Нулевая энергия

Энергия нулевой точки ( ZPE ) - это минимально возможная энергия, которую может иметь квантово-механическая система. В отличие от классической механики , квантовые системы постоянно колеблются в самом низком энергетическом состоянии, как это описывается принципом неопределенности Гейзенберга . ^[1] Так же, как и атомы и молекулы , пустое пространство вакуума обладает этими свойствами. Согласно квантовой теории поля , Вселенную можно рассматривать не как изолированные частицы, а как непрерывные флуктуирующие поля : поля материи , которыекванты - это фермионы (например, лептоны и кварки ) и силовые поля , кванты которых являются бозонами (например, фотоны и глюоны ). Все эти поля имеют нулевую энергию. ^[2] Эти флуктуирующие поля нулевой точки приводят к своего рода повторному введению эфира в физику ^{[1] [3],} поскольку некоторые системы могут обнаруживать существование этой энергии; Однако, этот эфир не может рассматриваться в качестве физической среды , если она должна быть лоренц - инвариантной таким образом, что не существует никакого противоречия с эйнштейновской теорией относительности . ^[1]

Жидкий гелий сохраняет кинетическую энергию и не замерзает независимо от температуры из-за энергии нулевой точки. При охлаждении ниже своей лямбда-точки он проявляет свойства сверхтекучести.

В настоящее время физикам не хватает полной теоретической модели для понимания энергии нулевой точки; в частности, несоответствие теоретической и наблюдаемой энергии вакуума является источником серьезных разногласий. ^[4] Физики Ричард Фейнман и Джон Уиллер подсчитали, что излучение вакуума в нулевой точке на порядок превышает ядерную энергию , с одной лампочкой, содержащей достаточно энергии, чтобы вскипятить все океаны мира. ^[5] Тем не менее, согласно общей теории относительности Эйнштейна , любая такая энергия будет притягиваться, и экспериментальные свидетельства как расширения Вселенной , темной энергии, так и эффекта Казимира показывают, что любая такая энергия является исключительно слабой. Популярное предложение, которое пытается решить эту проблему, состоит в том, чтобы сказать, что поле фермионов имеет отрицательную нулевую энергию, а бозонное поле имеет положительную нулевую энергию, и, таким образом, эти энергии каким-то образом компенсируют друг друга. ^{[6] [7]} Эта идея была бы верной, если бы суперсимметрия была точной симметрией природы ; однако LHC в ЦЕРНе до сих пор не нашел доказательств, подтверждающих это. Более того, известно, что если суперсимметрия вообще верна, то это в лучшем случае нарушенная симметрия , истинная только при очень высоких энергиях, и никто не смог показать теорию, согласно которой нулевые сокращения происходят в низкоэнергетической Вселенной, которую мы наблюдайте сегодня. ^[7] Это несоответствие известно как проблема космологической постоянной, и это одна из величайших нерешенных загадок в физике . Многие физики считают, что «вакуум является ключом к полному пониманию природы». ^[8]

Термин энергия нулевой точки (ZPE) является переводом с немецкого Nullpunktsenergie. ^[9] Иногда взаимозаменяемо используются термины « излучение нулевой точки» и « энергия основного состояния» . Термин поле нулевой точки ( ZPF ) может использоваться при ссылке на конкретное вакуумное поле, например, вакуум QED, который специально занимается квантовой электродинамикой (например, электромагнитные взаимодействия между фотонами, электронами и вакуумом), или вакуум QCD, который имеет дело с квантовой хромодинамикой (например, взаимодействия цветных зарядов между кварками, глюонами и вакуумом). Вакуум можно рассматривать не как пустое пространство, а как комбинацию всех полей нулевой точки. В квантовой теории поля эта комбинация полей называется вакуумным состоянием , связанная с ней энергия нулевой точки называется энергией вакуума, а среднее значение энергии называется математическим ожиданием вакуума (VEV), также называемым его конденсатом .

В классической механике все частицы можно представить как обладающие некоторой энергией, состоящей из их потенциальной энергии и кинетической энергии . Например, температура возникает из-за интенсивности случайного движения частиц, вызванного кинетической энергией (известного как броуновское движение ). Когда температура снижается до абсолютного нуля , можно подумать, что все движение прекращается и частицы полностью останавливаются. На самом деле, однако, кинетическая энергия сохраняется в частицах даже при минимально возможной температуре. Случайное движение , соответствующее этой энергии нулевой точки никогда не исчезает , как следствие принципа неопределенности в квантовой механике .

Нулевая точка излучения непрерывно передает случайные импульсы на электрон , так что он никогда не доходит до полной остановки. Излучение нулевой точки дает осциллятору среднюю энергию, равную частоте колебаний, умноженной на половину постоянной Планка .

Принцип неопределенности гласит, что ни один объект не может одновременно иметь точные значения положения и скорости. Полная энергия квантово-механического объекта (потенциальная и кинетическая) описывается его гамильтонианом, который также описывает систему как гармонический осциллятор или волновую функцию , которая колеблется между различными энергетическими состояниями (см. Дуальность волна-частица ). Все квантово-механические системы испытывают флуктуации даже в своем основном состоянии, что является следствием их волновой природы. Принцип неопределенности требует, чтобы каждая квантово-механическая система имела флуктуирующую нулевую энергию, превышающую минимум ее классической потенциальной ямы . Это приводит к движению даже при абсолютном нуле . Например, жидкий гелий не замерзает при атмосферном давлении независимо от температуры из-за его нулевой энергии.

С учетом эквивалентности массы и энергии , высказанное Альберта Эйнштейна «s Е = тс 2 , любая точка в пространстве , которое содержит энергию можно рассматривать как имеющие массу для создания частиц. Виртуальные частицы спонтанно возникают в каждой точке пространства из-за энергии квантовых флуктуаций, вызванных принципом неопределенности. Современная физика разработала квантовую теорию поля (КТП), чтобы понять фундаментальные взаимодействия между материей и силами, она рассматривает каждую точку пространства как квантовый гармонический осциллятор . Согласно КТП Вселенная состоит из полей материи, квантами которых являются фермионы (т.е. лептоны и кварки ), и силовых полей, кванты которых являются бозонами (например, фотонами и глюонами ). Все эти поля имеют нулевую энергию. ^[2] Недавние эксперименты отстаивают идею о том, что сами частицы можно рассматривать как возбужденные состояния лежащего в основе квантового вакуума , и что все свойства материи являются просто вакуумными флуктуациями, возникающими в результате взаимодействий нулевого поля. ^[10]

Идея о том, что «пустое» пространство может иметь внутреннюю энергию, связанную с ним, и что не существует такой вещи, как «истинный вакуум», кажется неинтуитивной. Часто утверждают, что вся Вселенная полностью погружена в излучение нулевой точки, и поэтому оно может добавить к расчетам лишь некоторую постоянную величину. Таким образом, физические измерения покажут только отклонения от этого значения. ^[11] Для многих практических расчетов энергия нулевой точки отклоняется в математической модели как термин, не имеющий физического эффекта. Однако такая трактовка вызывает проблемы, поскольку в общей теории относительности Эйнштейна абсолютное значение энергии пространства не является произвольной константой и дает начало космологической постоянной . В течение десятилетий большинство физиков предполагали, что существует некий неоткрытый фундаментальный принцип, который устранит бесконечную нулевую энергию и полностью исчезнет. Если у вакуума нет внутренней абсолютной величины энергии, он не будет гравитировать. Считалось, что по мере того, как Вселенная расширяется после Большого взрыва , энергия, содержащаяся в любой единице пустого пространства, будет уменьшаться по мере того, как общая энергия распространяется, чтобы заполнить объем Вселенной; галактики и вся материя во Вселенной должны начать замедляться. Эта возможность была исключена в 1998 году, когда было обнаружено, что расширение Вселенной не замедляется, а на самом деле ускоряется, что означает, что пустое пространство действительно имеет некоторую внутреннюю энергию. Открытие темной энергии лучше всего объясняется энергией нулевой точки, хотя до сих пор остается загадкой, почему значение кажется таким маленьким по сравнению с огромным значением, полученным с помощью теории - проблема космологической постоянной . ^[6]

Многие физические эффекты, приписываемые нулевой энергии, были экспериментально подтверждены, такие как спонтанное излучение , сила Казимира , сдвиг Лэмба , магнитный момент электрона и рассеяние Дельбрюка . ^{[12] [13]} Эти эффекты, как правило , называется «радиационными поправками». ^[14] В более сложных нелинейных теориях (например, КХД) энергия нулевой точки может вызвать множество сложных явлений, таких как множественные стабильные состояния , нарушение симметрии , хаос и возникновение . Многие физики считают, что «вакуум является ключом к полному пониманию природы» ^[8] и что его изучение имеет решающее значение в поисках теории всего . Активные области исследований включают в себя эффекты виртуальных частиц, ^[15] квантовой запутанности , ^[16] разность (если таковые имеются) между инертной и гравитационной масс , ^[17] изменение скорости света , ^[18] причиной наблюдаемого значение космологической постоянной ^[19] и природа темной энергии . ^{[20] [21]}

Ранние теории эфира

Джеймс Клерк Максвелл

Энергия нулевой точки возникла из исторических представлений о вакууме . Для Аристотеля вакуум был τὸ κενόν , «пустота»; т.е. пространство, не зависящее от тела. Он считал, что эта концепция нарушает основные физические принципы, и утверждал, что элементы огня, воздуха, земли и воды не состоят из атомов, а являются непрерывными. Для атомистов понятие пустоты имело абсолютный характер: это было различие между существованием и небытием. ^[22] Дебаты о характеристиках вакуума в основном ограничивались сферой философии , и только намного позже, с началом эпохи Возрождения , Отто фон Герике изобрел первый вакуумный насос, и первые проверенные научные идеи начали реализовываться. появляться. Считалось, что полностью пустой объем пространства можно создать, просто удалив все газы. Это была первая общепринятая концепция вакуума. ^[23]

Однако в конце XIX века стало очевидно, что эвакуированная область все еще содержала тепловое излучение . Существование эфира как заменителя настоящей пустоты было самой распространенной теорией того времени. Согласно успешной теории электромагнитного эфира, основанной на электродинамике Максвелла , этот всеобъемлющий эфир был наделен энергией и, следовательно, сильно отличался от небытия. Тот факт, что электромагнитные и гравитационные явления легко передавались в пустом пространстве, указывал на то, что связанные с ними эфиры были частью ткани самого пространства. Сам Максвелл отмечал, что:

Для тех, кто считал существование полноты философским принципом, отвращение природы к вакууму было достаточной причиной для воображения окружающего его эфира ... Эфиры были изобретены для того, чтобы планеты плавали в них, создавая электрические атмосферы и магнитные испарения. , чтобы передавать ощущения от одной части нашего тела к другой, и так далее, пока пространство не будет три или четыре раза заполнено эфиром. ^[24]

Однако результаты эксперимента Майкельсона-Морли в 1887 году стали первым убедительным доказательством того, что преобладающие в то время теории эфира были серьезно ошибочными, и положили начало направлению исследований, которое в конечном итоге привело к специальной теории относительности , которая исключила идею неподвижного эфира. все вместе. Ученым того времени казалось, что настоящий вакуум в космосе может быть полностью устранен путем охлаждения, тем самым устраняя все излучение или энергию. На основе этой идеи возникла вторая концепция достижения реального вакуума: охладить его до абсолютной нулевой температуры после вакуумирования. Абсолютный ноль в XIX веке было технически невозможно достичь, поэтому дебаты остались нерешенными.

Вторая квантовая теория

В 1900 году Макс Планк вывел среднюю энергию ε одного излучателя энергии , например, колеблющейся атомной единицы, как функцию абсолютной температуры: ^[25]

${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ гидроразрыва {ч \ ню} {е ^ {ч \ ню / (кТ)} - 1}} \ ,,}$

где h - постоянная Планка , ν - частота , k - постоянная Больцмана , а T - абсолютная температура . Энергия нулевой точки не вносит никакого вклада в исходный закон Планка, поскольку в 1900 году Планк не знал о ее существовании ^[26].

Концепция энергии нулевой точки была разработана Максом Планком в Германии в 1911 году как поправочный член, добавленный к формуле с нулевым основанием, разработанной в его первоначальной квантовой теории в 1900 году ^[27].

В 1912 году Макс Планк опубликовал первую журнальную статью, описывающую прерывистое излучение, основанное на дискретных квантах энергии. ^[28] Во «второй квантовой теории» Планка резонаторы поглощали энергию непрерывно, но излучали энергию в виде дискретных квантов энергии только тогда, когда они достигли границ конечных ячеек в фазовом пространстве, где их энергии стали целыми кратными hν . Эта теория привела Планка к его новому закону излучения, но в этой версии энергетические резонаторы обладали нулевой энергией, наименьшей средней энергией, которую резонатор мог принять. Уравнение излучения Планка содержало коэффициент остаточной энергии, равный единице.hν/2, как дополнительный член, зависящий от частоты ν , которая была больше нуля (где h - постоянная Планка). Поэтому широко признано, что «уравнение Планка ознаменовало рождение концепции нулевой энергии». ^[29] В серии статей с 1911 по 1913 год ^[30] Планк обнаружил, что средняя энергия осциллятора равна: ^{[27] [31]}

${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {h \ nu} {2}} + {\ frac {h \ nu} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1}} ~.}$

Официальный портрет Эйнштейна 1921 года после получения Нобелевской премии по физике

Вскоре идея нулевой энергии привлекла внимание Альберта Эйнштейна и его помощника Отто Стерна . ^[32] В 1913 году они опубликовали статью, в которой пытались доказать существование нулевой энергии, вычисляя удельную теплоемкость газообразного водорода и сравнивая ее с экспериментальными данными. Однако, предположив, что им это удалось, они отказались от поддержки этой идеи вскоре после публикации, потому что они обнаружили, что вторая теория Планка может не применяться к их примеру. В письме к Павлу Эренфестом того же года Эйнштейн объявил энергию нулевой точки «мертвую как дверной гвоздь» ^[33] энергия нулевой точки также вызывается Дебай , ^[34] , который отметил , что нулевая точка энергии атомов кристаллическая решетка приведет к уменьшению интенсивности дифрагированного излучения в дифракции рентгеновских лучей , даже когда температура приблизилась к абсолютному нулю. В 1916 году Вальтер Нернст предложил заполнить пустое пространство нулевым электромагнитным излучением . ^[35] С развитием общей теории относительности Эйнштейн обнаружил, что плотность энергии вакуума вносит вклад в космологическую постоянную , чтобы получить статические решения своих уравнений поля; Вернулась идея о том, что пустое пространство или вакуум может иметь некоторую внутреннюю энергию, связанную с ним, и Эйнштейн заявил в 1920 году:

В пользу гипотезы эфира можно привести весомый аргумент. Отрицать эфир - значит предполагать, что пустое пространство не имеет никаких физических качеств. Фундаментальные факты механики не согласуются с этой точкой зрения ... согласно общей теории относительности пространство наделено физическими качествами; в этом смысле, следовательно, существует эфир. Согласно общей теории относительности пространство без эфира немыслимо; поскольку в таком пространстве не было бы не только распространения света, но и возможности существования эталонов пространства и времени (измерительных стержней и часов), а следовательно, и каких-либо пространственно-временных интервалов в физическом смысле. Но этот эфир нельзя рассматривать как наделенный качественными характеристиками весомой среды, как состоящий из частей, которые можно отслеживать во времени. К нему неприменима идея движения. ^{[36] [37]}

Гейзенберг, 1924 г.

Курт Бенневиц и Фрэнсис Саймон (1923) ^[38], которые работали в лаборатории Вальтера Нернста в Берлине, изучали процесс плавления химических веществ при низких температурах. Их расчеты точек плавления водорода , аргона и ртути привели их к выводу, что результаты свидетельствуют о нулевой энергии. Более того, они правильно предположили, как позже было подтверждено Саймоном (1934), ^{[39] [40],} что эта величина ответственна за трудность затвердевания гелия даже при абсолютном нуле. В 1924 году Роберт Малликен ^[41] предоставил прямые доказательства нулевой энергии молекулярных колебаний, сравнив зонный спектр ¹⁰ BO и ¹¹ BO: изотопическая разница в частотах переходов между основными колебательными состояниями двух различных электронных уровней исчезла бы. если бы не было нулевой энергии, в отличие от наблюдаемых спектров. Затем, всего через год, в 1925 году ^[42], с развитием матричной механики в знаменитой статье Вернера Гейзенберга « Квантовая теоретическая переинтерпретация кинематических и механических соотношений » энергия нулевой точки была получена из квантовой механики. ^[43]

В 1913 году Нильс Бор предложил то, что сейчас называется моделью атома Бора ^{[44] [45] [46],} но, несмотря на это, оставалось загадкой, почему электроны не попадают в свои ядра. Согласно классическим представлениям, тот факт, что ускоряющийся заряд теряет энергию из-за излучения, означает, что электрон должен закручиваться в ядро ​​по спирали и что атомы не должны быть стабильными. Эта проблема классической механики была хорошо резюмирована Джеймсом Хопвудом Джинсом в 1915 году: «Было бы очень трудно предположить, что (силовой) закон1/r ²до нулевых значений r . Ведь силы между двумя зарядами на нулевом расстоянии были бы бесконечными; мы должны иметь заряды противоположного знака постоянно бросаясь вместе , и, когда однажды вместе, никакая сила не будет иметь тенденцию сокращаться в ничто или уменьшаться до бесконечности в размере.» ^[47] Разрешение этой головоломки пришел в 1926 году с Шрёдингера знаменитое уравнение . ^{[48 ]} Это уравнение объясняет новый, неклассический факт, что электрон, ограниченный близостью к ядру, обязательно будет иметь большую кинетическую энергию, так что минимальная полная энергия (кинетическая плюс потенциал) фактически происходит при некотором положительном разделении, а не при нулевом разделении. другими словами, энергия нулевой точки важна для стабильности атома. ^[49]

Квантовая теория поля и не только

В 1926 году Паскуаль Джордан ^[50] опубликовал первую попытку квантования электромагнитного поля. В совместной работе с Максом Борном и Вернером Гейзенбергом он рассмотрел поле внутри полости как суперпозицию квантовых гармонических осцилляторов. В своих расчетах он обнаружил, что в дополнение к «тепловой энергии» осцилляторов должен существовать также бесконечный нулевой член энергии. Он смог получить ту же формулу флуктуаций, которую Эйнштейн получил в 1909 году ^[51]. Однако Джордан не думал, что его бесконечный член энергии нулевой точки был «реальным», написав Эйнштейну, что «это просто количество энергии. расчет, не имеющий прямого физического смысла ». ^[52] Джордан нашел способ избавиться от бесконечного члена, опубликовав совместную работу с Паули в 1928 году ^[53], выполнив то, что было названо «первым бесконечным вычитанием или перенормировкой в ​​квантовой теории поля» ^[54]

Основываясь на работах Гейзенберга и других, теория излучения и поглощения Поля Дирака (1927 г.) ^[55] была первым приложением квантовой теории излучения. Работа Дирака считалась чрезвычайно важной для развивающейся области квантовой механики; он имел прямое отношение к процессу, в котором на самом деле создаются «частицы»: спонтанному излучению . ^[56] Дирак описал квантование электромагнитного поля как ансамбль гармонических осцилляторов с введением концепции операторов рождения и уничтожения частиц. Теория показала, что спонтанное излучение зависит от нулевых флуктуаций энергии электромагнитного поля. ^{[57] [58]} В процессе аннигилирования (поглощения) фотона, фотон можно рассматривать как переход в вакуумное состояние. Точно так же, когда фотон создается (испускается), иногда полезно представить, что фотон совершил переход из вакуумного состояния. По словам Дирака: ^[55]

Световой квант имеет особенность, заключающуюся в том, что он, по-видимому, перестает существовать, когда находится в одном из своих стационарных состояний, а именно в нулевом состоянии, в котором его импульс и, следовательно, также его энергия равны нулю. Когда квант света поглощается, можно считать, что он перескакивает в это нулевое состояние, а когда один из них испускается, можно считать, что он перескакивает из нулевого состояния в то, в котором он физически присутствует, так что кажется, что он был созданный. Поскольку нет предела количеству световых квантов, которые могут быть созданы таким образом, мы должны предположить, что существует бесконечное количество световых квантов в нулевом состоянии ...

Когда современных физиков просят дать физическое объяснение спонтанного излучения, они обычно обращаются к энергии нулевой точки электромагнитного поля. Эту точку зрения популяризировал Виктор Вайскопф, который в 1935 году писал: ^[59]

Из квантовой теории следует существование так называемых нулевых колебаний; например, каждый осциллятор в самом низком состоянии не полностью находится в состоянии покоя, но всегда движется вокруг своего положения равновесия. Следовательно, электромагнитные колебания также никогда не могут полностью прекратиться. Таким образом, квантовая природа электромагнитного поля имеет своим следствием нулевые колебания напряженности поля в состоянии с наименьшей энергией, в котором нет квантов света в пространстве ... Нулевые колебания действуют на электрон так же, как и обычные электрические колебания делают. Они могут изменить собственное состояние электрона, но только при переходе в состояние с наименьшей энергией, поскольку пустое пространство может только забирать энергию, но не отдавать ее. Таким образом, спонтанное излучение возникает как следствие существования этих уникальных значений напряженности поля, соответствующих нулевым колебаниям. Таким образом, спонтанное излучение - это индуцированное излучение квантов света, вызванное нулевыми колебаниями пустого пространства.

Эту точку зрения позже поддержал Теодор Велтон (1948) ^[60], который утверждал, что спонтанное излучение «можно рассматривать как вынужденное излучение, происходящее под действием флуктуирующего поля». Эта новая теория, созданная Дираком для квантовой электродинамики (КЭД), предсказывала флуктуирующее нулевое или «вакуумное» поле, существующее даже при отсутствии источников.

В течение 1940 - х годов усовершенствования в микроволновой технологии сделали возможным принимать более точные измерения сдвига уровней атома водорода , теперь известный как Lamb сдвига , ^[61] и измерение магнитного момента электрона. ^[62] Расхождения между этими экспериментами и теорией Дирака привели к идее включения перенормировки в КЭД для работы с бесконечностями с нулевой точкой. Перенормировка была первоначально разработана Гансом Крамерсом ^[63], а также Виктором Вайскопфом (1936), ^[64] и впервые успешно применена для вычисления конечного значения лэмбовского сдвига Гансом Бете (1947). ^[65] Что касается спонтанного излучения, эти эффекты можно частично понять с помощью взаимодействия с полем нулевой точки. ^{[66] [12]} Но в свете возможности перенормировки убрать из вычислений некоторые бесконечности с нулевой точкой, не всем физикам было удобно приписывать энергии нулевой точки какой-либо физический смысл, рассматривая ее вместо этого как математический артефакт, который однажды может стать полностью устранено. В нобелевской лекции 1945 года Вольфганг Паули ^[67] ясно выразил свое несогласие с идеей энергии нулевой точки, заявив: «Ясно, что эта энергия нулевой точки не имеет физической реальности».

В 1948 году Хендрик Казимир ^{[68] [69]} показал, что одним из следствий поля нулевой точки является сила притяжения между двумя незаряженными, идеально проводящими параллельными пластинами, так называемый эффект Казимира . В то время Казимир изучал свойства «коллоидных растворов». Это вязкие материалы, такие как краска и майонез, которые содержат частицы микронного размера в жидкой матрице. Свойства таких растворов определяются силами Ван-дер-Ваальса - короткодействующими силами притяжения, которые существуют между нейтральными атомами и молекулами. Один из коллег Казимира, Тео Овербек, понял, что теория, которая использовалась в то время для объяснения сил Ван-дер-Ваальса, разработанная Фрицем Лондоном в 1930 г. ^{[70] [71]} , не объясняет должным образом экспериментальные измерения коллоидов. . Поэтому Овербек попросил Казимира исследовать проблему. Работая с Дирком Полдером , Казимир обнаружил, что взаимодействие между двумя нейтральными молекулами можно правильно описать, только если принять во внимание тот факт, что свет распространяется с конечной скоростью. ^[72] Вскоре после разговора с Бором о нулевой энергии Казимир заметил, что этот результат можно интерпретировать в терминах флуктуаций вакуума. Затем он спросил себя, что бы произошло, если бы в вакууме было два зеркала, а не две молекулы, обращенные друг к другу. Именно эта работа привела к его знаменитому предсказанию силы притяжения между отражающими пластинами. Работа Казимира и Полдера открыла путь к единой теории сил Ван-дер-Ваальса и Казимира и к плавному континууму между этими двумя явлениями. Это было сделано Лифшицем (1956) ^{[73] [74] [75]} в случае плоскопараллельных диэлектрических пластин . Общее название сил Ван-дер-Ваальса и Казимира - это силы дисперсии, потому что обе они вызваны дисперсией оператора дипольного момента. ^[76] Роль релятивистских сил становится доминирующей при величинах порядка сотни нанометров.

В 1951 году Герберт Каллен и Теодор Велтон ^[77] доказали квантовую теорему флуктуационно-диссипации (FDT), которая была первоначально сформулирована в классической форме Найквистом (1928) ^[78] как объяснение наблюдаемого шума Джонсона в электрических цепях. ^[79] Теорема флуктуации-диссипации показала, что когда что-то рассеивает энергию эффективно необратимым образом, подключенный термостат также должен колебаться. Колебания и рассеяние идут рука об руку; невозможно иметь одно без другого. Значение FDT состоит в том, что вакуум можно рассматривать как тепловую баню, связанную с диссипативной силой, и, поскольку такая энергия может частично извлекаться из вакуума для потенциально полезной работы. ^[80] Экспериментально доказано, что FDT верна при определенных квантовых, неклассических условиях. ^{[81] [82] [83]}

В 1963 году была разработана модель Джейнса – Каммингса ^[84], описывающая систему двухуровневого атома, взаимодействующего с квантованной модой поля (т.е. вакуумом) внутри оптического резонатора. Он давал неинтуитивные предсказания, например, что спонтанное излучение атома могло быть вызвано полем эффективно постоянной частоты ( частота Раби ). В 1970-х годах проводились эксперименты для проверки аспектов квантовой оптики и показали, что скорость спонтанного излучения атома можно контролировать с помощью отражающих поверхностей. ^{[85] [[[Wikipedia:Citing_sources|page needed]]="this_citation_requires_a_reference_to_the_specific_page_or_range_of_pages_in_which_the_material_appears. (may_2020)">]}_86-0" class="reference">[86] Сначала к этим результатам относились с подозрением в некоторых кругах: утверждалось, что никакое изменение скорости спонтанного излучения невозможно, в конце концов, как на излучение фотона может влиять окружение атома, когда атом может «видеть» свое окружение, только испуская фотон? Эти эксперименты положили начало квантовой электродинамике резонатора (CQED), изучению влияния зеркал и резонаторов на радиационные поправки. Спонтанное излучение может быть подавлено (или «подавлено») ^{[87] [88]} или усилено. Усиление было впервые предсказано Перселлом в 1946 году ^[89] ( эффект Перселла ) и подтверждено экспериментально. ^[90] Это явление можно частично понять с точки зрения действия вакуумного поля на атом. ^[91]

Энергия нулевой точки фундаментально связана с принципом неопределенности Гейзенберга . ^[92] Грубо говоря, принцип неопределенности гласит, что дополнительные переменные (такие как положение и импульс частицы или значение поля и производная в точке в пространстве) не могут одновременно точно задаваться каким-либо данным квантовым состоянием. В частности, не может существовать состояния, в котором система просто неподвижно сидит на дне своей потенциальной ямы: тогда ее положение и импульс были бы полностью определены с произвольно большой точностью. Следовательно, вместо этого состояние с самой низкой энергией (основное состояние) системы должно иметь распределение по положению и импульсу, которое удовлетворяет принципу неопределенности - что означает, что его энергия должна быть больше минимума потенциальной ямы.

Вблизи дна потенциальной ямы , то гамильтониан общей системы (квантово-механического оператора дает свою энергию) может быть аппроксимирована в виде гармонического осциллятора квантовой ,

${\ displaystyle {\ hat {H}} = V_ {0} + {\ tfrac {1} {2}} k \ left ({\ hat {x}} - x_ {0} \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {2m}} {\ hat {p}} ^ {2} \ ,,}$

где V ₀ - минимум классической потенциальной ямы.

Принцип неопределенности говорит нам, что

${\ displaystyle {\ sqrt {\ left \ langle \ left ({\ hat {x}} - x_ {0} \ right) ^ {2} \ right \ rangle}} {\ sqrt {\ left \ langle {\ hat {p}} ^ {2} \ right \ rangle}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ ,,}$

делая средние значения на кинетическую и потенциальные условия выше , удовлетворяют

${\ displaystyle \ left \ langle {\ tfrac {1} {2}} k \ left ({\ hat {x}} - x_ {0} \ right) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {\ frac {1} {2m}} {\ hat {p}} ^ {2} \ right \ rangle \ geq \ left ({\ frac {\ hbar} {4}} \ right) ^ {2} {\ frac { к} {м}} \ ,.}$

Таким образом, ожидаемое значение энергии должно быть не менее

${\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {H}} \ right \ rangle \ geq V_ {0} + {\ frac {\ hbar} {2}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}} = V_ {0} + {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}}$

где ω = √ k / m - угловая частота, с которой система колеблется.

Более тщательное рассмотрение, показывающее, что энергия основного состояния фактически насыщает эту границу и равна точно E ₀ = V ₀ + ħω/2, требует решения для основного состояния системы.

Энергия нулевой точки E = ħω/2заставляет основное состояние гармонического осциллятора увеличивать свою фазу (цвет). Это дает измеримые эффекты при наложении нескольких собственных состояний.

Идея квантового гармонического осциллятора и связанной с ним энергии может применяться как к атому, так и к субатомной частице. В обычной атомной физике энергия нулевой точки - это энергия, связанная с основным состоянием системы. В профессиональной литературе по физике обычно измеряется частота, обозначенная выше ν , с использованием угловой частоты , обозначенной ω и определяемой ω = 2 πν . Это приводит к соглашению писать постоянную Планка h с чертой через ее вершину ( ħ ), чтобы обозначить величинучас/2π. В этих терминах наиболее известным примером нулевой энергии является приведенный выше E = ħω/2связанный с основным состоянием квантового гармонического осциллятора . В квантовых - механических терминах, энергия нулевой точки является средним значением из гамильтониана системы в основном состоянии.

Если существует более одного основного состояния, они называются вырожденными . Многие системы имеют вырожденные основные состояния. Вырождение происходит всякий раз, когда существует унитарный оператор, который нетривиально действует на основное состояние и коммутирует с гамильтонианом системы.

Согласно третьему закону термодинамики система при абсолютной нулевой температуре существует в основном состоянии; таким образом, его энтропия определяется вырожденностью основного состояния. Многие системы, такие как идеальная кристаллическая решетка , имеют уникальное основное состояние и, следовательно, имеют нулевую энтропию при абсолютном нуле. Также возможно, что наивысшее возбужденное состояние имеет абсолютную нулевую температуру для систем с отрицательной температурой .

Волновая функция основного состояния частицы в одномерной яме является полупериод синусоидальной волной , которая стремится к нулю на два краях скважины. Энергия частицы определяется выражением:

${\ displaystyle {\ frac {ч ^ {2} п ^ {2}} {8 мл ^ {2}}}}$

где h - постоянная Планка , m - масса частицы, n - энергетическое состояние ( n = 1 соответствует энергии основного состояния), а L - ширина ямы.

В квантовой теории поля (КТП) ткань «пустого» пространства визуализируется как состоящая из полей , причем поле в каждой точке пространства и времени является квантовым гармоническим осциллятором , а соседние осцилляторы взаимодействуют друг с другом. Согласно КТП Вселенная состоит из полей материи, квантами которых являются фермионы (например, электроны и кварки ), силовых полей, кванты которых являются бозонами (т.е. фотонов и глюонов ), и поля Хиггса, квантом которого является бозон Хиггса . Материя и силовые поля имеют нулевую энергию. ^[2] Связанный термин - поле нулевой точки (ZPF), которое является самым низким энергетическим состоянием определенного поля. ^[93] Вакуум можно рассматривать не как пустое пространство, а как комбинацию всех полей нулевой точки.

В QFT энергия нулевой точки состояния вакуума называется энергией вакуума, а среднее математическое ожидание гамильтониана называется значением ожидания вакуума (также называемым конденсатом или просто VEV). Вакуума КЭД является частью вакуумного состояния , которое специфически имеет дело с квантовой электродинамики (например , электромагнитные взаимодействия между фотонами, электронами и вакуума) и КХД вакуума имеет дело с квантовой хромо (например , цвет заряда взаимодействия кварков, глюонов и вакуума). Недавние эксперименты отстаивают идею о том, что сами частицы можно рассматривать как возбужденные состояния лежащего в основе квантового вакуума , и что все свойства материи являются просто вакуумными флуктуациями, возникающими в результате взаимодействия с полем нулевой точки. ^[10]

Каждая точка в пространстве дает вклад E = ħω/2, что приводит к вычислению бесконечной энергии нулевой точки в любом конечном объеме; это одна из причин, по которой требуется перенормировка, чтобы разобраться в квантовых теориях поля. В космологии энергия вакуума является одним из возможных объяснений космологической постоянной ^[19] и источником темной энергии . ^{[20] [21]}

Ученые не пришли к единому мнению о том, сколько энергии содержится в вакууме. Квантовая механика требует, чтобы энергия была большой, как утверждал Поль Дирак , как море энергии . Другие ученые, специализирующиеся на общей теории относительности, требуют, чтобы энергия была достаточно малой, чтобы кривизна пространства соответствовала наблюдаемой астрономии . Гейзенберга Принцип неопределенности позволяет энергии быть как необходима для содействия квантовых действий на короткий момент времени, даже если средняя энергия достаточно мало , чтобы удовлетворить относительности и плоского пространство. Чтобы справиться с разногласиями, энергия вакуума описывается как виртуальный энергетический потенциал положительной и отрицательной энергии. ^[94]

В квантовой теории возмущений иногда говорят, что вклад однопетлевых и многопетлевых диаграмм Фейнмана в пропагаторы элементарных частиц является вкладом флуктуаций вакуума или нулевой энергии в массы частиц .

Квантово-электродинамический вакуум

Самым старым и наиболее известным квантованным силовым полем является электромагнитное поле . Уравнения Максвелла были заменены квантовой электродинамикой (КЭД). Рассматривая энергию нулевой точки, которая возникает из QED, можно получить характерное понимание энергии нулевой точки, которая возникает не только в результате электромагнитных взаимодействий, но и во всех квантовых теориях поля .

Новое определение нуля энергии

В квантовой теории электромагнитного поля классические волновые амплитуды α и α * заменены операторами a и a ^†, которые удовлетворяют:

${\ Displaystyle \ влево [а, а ^ {\ кинжал} \ вправо] = 1}$

Классическая величина | α | ² в классическом выражении для энергии полевой моды заменяется в квантовой теории оператором числа фотонов a ^† a . Дело в том, что:

${\ displaystyle \ left [a, a ^ {\ dagger} a \ right] \ neq 1}$

означает, что квантовая теория не допускает состояний поля излучения, для которых можно точно определить число фотонов и амплитуду поля, т. е. у нас не может быть одновременных собственных состояний для a ^† a и a . Согласование волновых и частицных атрибутов поля достигается путем ассоциации амплитуды вероятности с классической модовой структурой. Расчет мод поля является полностью классической задачей, в то время как квантовые свойства поля передаются модовыми "амплитудами" a ^† и a, связанными с этими классическими модами.

Нулевая энергия поля возникает формально из-за некоммутативности a и a ^† . Это верно для любого гармонического осциллятора: энергия нулевой точкиħω/2 появляется, когда мы записываем гамильтониан:

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {cl} & = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + {\ tfrac {1} {2}} m \ omega ^ {2} {q} ^ {2} \\ & = {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega \ left (aa ^ {\ dagger} + a ^ {\ dagger} a \ right) \\ & = \ hbar \ omega \ left (a ^ {\ dagger} a + {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ end {align}}}$

Часто утверждают, что вся Вселенная полностью погружена в электромагнитное поле нулевой точки, и поэтому она может добавить лишь некоторую постоянную величину к ожидаемым значениям. Таким образом, физические измерения покажут только отклонения от состояния вакуума. Таким образом, энергия нулевой точки может быть исключена из гамильтониана путем переопределения нуля энергии или утверждения, что это постоянная величина и, следовательно, не влияет на уравнения движения Гейзенберга. Таким образом, мы можем указать, что основное состояние имеет нулевую энергию, а гамильтониан поля, например, можно заменить следующим образом: ^[11]

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {F} - \ left \ langle 0 | H_ {F} | 0 \ right \ rangle & = {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega \ left (aa ^ {\ dagger} + a ^ {\ dagger} a \ right) - {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega \\ & = \ hbar \ omega \ left (a ^ {\ dagger} a + { \ tfrac {1} {2}} \ right) - {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega \\ & = \ hbar \ omega a ^ {\ dagger} a \ end {align}}}$

не влияя на какие-либо физические предсказания теории. Новый гамильтониан называется нормально упорядоченным (или упорядоченным по Вику) и обозначается символом с двумя точками. Нормально упорядоченный гамильтониан обозначается : H _F , т. Е.:

${\ displaystyle: H_ {F}: \ Equiv \ hbar \ omega \ left (aa ^ {\ dagger} + a ^ {\ dagger} a \ right): \ Equiv \ hbar \ omega a ^ {\ dagger} a}$

Другими словами, в пределах символа нормального порядка мы можем коммутировать a и a ^† . Поскольку энергия нулевой точки тесно связана с некоммутативностью a и a ^† , процедура нормального упорядочения исключает любой вклад поля нулевой точки. Это особенно разумно в случае гамильтониана поля, поскольку член нулевой точки просто добавляет постоянную энергию, которую можно исключить простым переопределением нуля энергии. Более того, эта постоянная энергия в гамильтониане, очевидно, коммутирует с a и a ^† и поэтому не может иметь никакого влияния на квантовую динамику, описываемую уравнениями движения Гейзенберга.

Однако не все так просто. Нулевую энергию нельзя исключить, отбросив ее энергию из гамильтониана: когда мы делаем это и решаем уравнение Гейзенберга для оператора поля, мы должны включить вакуумное поле, которое является однородной частью решения для оператора поля. Фактически мы можем показать, что вакуумное поле существенно для сохранения коммутаторов и формальной согласованности КЭД . Когда мы вычисляем энергию поля, мы получаем не только вклад от частиц и сил, которые могут присутствовать, но также вклад самого вакуумного поля, то есть энергии поля нулевой точки. Другими словами, энергия нулевой точки снова появляется, даже если мы, возможно, удалили ее из гамильтониана. ^[95]

Электромагнитное поле в свободном пространстве

Из уравнений Максвелла электромагнитная энергия «свободного» поля, т.е. поля без источников, описывается следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {F} & = {\ frac {1} {8 \ pi}} \ int d ^ {3} r \ left (\ mathbf {E} ^ {2} + \ mathbf {B} ^ {2} \ right) \\ & = {\ frac {k ^ {2}} {2 \ pi}} | \ alpha (t) | ^ {2} \ end {align}}}$

Введем «модовую функцию» A ₀ ( r ), которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

${\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ right) \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}) = 0}$

где k = ω/c и предположим, что он нормализован таким образом, что:

${\ displaystyle \ int d ^ {3} r \ left | \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}) \ right | ^ {2} = 1}$

Мы хотим «квантовать» электромагнитную энергию свободного пространства для многомодового поля. Напряженность поля в свободном пространстве не должна зависеть от положения так, чтобы | A ₀ ( r ) | ^{2 не} должно зависеть от r для каждой моды поля. Функция режима, удовлетворяющая этим условиям:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}) = е _ {\ mathbf {k}} e ^ {я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

где k · e _k = 0 , чтобы условие трансверсальности ∇ · A ( r , t ) выполнялось для кулоновской калибровки ^{[ сомнительно - обсудить ],} в которой мы работаем.

Чтобы добиться желаемой нормализации, мы делаем вид, что пространство разделено на кубы объемом V = L ^3, и накладываем на поле периодическое граничное условие:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} (х + L, y + L, z + L, t) = \ mathbf {A} (x, y, z, t)}$

или эквивалентно

${\ displaystyle \ left (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z} \ right) = {\ frac {2 \ pi} {L}} \ left (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ right)}$

где n может принимать любое целочисленное значение. Это позволяет нам рассматривать поле в любом из воображаемых кубов и определять функцию режима:

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ sqrt {V}}} e _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

которое удовлетворяет уравнению Гельмгольца, трансверсальности и "ящичной нормализации":

${\ displaystyle \ int _ {V} d ^ {3} r \ left | \ mathbf {A} _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \ right | ^ {2} = 1}$

где e _k выбран как единичный вектор, который определяет поляризацию моды поля. Условие k · e _k = 0 означает, что существует два независимых варианта выбора e _k , которые мы называем e _{k 1} и e _{k 2,} где e _{k 1} · e _{k 2} = 0 и e²
_{к 1}= e²
_{к 2}= 1 . Таким образом, мы определяем функции режима:

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {k} \ lambda} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ sqrt {V}}} e _ {\ mathbf {k} \ lambda} e ^ {я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ ,, \ quad \ lambda = {\ begin {cases} 1 \\ 2 \ end {cases}}}$

в терминах которого векторный потенциал становится ^{[ требуется уточнение ]} :

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {k} \ lambda} (\ mathbf {r}, t) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \ hbar c ^ {2}} {\ omega _ {k} V}}} \ left [a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (0) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} + a _ {\ mathbf {k} \ lambda } ^ {\ dagger} (0) e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ right] e _ {\ mathbf {k} \ lambda}}$

или же:

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {k} \ lambda} (\ mathbf {r}, t) = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \ hbar c ^ {2}} {\ omega _ {k} V}}} \ left [a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (0) e ^ {- i (\ omega _ {k} t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}) } + a _ {\ mathbf {k} \ lambda} ^ {\ dagger} (0) e ^ {i (\ omega _ {k} t- \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r})} \ right] }$

где ω _k = kc и a _{k λ} , a^†
_{k λ}- операторы аннигиляции и рождения фотонов для моды с волновым вектором k и поляризацией λ . Это дает векторный потенциал для плоской волновой моды поля. Условие для ( k _x , k _y , k _z ) показывает, что таких режимов бесконечно много. Линейность уравнений Максвелла позволяет записать:

${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r} t) = \ sum _ {\ mathbf {k} \ lambda} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \ hbar c ^ {2}} {\ omega _ {k} V}}} \ left [a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (0) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} + a _ {\ mathbf {k} \ лямбда} ^ {\ dagger} (0) e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ right] e _ {\ mathbf {k} \ lambda}}$

для полного векторного потенциала в свободном пространстве. Используя тот факт, что:

${\ displaystyle \ int _ {V} d ^ {3} r \ mathbf {A} _ {\ mathbf {k} \ lambda} (\ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {A} _ {\ mathbf {k } '\ lambda'} ^ {\ ast} (\ mathbf {r}) = \ delta _ {\ mathbf {k}, \ mathbf {k} '} ^ {3} \ delta _ {\ lambda, \ lambda' }}$

мы находим гамильтониан поля:

${\ displaystyle H_ {F} = \ sum _ {\ mathbf {k} \ lambda} \ left (\ hbar \ omega _ {k} \ left (a _ {\ mathbf {k} \ lambda} ^ {\ dagger} a_ {\ mathbf {k} \ lambda} \ right) + {\ tfrac {1} {2}} \ right)}$

Это гамильтониан для бесконечного числа несвязанных гармонических осцилляторов. Таким образом, различные режимы поля независимы и удовлетворяют коммутационным соотношениям:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left [a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (t), a _ {\ mathbf {k} '\ lambda'} ^ {\ dagger} (t) \ right] & = \ delta _ {\ mathbf {k}, \ mathbf {k} '} ^ {3} \ delta _ {\ lambda, \ lambda'} \\ [10px] \ left [a _ {\ mathbf {k} \ lambda } (t), a _ {\ mathbf {k} '\ lambda'} (t) \ right] & = \ left [a _ {\ mathbf {k} \ lambda} ^ {\ dagger} (t), a _ {\ mathbf {k} '\ lambda'} ^ {\ dagger} (t) \ right] = 0 \ end {выровнено}}}$

Ясно, что наименьшее собственное значение для H _F :

${\ displaystyle \ sum _ {\ mathbf {k} \ lambda} {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega _ {k}}$

Это состояние описывает нулевую энергию вакуума. Похоже, что эта сумма расходится - на самом деле сильно расходится, если ввести коэффициент плотности

${\ displaystyle {\ frac {8 \ pi v ^ {2} dv} {c ^ {3}}} V}$

показывает. Суммирование приближается к интегралу:

${\ displaystyle {\ frac {4 \ pi hV} {c ^ {3}}} \ int v ^ {3} \, dv}$

для высоких значений v . Он расходится пропорционально v ⁴ при больших v .

Необходимо рассмотреть два отдельных вопроса. Во-первых, действительно ли расхождение такое, что энергия нулевой точки действительно бесконечна? Если мы рассмотрим, что объем V содержится в идеально проводящих стенках, очень высокие частоты могут быть удержаны только за счет все более и более совершенной проводимости. Никакой реальный метод сдерживания высоких частот невозможен. Такие режимы не будут стационарными в нашем ящике и, следовательно, не будут учитываться в стационарном энергосодержании. Таким образом, с этой физической точки зрения указанная выше сумма должна распространяться только на те частоты, которые поддаются счету; таким образом, отключение энергии в высшей степени разумно. Однако в масштаб «вселенной» должны быть включены вопросы общей теории относительности. Предположим, что даже коробки можно воспроизвести, сложить вместе и красиво закрыть, искривив пространство-время. Тогда могут быть возможны точные условия для бегущих волн. Однако кванты очень высоких частот по-прежнему не удерживаются. Согласно «геонам» Джона Уиллера ^[96], они будут вытекать из системы. Так что снова отключение допустимо, почти необходимо. Здесь возникает вопрос согласованности, поскольку кванты очень высоких энергий будут действовать как источник массы и начнут искривлять геометрию.

Это приводит ко второму вопросу. Дивергентная или нет, конечная или бесконечная, имеет ли энергия нулевой точки какое-либо физическое значение? Игнорирование всей энергии нулевой точки часто рекомендуется для всех практических расчетов. Причина этого в том, что энергии обычно не определяются произвольной точкой данных, а скорее изменяются в точках данных, поэтому следует разрешить добавление или вычитание константы (даже если она бесконечна). Однако это еще не все, на самом деле энергия определяется не так произвольно: в общей теории относительности источником искривления пространства-времени является содержание энергии, и там абсолютное количество энергии имеет реальный физический смысл. Не существует произвольной аддитивной постоянной с плотностью энергии поля. Плотность энергии искривляет пространство, а увеличение плотности энергии вызывает увеличение кривизны. Кроме того, плотность энергии в нулевой точке имеет другие физические последствия, например эффект Казимира, вклад в сдвиг Лэмба или аномальный магнитный момент электрона, ясно, что это не просто математическая константа или артефакт, который можно исключить. ^[97]

Необходимость вакуумного поля в КЭД

Вакуумное состояние «свободного» электромагнитного поля (без источников) определяется как основное состояние, в котором n _{k λ} = 0 для всех режимов ( k , λ ) . Вакуумное состояние, как и все стационарные состояния поля, является собственным состоянием гамильтониана, но не операторов электрического и магнитного поля. Следовательно, в вакуумном состоянии электрические и магнитные поля не имеют определенных значений. Мы можем представить их колеблющимися около нулевого среднего значения.

В процессе аннигилирования (поглощения) фотона мы можем думать о фотоне как о переходе в вакуумное состояние. Точно так же, когда фотон создается (испускается), иногда полезно представить, что фотон совершил переход из вакуумного состояния. ^[55] Например, атом можно рассматривать как «одетый» за счет испускания и реабсорбции «виртуальных фотонов» из вакуума. Энергия вакуумного состояния, описываемая как ∑ _{k λ}ħω _k/2бесконечно. Мы можем произвести замену:

${\ displaystyle \ sum _ {\ mathbf {k} \ lambda} \ longrightarrow \ sum _ {\ lambda} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ right) ^ {3} \ int d ^ {3} k = {\ frac {V} {8 \ pi ^ {3}}} \ sum _ {\ lambda} \ int d ^ {3} k}$

плотность энергии нулевой точки равна:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {V}} \ sum _ {\ mathbf {k} \ lambda} {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega _ {k} & = {\ frac {2} {8 \ pi ^ {3}}} \ int d ^ {3} k {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega _ {k} \\ & = {\ frac {4 \ pi} {4 \ pi ^ {3}}} \ int dk \, k ^ {2} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega _ {k} \ right) \ \ & = {\ frac {\ hbar} {2 \ pi ^ {2} c ^ {3}}} \ int d \ omega \, \ omega ^ {3} \ end {выровнено}}}$

или другими словами спектральная плотность энергии вакуумного поля:

${\ displaystyle \ rho _ {0} (\ omega) = {\ frac {\ hbar \ omega ^ {3}} {8 \ pi ^ {2} c ^ {3}}}}$

Таким образом, плотность энергии нулевой точки в диапазоне частот от ω ₁ до ω ₂ равна:

${\ displaystyle \ int _ {\ omega _ {1}} ^ {\ omega _ {2}} d \ omega \ rho _ {0} (\ omega) = {\ frac {\ hbar} {8 \ pi ^ { 2} c ^ {3}}} \ left (\ omega _ {2} ^ {4} - \ omega _ {1} ^ {4} \ right)}$

Он может быть большим даже в относительно узких «низкочастотных» областях спектра. Например, в оптической области от 400 до 700 нм вышеприведенное уравнение дает около 220 эрг / см ³ .

В предыдущем разделе мы показали, что нулевую энергию можно исключить из гамильтониана с помощью предписания нормального упорядочения. Однако это исключение не означает, что вакуумное поле стало неважным или без физических последствий. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим линейный дипольный осциллятор в вакууме. Гамильтониан осциллятора плюс поле, с которым он взаимодействует:

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} \ left (\ mathbf {p} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} \ right) ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} м \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} ^ {2} + H_ {F}}$

Он имеет ту же форму, что и соответствующий классический гамильтониан, и уравнения движения Гейзенберга для осциллятора и поля формально такие же, как и их классические аналоги. Например, уравнения Гейзенберга для координаты x и канонического импульса p = m ẋ + e A/c генератора:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ dot {x}} & = (i \ hbar) ^ {- 1} [\ mathbf {x} .H] = {\ frac {1} {m}} \ left (\ mathbf {p} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} \ right) \\\ mathbf {\ dot {p}} & = (i \ hbar) ^ {- 1} [\ mathbf {p} .H] {\ begin {align} & = {\ tfrac {1} {2}} \ nabla \ left (\ mathbf {p} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} \ right) ^ {2} -m \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {\ dot {x}} \\ & = - {\ frac {1} {m}} \ left [\ left (\ mathbf {p} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} \ right) \ cdot \ nabla \ right] \ left [- {\ frac {e} {c}} \ mathbf { A} \ right] - {\ frac {1} {m}} \ left (\ mathbf {p} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} \ right) \ times \ nabla \ times \ left [- {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} \ right] -m \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {\ dot {x}} \\ & = {\ frac { e} {c}} (\ mathbf {\ dot {x}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} + {\ frac {e} {c}} \ mathbf {\ dot {x}} \ times \ mathbf {B} -m \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {\ dot {x}} \ конец {выровнено}} \ end {выровнено}}}$

или же:

${\ displaystyle {\ begin {align} m \ mathbf {\ ddot {x}} & = \ mathbf {\ dot {p}} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {\ dot {A}} \\ & = - {\ frac {e} {c}} \ left [\ mathbf {\ dot {A}} - \ left (\ mathbf {\ dot {x}} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf { A} \ right] + {\ frac {e} {c}} \ mathbf {\ dot {x}} \ times \ mathbf {B} -m \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} \ \ & = e \ mathbf {E} + {\ frac {e} {c}} \ mathbf {\ dot {x}} \ times \ mathbf {B} -m \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {х} \ конец {выровнено}}}$

поскольку скорость изменения векторного потенциала в системе движущегося заряда дается конвективной производной

${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {A}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} + (\ mathbf {\ dot {x}} \ cdot \ nabla) \ mathbf { A} ^ {3} \ ,.}$

Для нерелятивистского движения магнитной силой можно пренебречь и заменить выражение для m ẍ на:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ ddot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} & \ приблизительно {\ frac {e} {m}} \ mathbf { E} \\ & \ приблизительно \ sum _ {\ mathbf {k} \ lambda} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \ hbar \ omega _ {k}} {V}}} \ left [a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (t) + a _ {\ mathbf {k} \ lambda} ^ {\ dagger} (t) \ right] e _ {\ mathbf {k} \ lambda} \ end {align}}}$

Выше мы использовали приближение электрического диполя, в котором не учитывалась пространственная зависимость поля. Уравнение Гейзенберга для a _{k λ} находится аналогичным образом из гамильтониана:

${\ displaystyle {\ dot {a}} _ {\ mathbf {k} \ lambda} = i \ omega _ {k} a _ {\ mathbf {k} \ lambda} + ie {\ sqrt {\ frac {2 \ pi } {\ hbar \ omega _ {k} V}}} \ mathbf {\ dot {x}} \ cdot e _ {\ mathbf {k} \ lambda}}$

В приближении электрического диполя.

При выводе этих уравнений для x , p и a _{k λ} мы использовали тот факт, что одновременные частицы и операторы поля коммутируют. Это следует из предположения, что операторы частицы и поля коммутируют в некоторый момент времени (скажем, t = 0 ), когда предполагается, что интерпретация поля материи начинается, а также из того факта, что оператор картины Гейзенберга A ( t ) эволюционирует во времени как A ( t ) = U ^† ( t ) A (0) U ( t ) , где U ( t ) - оператор эволюции во времени, удовлетворяющий

${\ Displaystyle я \ HBAR {\ точка {U}} = HU \ ,, \ quad U ^ {\ dagger} (t) = U ^ {- 1} (t) \ ,, \ quad U (0) = 1 \ ,.}$

С другой стороны, мы можем утверждать, что эти операторы должны коммутировать, если мы хотим получить правильные уравнения движения из гамильтониана, точно так же, как соответствующие скобки Пуассона в классической теории должны исчезнуть, чтобы порождать правильные уравнения Гамильтона. Формальное решение уравнения поля:

${\ displaystyle a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (t) = a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (0) e ^ {- i \ omega _ {k} t} + ie {\ sqrt {\ гидроразрыв {2 \ pi} {\ hbar \ omega _ {k} V}}} \ int _ {0} ^ {t} dt '\, e _ {\ mathbf {k} \ lambda} \ cdot \ mathbf {\ dot {x}} (t ') e ^ {i \ omega _ {k} \ left (t'-t \ right)}}$

и поэтому уравнение для ȧ _{k λ} можно записать:

${\ displaystyle \ mathbf {\ ddot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} = {\ frac {e} {m}} \ mathbf {E} _ {0} (т ) + {\ frac {e} {m}} \ mathbf {E} _ {RR} (t)}$

где:

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} (t) = я \ сумма _ {\ mathbf {k} \ lambda} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \ hbar \ omega _ {k}} {V }}} \ left [a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (0) e ^ {- i \ omega _ {k} t} -a _ {\ mathbf {k} \ lambda} ^ {\ dagger} (0 ) e ^ {i \ omega _ {k} t} \ right] e _ {\ mathbf {k} \ lambda}}$

а также:

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {RR} (t) = - {\ frac {4 \ pi e} {V}} \ sum _ {\ mathbf {k} \ lambda} \ int _ {0} ^ { t} dt '\ left [e _ {\ mathbf {k} \ lambda} \ cdot \ mathbf {\ dot {x}} \ left (t' \ right) \ right] \ cos \ omega _ {k} \ left ( т'-т \ право)}$

Можно показать, что в поле реакции излучения , если считать массу m "наблюдаемой" массой, мы можем принять:

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {RR} (t) = {\ frac {2e} {3c ^ {3}}} \ mathbf {\ ddot {x}}}$

Общее поле, действующее на диполь, состоит из двух частей: E ₀ ( t ) и E _RR ( t ) . E ₀ ( t ) - свободное поле или поле нулевой точки, действующее на диполь. Это однородное решение уравнения Максвелла для поля, действующего на диполь, т. Е. Решение в положении диполя волнового уравнения

${\ displaystyle \ left [\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right ] \ mathbf {E} = 0}$

удовлетворяется полем в вакууме (без источника). По этой причине E ₀ ( t ) часто называют «вакуумным полем», хотя это, конечно, оператор картины Гейзенберга, действующий на любое состояние поля, которое оказывается подходящим при t = 0 . E _RR ( t ) - поле источника, поле, создаваемое диполем и действующее на диполь.

Используя указанное выше уравнение для E _RR ( t ), мы получаем уравнение для оператора картины Гейзенберга${\ Displaystyle \ mathbf {х} (т)}$ что формально совпадает с классическим уравнением для линейного дипольного осциллятора:

${\ displaystyle \ mathbf {\ ddot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} - \ tau \ mathbf {\ overset {...} {x}} = {\ frac { е} {m}} \ mathbf {E} _ {0} (t)}$

где τ = 2 e ²/3 мкр ³. в данном случае мы рассмотрели диполь в вакууме без какого-либо «внешнего» поля, действующего на него. роль внешнего поля в приведенном выше уравнении играет электрическое поле вакуума, действующее на диполь.

Классически на диполь в вакууме не действует какое-либо «внешнее» поле: если нет других источников, кроме самого диполя, то единственное поле, действующее на диполь, - это его собственное поле реакции излучения. Однако в квантовой теории всегда существует «внешнее» поле, а именно безисточниковое или вакуумное поле E ₀ ( t ) .

Согласно нашему предыдущему уравнению для a _{k λ} ( t ), свободное поле - единственное поле, существующее при t = 0 как момент времени, когда «включается» взаимодействие между диполем и полем. Следовательно, вектор состояния системы диполь-поле при t = 0 имеет вид

${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle = | {\ text {vac}} \ rangle | \ psi _ {D} \ rangle \ ,,}$

где | vac⟩ - вакуумное состояние поля, а | ψ _D ⟩ является начальным состоянием дипольного генератора. Таким образом, математическое ожидание свободного поля всегда равно нулю:

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {E} _ {0} (t) \ rangle = \ langle \ Psi | \ mathbf {E} _ {0} (t) | \ Psi \ rangle = 0}$

поскольку a _{k λ} (0) | vac⟩ = 0 . однако плотность энергии, связанная со свободным полем, бесконечна:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left \ langle \ mathbf {E} _ {0} ^ {2} (t) \ right \ rangle & = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ sum _ {\ mathbf {k} \ lambda} \ sum _ {\ mathbf {k '} \ lambda'} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \ hbar \ omega _ {k}} {V}}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \ hbar \ omega _ {k '}} {V}}} \ times \ left \ langle a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (0) a _ {\ mathbf {k '} \ lambda'} ^ {\ dagger} (0) \ right \ rangle \\ & = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ sum _ {\ mathbf { k} \ lambda} \ left ({\ frac {2 \ pi \ hbar \ omega _ {k}} {V}} \ right) \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} dw \, \ rho _ {0} (\ omega) \ конец {выровнено}}}$

Важным моментом является то , что энергия нулевой точки поля Н _Р не влияет на уравнение Гейзенберга для в _{K Х} , так как он является с-число или константа (т.е. обычный номер , а не оператор) и коммутирует с в _{K Х} . Поэтому мы можем отбросить энергию нулевого поля из гамильтониана, как это обычно делается. Но поле нулевой точки снова появляется как однородное решение для уравнения поля. Поэтому заряженная частица в вакууме всегда будет видеть нулевое поле бесконечной плотности. Это источник одной из бесконечностей квантовой электродинамики, и от нее нельзя избавиться, просто отбросив слагаемое ∑ _{k λ}ħω _k/2 в поле гамильтониана.

Фактически, свободное поле необходимо для формальной непротиворечивости теории. В частности, это необходимо для сохранения коммутационных соотношений, чего требует унитарий временной эволюции в квантовой теории:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ left [z (t), p_ {z} (t) \ right] & = \ left [U ^ {\ dagger} (t) z (0) U (t), U ^ {\ dagger} (t) p_ {z} (0) U (t) \ right] \\ & = U ^ {\ dagger} (t) \ left [z (0), p_ {z} (0 ) \ right] U (t) \\ & = i \ hbar U ^ {\ dagger} (t) U (t) \\ & = i \ hbar \ end {align}}}$

Мы можем вычислить [ z ( t ), p _z ( t )] из формального решения операторного уравнения движения

${\ displaystyle \ mathbf {\ ddot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} - \ tau \ mathbf {\ overset {...} {x}} = {\ frac { е} {m}} \ mathbf {E} _ {0} (t)}$

Используя тот факт, что

${\ displaystyle \ left [a _ {\ mathbf {k} \ lambda} (0), a _ {\ mathbf {k '} \ lambda'} ^ {\ dagger} (0) \ right] = \ delta _ {\ mathbf {kk '}} ^ {3}, \ delta _ {\ lambda \ lambda'}}$

и что одновременно коммутируют операторы частицы и поля, мы получаем:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} [z (t), p_ {z} (t)] & = \ left [z (t), m {\ dot {z}} (t) \ right] + \ left [z (t), {\ frac {e} {c}} A_ {z} (t) \ right] \\ & = \ left [z (t), m {\ dot {z}} (t) \ right] \\ & = \ left ({\ frac {i \ hbar e ^ {2}} {2 \ pi ^ {2} mc ^ {3}}} \ right) \ left ({\ frac {8 \ pi } {3}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {d \ omega \, \ omega ^ {4}} {\ left (\ omega ^ {2} - \ omega _ { 0} ^ {2} \ right) ^ {2} + \ tau ^ {2} \ omega ^ {6}}} \ end {align}}}$

Для рассматриваемого дипольного осциллятора можно предположить, что скорость радиационного затухания мала по сравнению с собственной частотой колебаний, т. Е. Τω ₀ 1 . Тогда подынтегральное выражение выше резко достигает максимума при ω = ω ₀ и:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ left [z (t), p_ {z} (t) \ right] & \ приблизительно {\ frac {2i \ hbar e ^ {2}} {3 \ pi mc ^ { 3}}} \ omega _ {0} ^ {3} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x ^ {2} + \ tau ^ {2} \ omega _ { 0} ^ {6}}} \\ & = \ left ({\ frac {2i \ hbar e ^ {2} \ omega _ {0} ^ {3}} {3 \ pi mc ^ {3}}} \ вправо) \ влево ({\ frac {\ pi} {\ tau \ omega _ {0} ^ {3}}} \ right) \\ & = i \ hbar \ end {align}}}$

необходимость вакуумного поля также можно понять, сделав приближение малого затухания в

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {\ ddot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} - \ tau \ mathbf {\ overset {...} {x }} = {\ frac {e} {m}} \ mathbf {E} _ {0} (t) \\ & \ mathbf {\ ddot {x}} \ приблизительно - \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} (t) && \ mathbf {\ overset {...} {x}} \ приблизительно - \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {\ dot {x}} \ end {выровнено} }}$

а также

${\ displaystyle \ mathbf {\ ddot {x}} + \ tau \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {\ dot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ mathbf {x} \ приблизительно {\ frac {e} {m}} \ mathbf {E} _ {0} (t)}$

Без свободного поля E ₀ ( t ) в этом уравнении оператор x ( t ) экспоненциально ослаблялся бы, а коммутаторы, подобные [ z ( t ), p _z ( t )] , приближались бы к нулю при t ≫ 1/τω²
₀. Однако с включенным вакуумным полем коммутатор всегда равен iħ , как того требует унитарность, и как мы только что показали. Аналогичный результат легко получается для случая свободной частицы вместо дипольного осциллятора. ^[98]

То, что мы имеем здесь, является примером «флюктуационно-рассеянной эйфории». Вообще говоря, если система соединена с ванной, которая может забирать энергию из системы необратимым образом, тогда ванна также должна вызывать колебания. Колебания и диссипация идут рука об руку, и мы не можем иметь одно без другого. В текущем примере связь дипольного осциллятора с электромагнитным полем имеет диссипативную составляющую в виде нулевого (вакуумного) поля; учитывая существование реакции излучения, вакуумное поле также должно существовать, чтобы сохранить каноническое правило коммутации и все, что оно влечет за собой.

Спектральная плотность вакуумного поля фиксируется формой поля реакции излучения или наоборот: поскольку поле реакции излучения изменяется в зависимости от третьей производной от x , спектральная плотность энергии вакуумного поля должна быть пропорциональна третьей степени функции ω, чтобы выполнялось [ z ( t ), p _z ( t )] . В случае диссипативной силы пропорциональна х , напротив, флуктуация сила должна быть пропорциональна${\ displaystyle \ omega}$для поддержания канонического коммутационного отношения. ^[98] Эта связь между формой диссипации и спектральной плотностью флуктуации составляет суть теоремы о флуктуации-диссипации. ^[77]

Тот факт, что каноническое коммутационное соотношение для гармонического осциллятора, связанного с вакуумным полем, сохраняется, означает, что сохраняется нулевая энергия осциллятора. легко показать, что после нескольких времен затухания движение нулевой точки осциллятора фактически поддерживается управляющим полем нулевой точки. ^[99]

Квантовый хромодинамический вакуум

Вакуум КХД является состояние вакуума в квантовой хромодинамике (КХД). Это пример непертурбативного вакуумного состояния, характеризующегося ненулевыми конденсатами, такими как глюонный конденсат и кварковый конденсат в полной теории, которая включает кварки. Наличие этих конденсатов характеризует ограниченную фазу кварковой материи . С технической точки зрения, глюоны векторных калибровочных бозонов , которые опосредуют сильные взаимодействия из кварков в квантовой хромодинамике (КХД). Сами глюоны несут цветной заряд сильного взаимодействия. Это не похоже на фотон , который опосредует электромагнитное взаимодействие, но не имеет электрического заряда. Следовательно, глюоны участвуют в сильном взаимодействии в дополнение к его опосредованию, что делает КХД значительно сложнее для анализа, чем КЭД ( квантовая электродинамика ), поскольку она имеет дело с нелинейными уравнениями для характеристики таких взаимодействий.

Поле Хиггса

Потенциал для поля Хиггса, построенный как функция ϕ ⁰ и ϕ ³ . Он имеет профиль в виде мексиканской шляпы или бутылки шампанского на земле.

Стандартная модель предполагает наличие поля, называемого полем Хиггса (символ: ϕ ), которое имеет необычное свойство ненулевой амплитуды в его энергии основного состояния (нулевой точки) после перенормировки; т.е. ненулевое значение математического ожидания вакуума. Он может иметь такой эффект из-за своего необычного потенциала в форме «мексиканской шляпы», самая низкая «точка» которого не находится в его «центре». Ниже определенного чрезвычайно высокого уровня энергии существование этого ненулевого ожидания вакуума спонтанно нарушает электрослабую калибровочную симметрию, которая, в свою очередь, приводит к возникновению механизма Хиггса и запускает приобретение массы этими частицами, взаимодействующими с полем. Механизм Хиггса возникает всякий раз, когда заряженное поле имеет значение математического ожидания вакуума. Этот эффект возникает из-за того, что компоненты скалярного поля поля Хиггса «поглощаются» массивными бозонами в виде степеней свободы и связываются с фермионами через взаимодействие Юкавы, тем самым производя ожидаемые массовые члены. Среднее значение ф ⁰ в основном состоянии ( вакуумное ожидание или VEV) затем ⟨ ф ⁰ ⟩ = v/√ 2, где v = | μ |/√ λ. Измеренное значение этого параметра составляет примерно246 ГэВ / c ² . ^[100] Он имеет единицы массы и является единственным свободным параметром Стандартной модели, который не является безразмерным числом.

Механизм Хиггса - это разновидность сверхпроводимости, возникающая в вакууме. Это происходит, когда все пространство заполнено морем заряженных частиц и, таким образом, поле имеет ненулевое значение математического ожидания вакуума. Взаимодействие с вакуумной энергией, заполняющей пространство, препятствует распространению определенных сил на большие расстояния (как это происходит в сверхпроводящей среде; например, в теории Гинзбурга – Ландау ).

Энергия нулевой точки имеет множество наблюдаемых физических последствий. ^[12] Важно отметить, что энергия нулевой точки - это не просто артефакт математического формализма, который можно, например, исключить из гамильтониана путем переопределения нуля энергии или утверждения, что это константа и, следовательно, не влияет на уравнения движения Гейзенберга без последнего следствия. ^[101] Действительно, такое лечение могло создать проблему для более глубокой, пока еще не открытой теории. ^[102] Например, в общей теории относительности нуль энергии (т.е. плотность энергии вакуума) вносит вклад в космологическую постоянную того типа, который был введен Эйнштейном для получения статических решений его уравнений поля. ^[103] Нулевая плотность энергии вакуума из-за всех квантовых полей чрезвычайно велика, даже когда мы отсекаем самые большие допустимые частоты на основе правдоподобных физических аргументов. Это подразумевает, что космологическая постоянная превышает пределы, налагаемые наблюдением, примерно на 120 порядков. Эта «проблема космологической постоянной» остается одной из величайших нерешенных загадок физики. ^[104]

Эффект Казимира

Силы Казимира на параллельных пластинах

Феномен, который обычно представляется в качестве доказательства существования нулевой энергии в вакууме, - это эффект Казимира , предложенный в 1948 году голландским физиком Хендриком Казимиром , который рассмотрел квантованное электромагнитное поле между парой заземленных нейтральных металлических пластин. Энергия вакуума содержит вклады от всех длин волн, кроме тех, которые исключены расстоянием между пластинами. По мере сближения пластин исключаются волны с большей длиной волны, и энергия вакуума уменьшается. Уменьшение энергии означает, что должна присутствовать сила, выполняющая работу с пластинами при их движении.

Ранние экспериментальные испытания, начиная с 1950-х годов, дали положительные результаты, показывающие, что сила действительна, но нельзя было исключить другие внешние факторы в качестве основной причины, при этом диапазон экспериментальной ошибки иногда составлял почти 100%. ^{[105] [106] [107] [108] [109]} Все изменилось в 1997 году, когда Ламоро ^[110] окончательно показал, что сила Казимира реальна. С тех пор результаты неоднократно повторялись. ^{[111] [112] [113] [114]}

В 2009 году Munday et al. ^[115] опубликовали экспериментальное доказательство того, что (как было предсказано в 1961 году ^[116] ) сила Казимира может быть не только притягивающей, но и отталкивающей. Отталкивающие силы Казимира могут позволить квантовую левитацию объектов в жидкости и привести к новому классу переключаемых наноразмерных устройств со сверхнизким статическим трением. ^[117]

Интересным гипотетическим побочным эффектом эффекта Казимира является эффект Шарнхорста , гипотетическое явление, при котором световые сигналы проходят немного быстрее, чем c, между двумя близко расположенными проводящими пластинами. ^[118]

Баранина сдвиг

Тонкая структура уровней энергии в водороде - релятивистские поправки к модели Бора

Квантовые флуктуации электромагнитного поля имеют важные физические последствия. Помимо эффекта Казимира, они также приводят к расщеплению двух уровней энергии ² S_1/2и ² P_1/2(в терминологическом обозначении) атома водорода, что не было предсказано уравнением Дирака , согласно которому эти состояния должны иметь одинаковую энергию. Заряженные частицы могут взаимодействовать с флуктуациями квантованного вакуумного поля, приводя к небольшим сдвигам энергии ^[119], этот эффект называется лэмбовским сдвигом. ^[120] Сдвиг примерно на4,38 × 10 ⁻⁶  эВ примерно10 ⁻⁷ разности энергий уровней 1s и 2s и составляет 1058 МГц в единицах частоты. Небольшая часть этого сдвига (27 МГц ≈ 3%) возникает не из-за флуктуаций электромагнитного поля, а из-за флуктуаций электрон-позитронного поля. Создание (виртуальных) электрон-позитронных пар имеет эффект экранирования кулоновского поля и действует как диэлектрическая проницаемость вакуума. Этот эффект гораздо важнее в мюонных атомах. ^[121]

Постоянная тонкой структуры

Принимая ħ ( постоянная Планка, деленная на 2π ), c ( скорость света ) и e ² = q²
_е/4π ε ₀( константа электромагнитной связи, т. е. мера силы электромагнитной силы (где q _e - абсолютное значение заряда электрона и${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$- диэлектрическая проницаемость вакуума )) можно образовать безразмерную величину, называемую постоянной тонкой структуры :

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {e ^ {2}} {\ hbar c}} = {\ frac {q_ {e} ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar c} } \ приблизительно {\ frac {1} {137}}}$

Константа тонкой структуры - это константа связи квантовой электродинамики (КЭД), определяющая силу взаимодействия между электронами и фотонами. Оказывается, постоянная тонкой структуры на самом деле вовсе не постоянная из-за нулевых флуктуаций энергии электрон-позитронного поля. ^[122] Квантовые флуктуации, вызванные нулевой энергией, имеют эффект экранирования электрических зарядов: из-за образования (виртуальных) электрон-позитронных пар заряд частицы, измеренный вдали от частицы, намного меньше, чем заряд, измеренный при близком расстоянии к нему.

Неравенство Гейзенберга, где ħ = час/2π, а Δ _x , Δ _p - стандартные отклонения состояний положения и импульса, которые:

${\ displaystyle \ Delta _ {x} \ Delta _ {p} \ geq {\ frac {1} {2}} \ hbar}$

Это означает, что короткое расстояние подразумевает большой импульс и, следовательно, высокую энергию, т.е. частицы высокой энергии должны использоваться для исследования коротких расстояний. КЭД приходит к выводу, что постоянная тонкой структуры является возрастающей функцией энергии. Было показано, что при энергиях порядка энергии покоя бозона Z 0 , m _z c ² ≈ 90 ГэВ, что:

${\ displaystyle \ alpha \ приблизительно {\ frac {1} {129}}}$

а не низкоэнергетический α ≈ 1/137. ^{[123] [124]} Процедура перенормировки исключения бесконечностей энергии нулевой точки позволяет выбрать произвольный масштаб энергии (или расстояния) для определения α . В целом α зависит от энергетического масштаба, характерного для исследуемого процесса, а также от деталей процедуры перенормировки. Энергетическая зависимость α уже несколько лет наблюдается в прецизионных экспериментах по физике высоких энергий.

Вакуумное двойное лучепреломление