Квантовый деполяризующий канал

Канал квантовых деполяризующий является моделью квантового шума в квантовых системах. - Мерный канал деполяризующего можно рассматривать как вполне положительную трассировку , сохраняющую карту , в зависимости от одного параметра , который отображает состояние на линейную комбинацию себя и максимально смешанное состояние ,${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ Delta _ {\ lambda} (\ rho) = (1- \ lambda) \ rho + {\ frac {\ lambda} {d}} I}$.

Условие полной положительности требует выполнения оценок${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle 0 \ leq \ lambda \ leq 1 + {\ frac {1} {d ^ {2} -1}}}$.

Qubit Channel [ править ]

Канал деполяризации с одним кубитом имеет представление операторной суммы ^[1] на матрице плотности, заданной формулой ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ Delta _ {\ lambda} (\ rho) = \ sum _ {i = 0} ^ {3} K_ {i} \ rho K_ {i} ^ {\ dagger},}$

где - операторы Крауса, заданные формулами ${\ displaystyle K_ {i}}$

${\ displaystyle K_ {0} = {\ sqrt {1 - {\ frac {3 \ lambda} {4}}}} I, K_ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {4}}} X, K_ {2} = {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {4}}} Y, K_ {3} = {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {4}}} Z}$

и - матрицы Паули . Сохранение следа условие тем , что${\ displaystyle \ {I, X, Y, Z \}}$${\displaystyle \sum _{i}K_{i}^{\dagger }K_{i}=I.}$

Геометрически деполяризующий канал можно интерпретировать как равномерное сжатие сферы Блоха , параметризованное как . В случае, когда канал возвращает максимально смешанное состояние для любого входного состояния , которое соответствует полному сжатию сферы Блоха вниз до единственной точки, заданной началом координат.${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\frac {I}{2}}}$

Классическая емкость [ править ]

Теорема HSW утверждает, что классическая пропускная способность квантового канала может быть охарактеризована как его регуляризованная информация Холево :${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\chi \left(\Psi ^{\otimes n}\right)}$

Эту величину трудно вычислить, и это отражает наше незнание квантовых каналов. Однако, если информация Holevo является аддитивной для канала , т. Е.${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \chi \left(\Psi \otimes \Psi \right)=\chi \left(\Psi \right)+\chi \left(\Psi \right)}$

Тогда мы можем получить его классическую пропускную способность, вычислив информацию Holevo о канале.

Аддитивность информации Холево для всех каналов была известной открытой гипотезой в квантовой теории информации, но теперь известно, что эта гипотеза в целом неверна. Это было доказано, показывая, что аддитивность минимальной выходной энтропии для всех каналов не выполняется, ^[2] что является эквивалентной гипотезой.

Тем не менее, показано, что аддитивность информации Холево сохраняется для квантового деполяризующего канала ^[3], и схема доказательства приводится ниже. Как следствие, запутанность при многократном использовании канала не может увеличить классическую пропускную способность. В этом смысле канал ведет себя как классический канал. Для достижения оптимальной скорости обмена данными достаточно выбрать ортонормированную основу для кодирования сообщения и выполнить измерения, которые проецируются на ту же основу на принимающей стороне.

Схема доказательства аддитивности информации Holevo [ править ]

Аддитивность информации Холево для деполяризующего канала была доказана Кристофером Кингом. ^[3] Он показал, что максимальная p-норма выхода деполяризующего канала является мультипликативной, что подразумевает аддитивность минимальной выходной энтропии, что эквивалентно аддитивности информации Holevo.

Более сильная версия аддитивности информации Holevo показана для канала деполяризации . Для любого канала :${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \chi \left(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi \right)=\chi \left(\Delta _{\lambda }\right)+\chi \left(\Psi \right)}$

Это подразумевается следующей мультипликативностью максимальной p-нормы выхода (обозначенной как ):${\displaystyle v_{p}}$

${\displaystyle v_{p}\left(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi \right)=v_{p}\left(\Delta _{\lambda }\right)v_{p}\left(\Psi \right)}$

Направление больше или равно указанному выше тривиально, достаточно взять тензорное произведение на состояния, которые достигают максимальной p-нормы для и, соответственно, и ввести состояние продукта в канал продукта, чтобы получить выходную p-норму . Доказательство противоположного направления более сложное.${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi )}$

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы переписать деполяризующий канал как выпуклую комбинацию более простых каналов и использовать свойства этих более простых каналов, чтобы получить мультипликативность максимальной выходной p-нормы для деполяризующего канала.

Оказывается, мы можем записать деполяризующий канал следующим образом:

${\displaystyle \Delta _{\lambda }(\rho )=\sum _{n=1}^{2d^{2}(d+1)}c_{n}U_{n}^{*}\Phi _{\lambda }^{(n)}(\rho )Un}$

где 's - положительные числа, ' s - унитарные матрицы, 's - некоторые каналы дефазировки и является произвольным входным состоянием.${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle \Phi _{\lambda }^{(n)}}$${\displaystyle \rho }$

Следовательно, канал продукта можно записать как:

${\displaystyle \left(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi \right)(\rho )=\sum _{n=1}^{2d^{2}(d+1)}c_{n}\left(U_{n}^{*}\otimes I\right)\left(\Phi _{\lambda }^{(n)}\otimes \Psi \right)(\rho )\left(U_{n}\otimes I\right)}$

Ввиду выпуклости и унитарной инвариантности p-нормы достаточно показать более простую оценку:

${\displaystyle \|\left(\Phi _{\lambda }^{(n)}\otimes \Psi \right)(\rho )\|_{p}\leq v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi )}$

Одним из важных математических инструментов, используемых при доказательстве этой оценки, является неравенство Либа – Тирринга , которое дает оценку p-нормы произведения положительных матриц. Детали и расчеты доказательства опускаются, заинтересованные читатели отсылаются к упомянутой выше статье К. Кинга.

Обсуждение [ править ]

Основной метод, использованный в этом доказательстве, а именно переписывание интересующего канала как выпуклой комбинации других более простых каналов, является обобщением метода, использованного ранее для доказательства аналогичных результатов для каналов с унитальными кубитами . ^[4]

Тот факт, что классическая пропускная способность деполяризующего канала равна информации Holevo канала, означает, что мы действительно не можем использовать квантовые эффекты, такие как запутанность, для улучшения скорости передачи классической информации. В этом смысле канал деполяризации можно рассматривать как классический канал.

Однако тот факт, что аддитивность информации Holevo в целом не выполняется, предлагает некоторые области будущей работы, а именно поиск каналов, которые нарушают аддитивность, другими словами, каналов, которые могут использовать квантовые эффекты для улучшения классической емкости за пределами информации Holevo.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кинг, К. (14 января 2003 г.), «Возможности квантового деполяризующего канала», IEEE Transactions on Information Theory , 49 (1): 221–229, arXiv : Quant-ph / 0204172v2 , doi : 10.1109 / TIT.2002.806153
• Гастингс, МБ (15 марта 2009 г.), «Супераддитивность коммуникационной способности с использованием запутанных входов», Nature Physics , 5 (4): 255–257, arXiv : 0809.3972v4 , Bibcode : 2009NatPh ... 5..255H , doi : 10.1038 / nphys1224
• Уайлд, Марк М. (2017), квантовая теория информации , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017 / 9781316809976.001