууме зависят от третьего векторного поля (векторного потенциала), а также от скалярного поля.${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}},\\\end{aligned}}}$

где ∇ × является ротор из A .

Выбор кулоновской калибровки , для которой ∇ ⋅ A  = 0, превращает A в поперечное поле . Тогда разложение Фурье векторного потенциала, заключенного в конечный кубический ящик объемом V = L ^3, имеет вид

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left(\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right),}$

где обозначает комплексное сопряжение с . Волновой вектор k определяет направление распространения соответствующей компоненты Фурье (поляризованной монохроматической волны) A ( r , t ); длина волнового вектора равна${\displaystyle {\overline {a}}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle |\mathbf {k} |={\frac {2\pi \nu }{c}}={\frac {\omega }{c}},}$

где ν - частота моды. В этом суммировании k пробегает одну сторону, положительную или отрицательную. (Компонент базиса Фурье является комплексно сопряженным с компонентом as , действительным.) Компоненты вектора k имеют дискретные значения (следствие граничного условия, что A имеет одинаковое значение на противоположных стенках ящика):${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle k_{x}={\frac {2\pi n_{x}}{L}},\quad k_{y}={\frac {2\pi n_{y}}{L}},\quad k_{z}={\frac {2\pi n_{z}}{L}},\qquad n_{x},n_{y},n_{z}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .}$

Два e ^{( μ )} («вектора поляризации») являются обычными единичными векторами для электромагнитных волн с левой и правой круговой поляризацией (LCP и RCP) (см. Расчет Джонса или вектор Джонса, расчет Джонса ) и перпендикулярны k . Они связаны с ортонормированными декартовыми векторами e _x и e _y посредством унитарного преобразования:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(\pm 1)}\equiv {\frac {\mp 1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y})\qquad {\hbox{with}}\quad \mathbf {e} _{x}\cdot \mathbf {k} =\mathbf {e} _{y}\cdot \mathbf {k} =0.}$

К -м Фурье компонент А представляет собой вектор , перпендикулярный K и , следовательно , является линейной комбинацией е ⁽¹⁾ и е ^(-1) . Верхний индекс μ указывает на компонент вдоль e ^{( μ )} .

Ясно, что (дискретный бесконечный) набор коэффициентов Фурье и являются переменными, определяющими векторный потенциал. В дальнейшем они будут повышены до операторов.${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)}$${\displaystyle {\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)}$

Используя уравнения поля и в терминах вышеизложенного, электрические и магнитные поля${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }{\sum _{\mu =\pm 1}\omega {\left({\mathbf {e} ^{(\mu )}}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}-{{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right)}}\\[6pt]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left\{\left(\mathbf {k} \times {{\mathbf {e} }^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right\}\end{aligned}}}$

Используя идентичность ( и являются векторами) и поскольку каждая мода имеет одночастотную зависимость.${\displaystyle \nabla \times e^{A\cdot r}=A\times e^{A\cdot r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)=a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}{{e}^{-iwt}}}$

Квантование ЭМ поля [ править ]

Самый известный пример квантования - это замена зависящего от времени импульса частицы правилом

${\displaystyle \mathbf {p} (t)\to -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}.}$

Обратите внимание, что здесь вводится постоянная Планка и что зависимость классического выражения от времени не учитывается в квантовомеханическом операторе (это верно в так называемой картине Шредингера ).

Для электромагнитного поля мы делаем нечто подобное. Величина - это электрическая постоянная , которая появляется здесь из-за использования электромагнитных единиц СИ . Эти правила квантования являются:${\displaystyle \epsilon _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\\end{aligned}}}$

с учетом коммутационных соотношений бозонов

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),a^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k} '}\delta _{\mu ,\mu '}\end{aligned}}}$

Квадратные скобки указывают на коммутатор, определенный для любых двух квантовых механических операторов A и B . Введение постоянной Планка необходимо при переходе от классической теории к квантовой. Фактор${\displaystyle [A,B]\equiv AB-BA}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2\omega V\epsilon _{0}}}}}$

вводится, чтобы придать гамильтониану (оператору энергии) простую форму, см. ниже.

Квантованные поля (поля операторов) следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\left(\mathbf {k} \times \mathbf {e} ^{(\mu )}\right)a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}\right){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\end{aligned}}}$

где ω = c | k | = ск .

Гамильтониан поля [ править ]

Классический гамильтониан имеет вид

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\iiint _{V}{\left({{\left|E(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}+{{c}^{2}}{{\left|B(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}\right)}{{\text{d}}^{3}}\mathbf {r} =V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\omega ^{2}\left({\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).}$

Правую часть легко получить, используя сначала

${\displaystyle \int _{V}e^{ik\cdot r}e^{-ik'\cdot r}dr=V\delta _{k,k'}}$

(может быть получено из уравнения Эйлера и тригонометрической ортогональности), где k - волновое число для волны, заключенной в рамку V = L × L × L, как описано выше, и, во-вторых, с использованием ω = kc .

Подстановка операторов поля в классический гамильтониан дает оператор Гамильтона электромагнитного поля:

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {k} ,\mu =\pm 1}\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)}$

Второе равенство следует из использования третьего из соотношений коммутации бозонов сверху с k '' = k и μ = μ . Заметим еще раз, что ℏ ω = hν = ℏ c | k | и помните, что ω зависит от k , хотя это не указано явно в обозначениях. Обозначение ω ( k ) можно было бы ввести, но оно не является общепринятым, поскольку загромождает уравнения.

Отступление: гармонический осциллятор [ править ]

Вторая квантованная трактовка одномерного квантового гармонического осциллятора - хорошо известная тема в курсах квантовой механики. Сделаем небольшое отступление и скажем об этом несколько слов. Гамильтониан гармонического осциллятора имеет вид

${\displaystyle H=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\tfrac {1}{2}}\right)}$

где ω ≡ 2 πν - основная частота осциллятора. Основное состояние генератора обозначено ; и называется «вакуумным состоянием». Можно показать, что это оператор возбуждения, он возбуждает из n- кратного возбужденного состояния в n + 1-кратное возбужденное состояние:${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle =|n+1\rangle {\sqrt {n+1}}.}$

В частности: и${\displaystyle a^{\dagger }|0\rangle =|1\rangle }$${\displaystyle (a^{\dagger })^{n}|0\rangle \propto |n\rangle .}$

Поскольку энергии гармонических осцилляторов эквидистантны, n- кратное возбужденное состояние ; можно рассматривать как единое состояние, содержащее n частиц (иногда называемых вибронами) всей энергией hν . Эти частицы являются бозонами. По понятной причине оператор возбуждения называется оператором создания .${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }}$

Из коммутационного соотношения следует, что сопряженный эрмитов снимает возбуждение : в частности, так что по очевидной причине оператор снятия возбуждения называется оператором уничтожения .${\displaystyle a}$${\displaystyle a|n\rangle =|n-1\rangle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle a|0\rangle \propto 0,}$${\displaystyle a|0\rangle =0.}$${\displaystyle a}$

С помощью математической индукции легко доказать следующее "правило дифференцирования", которое понадобится позже:

${\displaystyle \left[a,(a^{\dagger })^{n}\right]=n(a^{\dagger })^{n-1}\qquad {\hbox{with}}\quad \left(a^{\dagger }\right)^{0}=1.}$

Предположим, теперь у нас есть ряд невзаимодействующих (независимых) одномерных гармонических осцилляторов, каждый со своей собственной основной частотой ω _i . Поскольку осцилляторы независимы, гамильтониан представляет собой простую сумму:

${\displaystyle H=\sum _{i}\hbar \omega _{i}\left(a^{\dagger }(i)a(i)+{\tfrac {1}{2}}\right).}$

Подставляя для, мы видим, что гамильтониан электромагнитного поля можно рассматривать как гамильтониан независимых осцилляторов с энергией ω = | k | c колеблется в направлении e ^{( μ )} с μ = ± 1.${\displaystyle (\mathbf {k} ,\mu )}$${\displaystyle i}$

Состояния числа фотонов (состояния Фока) [ править ]

Квантованное ЭМ поле находится в вакууме (без фотонов) . Приложение к нему, скажем,${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)^{m}\left({a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right)^{n}|0\rangle \propto \left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,}$

дает квантовое состояние m фотонов в моде ( k , μ ) и n фотонов в моде ( k ', μ' ). Символ пропорциональности используется, потому что состояние слева не нормализовано к единице, тогда как состояние справа может быть нормализовано.

Оператор

${\displaystyle N^{(\mu )}(\mathbf {k} )\equiv {a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )}$

- числовой оператор . При воздействии на квантово-механическое состояние числа фотонов он возвращает количество фотонов в моде ( k , μ ). Это также верно, когда количество фотонов в этом режиме равно нулю, тогда числовой оператор возвращает ноль. Чтобы показать действие числового оператора на однофотонный кет, рассмотрим

${\displaystyle {\begin{aligned}N^{(\mu )}(\mathbf {k} )|\mathbf {k} ',\mu '\rangle &={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )|0\rangle \\&={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left(\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}+{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)|0\rangle \\&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}|\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\end{aligned}}}$

т.е. числовой оператор режима ( k , μ ) возвращает ноль, если режим не занят, и возвращает единицу, если режим занят только один. Чтобы рассмотреть действие числового оператора моды ( k , μ ) на n -фотонный кет той же моды, отбросим индексы k и μ и рассмотрим

${\displaystyle N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =a^{\dagger }\left([a,(a^{\dagger })^{n}]+(a^{\dagger })^{n}a\right)|0\rangle =a^{\dagger }[a,(a^{\dagger })^{n}]|0\rangle .}$

Воспользуйтесь введенным ранее «правилом дифференциации», из которого следует

${\displaystyle N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =n(a^{\dagger })^{n}|0\rangle .}$

Состояние числа фотонов (или состояние Фока) является собственным состоянием числового оператора. Вот почему описанный здесь формализм часто называют представлением числа заполнения .

Фотонная энергия [ править ]

Ранее гамильтониан,

${\displaystyle H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)}$

был представлен. Нуль энергии можно сдвинуть, что приводит к выражению в терминах числового оператора:

${\displaystyle H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega N^{(\mu )}(\mathbf {k} )}$

Влияние H на однофотонное состояние равно

${\displaystyle H|\mathbf {k} ,\mu \rangle \equiv H\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\sum _{\mathbf {k'} ,\mu '}\hbar \omega 'N^{(\mu ')}(\mathbf {k} '){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle =\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \omega |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

По-видимому, однофотонное состояние является собственным состоянием H и ℏ ω = hν - соответствующая энергия. Точно так же

${\displaystyle H\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle =\left[m(\hbar \omega )+n(\hbar \omega ')\right]\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,\qquad {\text{with}}\quad \omega =c|\mathbf {k} |\quad {\hbox{and}}\quad \omega '=c|\mathbf {k} '|.}$

Пример плотности фотонов [ править ]

Плотность электромагнитной энергии, создаваемой радиопередающей станцией мощностью 100 кВт, вычислена в статье об электромагнитной волне  ; оценка плотности энергии на расстоянии 5 км от станции составила 2,1 × 10 ^-10  Дж / м ³ . Нужна ли квантовая механика для описания трансляции станции?

Классическое приближение к электромагнитному излучению хорошо, когда количество фотонов в объеме намного больше единицы, где λ - длина радиоволн. В этом случае квантовые флуктуации незначительны и не могут быть услышаны.${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}},}$

Предположим, что радиостанция вещает на частоте ν = 100 МГц, затем она излучает фотоны с энергосодержанием νh = 1 × 10 ⁸ × 6,6 × 10 ⁻³⁴ = 6,6 × 10 ⁻²⁶  Дж, где h - постоянная Планка . Длина волны станции λ = c / ν = 3 м, так что λ / (2 π ) = 48 см, а объем равен 0,109 м ³ . Энергосодержание этого элемента объема составляет 2,1 · 10 ⁻¹⁰ · 0,109 = 2,3 · 10 ⁻¹¹  Дж, что составляет 3,4 · 10 ¹⁴ фотонов на${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}}.}$Очевидно, что 3,4 × 10 ¹⁴ > 1 и, следовательно, квантовые эффекты не играют роли; волны, излучаемые этой станцией, хорошо описываются классическим пределом, и квантовая механика не нужна.

Импульс фотона [ править ]

Вводя фурье-разложение электромагнитного поля к классическому виду

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\epsilon _{0}\iiint _{V}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t){\textrm {d}}^{3}\mathbf {r} ,}$

дает

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =1,-1}\omega \mathbf {k} \left(a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).}$

Квантование дает

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} N^{(\mu )}(\mathbf {k} ).}$

Член 1/2 можно было бы опустить, потому что, когда суммируется разрешенное k , k сокращается с - k . Влияние P _EM на однофотонное состояние равно

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mathbf {P} _{\textrm {EM}}\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

По-видимому, однофотонное состояние - это собственное состояние оператора импульса, а k - собственное значение (импульс одиночного фотона).

Масса фотона [ править ]

Можно представить, что фотон, имеющий ненулевой линейный импульс, имеет отличную от нуля массу покоя m ₀ , которая является его массой при нулевой скорости. Однако сейчас мы покажем, что это не так: m ₀ = 0.

Поскольку фотон распространяется со скоростью света , необходима специальная теория относительности . Релятивистские выражения для квадрата энергии и импульса:

${\displaystyle E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad p^{2}={\frac {m_{0}^{2}v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Из p ² / E ² ,

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}p^{2}}{E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-c^{2}p^{2}/E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}.}$

Использовать

${\displaystyle E^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}\qquad {\text{and}}\qquad p^{2}=\hbar ^{2}k^{2}={\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}$

и отсюда следует, что

${\displaystyle m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}-c^{2}{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}=0,}$

так что m ₀ = 0.

Фотонное вращение [ править ]

Фотон может быть назначен триплет спин с спиновым числом S = 1. Это аналогично, скажем, ядерный спин из ¹⁴ N изотопа , но с важным отличием , что состояние с M _S = 0 равен нулю, только состояния с M _S = ± 1 отличны от нуля.

Определите операторы вращения:

${\displaystyle S_{z}\equiv -i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.}$

Два оператора между двумя ортогональными единичными векторами являются диадическими произведениями . Единичные векторы перпендикулярны направлению распространения k (направлению оси z , которая является осью квантования спина).${\displaystyle \otimes }$

Операторы спина удовлетворяют обычным соотношениям коммутации углового момента

${\displaystyle [S_{x},S_{y}]=i\hbar S_{z}\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.}$

Действительно, используйте свойство диадического произведения

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)=\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {e} _{z}\right)=\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}}$

потому что e _z имеет единичную длину. Таким образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S_{x},S_{y}\right]&=-\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\\&=\hbar ^{2}\left[-\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\right]\\&=i\hbar \left[-i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\right]\\&=i\hbar S_{z}\end{aligned}}}$

Из осмотра следует, что

${\displaystyle -i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\cdot \mathbf {e} ^{(\mu )}=\mu \hbar \mathbf {e} ^{(\mu )},\qquad \mu =\pm 1,}$

и, следовательно, μ обозначает спин фотона,

${\displaystyle S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mu \hbar |\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\quad \mu =\pm 1.}$

Поскольку векторный потенциал A является поперечным полем, фотон не имеет прямой (μ = 0) спиновой компоненты.

См. Также [ править ]

• QED вакуум

Ссылки [ править ]

Эта статья включает материал из статьи Citizendium « Квантование электромагнитного поля », которая находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, но не GFDL .