Дуга меридиана

В геодезии , A меридиан дуги измерения является расстоянием между двумя точками с той же долготе , то есть в сегменте о наличии меридиональной кривой или ее длины. Два или более таких определения в разных местах затем определяют форму опорного эллипсоида, которая наилучшим образом приближается к форме геоида . Этот процесс называется определением фигуры Земли . Самые ранние определения размера сферической Земли требовали единственной дуги. В последних определениях используются астрогеодезические измерения и методы спутниковой геодезии.для определения опорных эллипсоидов. Тем, кто интересуется точными выражениями дуги меридиана для эллипсоида WGS84, следует обратиться к подразделу, озаглавленному числовые выражения .

История измерений[ редактировать ]

Сферическая Земля [ править ]

Ранние оценки размера Земли, отражаются от Греции в 4 веке до н.э., и от ученых в халифе «s Дом Мудрости в 9 - м века. Первое реалистичное значение было вычислено александрийским ученым Эратосфеном около 240 г. до н.э. Он подсчитал, что длина меридиана составляет 252 000 стадий с погрешностью реального значения от -2,4% до + 0,8% (при условии, что значение стадиона составляет от 155 до 160 метров). ^[1] Эратосфен описал свою технику в книге « О мерах Земли» , которая не сохранилась. Похожий метод использовал Посидоний.около 150 лет, и несколько лучших результаты были вычислены в 827 по измерению класса ^{[ править ]} халиф аль-Мамун .

Эллипсоидальная Земля [ править ]

В ранней литературе термин « сплюснутый сфероид» используется для описания сферы, «раздавленной полюсами». В современной литературе вместо сфероида используется термин эллипсоид вращения , хотя уточняющие слова «революции» обычно опускаются. Эллипсоид , который не является эллипсоидом вращения называется трехосный эллипсоид. В этой статье сфероид и эллипсоид взаимозаменяемы, если не указано иное, подразумевается сжатие.

17 и 18 века [ править ]

Хотя с классической античности было известно, что Земля имеет сферическую форму , к 17 веку накапливались свидетельства того, что это не идеальная сфера. В 1672 году Жан Ричер нашел первое свидетельство того, что гравитация не постоянна над Землей (как это было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы в Кайенну , Французская Гвиана, и обнаружил, что они потеряли 2+1 ⁄ 2 минуты в день по сравнению со скоростью в Париже . ^{[2] [3]} Это указывало на то, что ускорение свободного падения на Кайенне было меньше, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали использовать в путешествиях в отдаленные части мира, и постепенно было обнаружено, что сила тяжести плавно увеличивается с увеличением широты , причем гравитационное ускорение на географических полюсах примерно на 0,5% больше,чем на экваторе .

В 1687 году Ньютон опубликовал в « Началах» как доказательство того, что Земля представляет собой сплюснутый сфероид с уплощением, равным1/230. ^[4] Это оспаривается некоторыми, но не всеми французскими учеными. Джованни Доменико Кассини и его сын Жак Кассини в период 1684–1718 продлили меридиональную дугу Жана Пикара до более длинной дуги . ^[5] Дуга была измерена по крайней мере с тремя определениями широты, поэтому они смогли вывести средние значения кривизны для северной и южной половин дуги, что позволило определить общую форму. Результаты показали, что Земля представляет собой вытянутый сфероид (с экваториальным радиусом меньше полярного). Для решения вопроса Французская академия наук (1735 г.) предложила экспедиции в Перу ( Бугер ,Луи Годен , де ла Кондамин , Антонио де Ульоа , Хорхе Хуан ) и Лапландии ( Мопертюи , Клеро , Камю , Ле Монье , Аббат Отье, Андерс Цельсий ). Экспедиция в Перу описана в статье « Французская геодезическая миссия», а экспедиция в Лапландию - в статье о долине реки Торн . Полученные измерения на экваториальных и полярных широтах подтвердили, что Земля лучше всего моделируется сплюснутым сфероидом, поддерживающим Ньютон. ^[5] К 1743 году теорема Клеро полностью вытеснила подход Ньютона.

К концу века, Деламбра была переоценивается и расширила французскую дугу от Дюнкерка до Средиземного моря ( меридиан дуги Деламбры и Méchain ). Он был разделен на пять частей четырьмя промежуточными определениями широты. Комбинируя измерения вместе с измерениями дуги Перу, были определены параметры формы эллипсоида, и расстояние между экватором и полюсом вдоль Парижского меридиана было рассчитано как5 130 762  туаза, как указано в стандартном туаз-баре в Париже. Определив это расстояние как точное10 000 000  м привело к строительству новой стандартной метровой планки в качестве0,513 0762  туаз. ^{[5] : 22}

19 век [ править ]

В XIX веке многие астрономы и геодезисты занимались детальным изучением кривизны Земли по разным дугам меридианов. В результате анализа было получено множество модельных эллипсоидов, таких как Плессис 1817, Эйри 1830, Бессель 1830 , Эверест 1830 и Кларк 1866 . ^[6] Полный список эллипсоидов приведен под эллипсоидом Земли .

Морская миля [ править ]

Исторически морская миля определялась как длина одной угловой минуты по меридиану сферической Земли. Модель эллипсоида приводит к изменению морской мили в зависимости от широты. Это было решено путем определения морской мили равной 1852 метрам. Однако для всех практических целей расстояния измеряются по шкале широт на картах. Как говорится в руководстве для дневных шкиперов Королевской яхтенной ассоциации : «1 (минута) широты = 1 морская миля», за которой следует «Для большинства практических целей расстояние измеряется по шкале широты, предполагая, что одна минута широты равна одной морской миле». миля ". ^[7]

Расчет [ править ]

Определение меридионального расстояния, то есть расстояния от экватора до точки на широте φ на эллипсоиде, является важной проблемой теории картографических проекций, в частности, поперечной проекции Меркатора . Эллипсоиды обычно задаются в терминах параметров, определенных выше, a , b , f , но в теоретической работе полезно определить дополнительные параметры, в частности, эксцентриситет , e , и третье сглаживание n . Только два из этих параметров являются независимыми, и между ними существует множество взаимосвязей:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Определение [ править ]

Меридиан радиус кривизны можно показать равным: ^{[8] [9]}

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}},}$

Длина дуги бесконечно малого элемента меридиана равна dm = M ( φ ) dφ (с φ в радианах). Следовательно, меридиональное расстояние от экватора до широты φ равно

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2})\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\varphi \,.\end{aligned}}}$

Формула расстояния проще, если записать ее в терминах параметрической широты :

${\displaystyle m(\varphi )=b\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1+e'^{2}\sin ^{2}\beta }}\,d\beta \,,}$

где tg β = (1 - f ) tg φ и e ′ ² =e ²/1 - е ².

Хотя широта обычно ограничивается диапазоном [-π/2,π/2] , все приведенные здесь формулы применимы для измерения расстояния вокруг полного эллипса меридиана (включая антимеридиан). Таким образом, диапазоны φ , β и выпрямляющей широты μ не ограничены.

Связь с эллиптическими интегралами [ править ]

Приведенный выше интеграл относится к частному случаю неполного эллиптического интеграла третьего рода . В обозначениях онлайн- справочника NIST ^[10] ( Раздел 19.2 (ii) ),

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\,\Pi (\varphi ,e^{2},e)\,.}$

Его также можно записать в терминах неполных эллиптических интегралов второго рода (см. Справочник NIST, раздел 19.6 (iv) ),

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=a\left(E(\varphi ,e)-{\frac {e^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\right)\\&=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right)\\&=bE(\beta ,ie')\,.\end{aligned}}}$

Вычисление (с произвольной точностью) эллиптических интегралов и приближений также обсуждается в справочнике NIST. Эти функции также реализованы в программах компьютерной алгебры, таких как Mathematica ^[11] и Maxima. ^[12]

Расширения серий [ править ]

Вышеупомянутый интеграл может быть выражен в виде бесконечного усеченного ряда путем разложения подынтегрального выражения в ряд Тейлора, определения итоговых интегралов почленно и выражения результата в виде тригонометрического ряда. В 1755 году Эйлер ^[13] вывел разложение в квадрате третьего эксцентриситета .

Расширения эксцентриситета ( e ) [ править ]

Деламбр в 1799 г. ^[14] вывел широко используемое разложение для e ² ,

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {b^{2}}{a}}\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}-{\tfrac {15}{32}}e^{4}-{\tfrac {525}{1024}}e^{6}-{\tfrac {2205}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}+{\tfrac {105}{1024}}e^{6}+{\tfrac {2205}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}-{\tfrac {105}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}+\cdots .\end{aligned}}}$

Рапп ^[15] дает подробный вывод этого результата. В этой статье тригонометрические термины вида sin 4 φ интерпретируются как sin (4 φ ) .

Расширения в третьем уплощении ( n ) [ править ]

Ряды со значительно более быстрой сходимостью могут быть получены путем расширения по третьему уплощению n вместо эксцентриситета. Они связаны

${\displaystyle e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.}$

В 1837 году Бесселя получены один из таких серий, ^[16] , которая была введена в более простой форме по Гельмерта , ^{[17] [18]}

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(H_{0}\varphi +H_{2}\sin 2\varphi +H_{4}\sin 4\varphi +H_{6}\sin 6\varphi +H_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

с участием

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\\H_{2}&=-{\tfrac {3}{2}}n+{\tfrac {3}{16}}n^{3}+\cdots ,&H_{6}&=-{\tfrac {35}{48}}n^{3}+\cdots ,\\H_{4}&={\tfrac {15}{16}}n^{2}-{\tfrac {15}{64}}n^{4}-\cdots ,\qquad &H_{8}&={\tfrac {315}{512}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Поскольку n меняет знак, когда a и b меняются местами, и поскольку начальный множитель1/2( a + b ) остается постоянным при этой замене, половина членов в разложениях H _{2 k} обращается в нуль.

Ряд можно выразить с помощью a или b в качестве начального множителя, написав, например,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)={\frac {a}{1+n}}=a(1-n+n^{2}-n^{3}+n^{4}-\cdots )\,,}$

и разворачивая результат в ряд по n . Даже если это приводит к более медленно сходящийся ряд, такие серии используются в спецификации для поперечной проекции Меркатора проекции по национальной геопространственной разведки агентства ^[19] и Картографического Великобритании . ^[20]

Ряды по параметрической широте [ править ]

В 1825 году Бессель ^[21] вывел разложение меридионального расстояния с точки зрения параметрической широты β в связи со своей работой по геодезическим :

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta +B_{8}\sin 8\beta +\cdots \right)\,,}$

с участием

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots =H_{0}\,,\\B_{2}&=-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{16}}n^{3}+\cdots ,&B_{6}&=-{\tfrac {1}{48}}n^{3}+\cdots ,\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{16}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B_{8}&=-{\tfrac {5}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Поскольку этот ряд обеспечивает расширение для эллиптического интеграла второго рода, его можно использовать для записи длины дуги с точки зрения географической широты как

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\varphi -B_{2}\sin 2\varphi +B_{4}\sin 4\varphi -B_{6}\sin 6\varphi +B_{8}\sin 8\varphi -\cdots -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}\right)\,.}$

Обобщенный ряд [ править ]

Вышеупомянутые серии до восьмого порядка по эксцентриситету или четвертого порядка по третьему уплощению обеспечивают точность до миллиметра. С помощью систем символьной алгебры их можно легко расширить до шестого порядка при третьем выравнивании, что обеспечивает полную точность двойной точности для наземных приложений.

Деламбр ^[14] и Бессель ^[21] написали свои серии в форме, позволяющей их обобщать до произвольного порядка. Коэффициенты в ряду Бесселя можно выразить особенно просто

${\displaystyle B_{2k}={\begin{cases}c_{0}\,,&{\text{if }}k=0\,,\\[5px]{\dfrac {c_{k}}{k}}\,,&{\text{if }}k>0\,,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(2j-3)!!\,(2j+2k-3)!!}{(2j)!!\,(2j+2k)!!}}n^{k+2j}}$

и к !! - двойной факториал , расширенный до отрицательных значений с помощью рекурсивного отношения: (−1) !! = 1 и (−3) !! = -1 .

Коэффициенты в ряду Гельмерта могут быть аналогичным образом выражены в общем виде:

${\displaystyle H_{2k}=(-1)^{k}(1-2k)(1+2k)B_{2k}\,.}$

Этот результат был выдвинут Гельмертом ^[22] и доказан Кавасе. ^[23]

Множитель (1-2 k ) (1 + 2 k ) приводит к худшей сходимости ряда по φ по сравнению с рядом по β .

Числовые выражения [ править ]

Приведенный выше тригонометрический ряд удобно оценивать с помощью суммирования Кленшоу . Этот метод позволяет избежать вычисления большинства тригонометрических функций и позволяет быстро и точно суммировать ряды. Этот метод также можно использовать для оценки разности m ( φ ₁ ) - m ( φ ₂ ) при сохранении высокой относительной точности.

Подстановка значений большой полуоси и эксцентриситета эллипсоида WGS84 дает

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\left(111\,132.952\,55\,\varphi ^{(\circ )}-16\,038.509\,\sin 2\varphi +16.833\,\sin 4\varphi -0.022\,\sin 6\varphi +0.000\,03\,\sin 8\varphi \right){\mbox{ metres}}\\&=\left(111\,132.952\,55\,\beta ^{(\circ )}-5\,346.170\,\sin 2\beta -1.122\,\sin 4\beta -0.001\,\sin 6\beta -0.5\times 10^{-6}\,\sin 8\beta \right){\mbox{ metres,}}\end{aligned}}}$

где φ ⁽ ° ⁾ =φ/1 °это φ выражается в градусах (и аналогично для р ⁽ ° ⁾ ).

На эллипсоиде точное расстояние между параллелями в точках φ ₁ и φ ₂ равно m ( φ ₁ ) - m ( φ ₂ ) . Для WGS84 приблизительное выражение для расстояния Δ m между двумя параллелями на ± 0,5 ° от окружности на широте φ дается выражением

${\displaystyle \Delta m=(111\,133-560\cos 2\varphi ){\mbox{ metres.}}}$

Четверть меридиана [ править ]

Расстояние от экватора до полюса, четверть меридиана (аналог четверти круга ), равно

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

Это было частью исторического определения метра и морской мили .

Четверть меридиана можно выразить через полный эллиптический интеграл второго рода :

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(ie').}$

где - первый и второй эксцентриситет .${\displaystyle e,e'}$

Четверть меридиана также задается следующим обобщенным рядом:

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\sum _{j=0}^{\infty }\left({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\right)^{2}n^{2j}\,,}$

(Формулу c ₀ см. Выше в разделе # Обобщенные ряды .) Этот результат был впервые получен Айвори. ^[24]

Численное выражение для четверти меридиана эллипсоида WGS84:

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}}$

Окружность полярной Земли равна четырем четвертям меридиана:

${\displaystyle C_{p}=4m_{p}}$

По периметру меридиана эллипса также можно переписать в виде ректификационной окружности периметра, С _р = 2π М _г . Следовательно, радиус выпрямляющей Земли равен:

${\displaystyle M_{r}=0.5(a+b)/c_{0}}$

Его можно оценить как 6 367 449, 146 м .

Обратная меридиональная задача для эллипсоида [ править ]

В некоторых задачах нам нужно уметь решить обратную задачу: по заданному m определить φ . Это можно решить методом Ньютона , повторяя

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,,}$

до схождения. Подходящее начальное предположение дается формулой φ ₀ = μ, где

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

это выпрямляющая широта . Обратите внимание, что нет необходимости дифференцировать ряд для m ( φ ) , поскольку вместо этого можно использовать формулу для меридионального радиуса кривизны M ( φ ) .

В качестве альтернативы, ряд Гельмерта для меридионального расстояния может быть обращен, чтобы получить ^{[25] [26]}

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8}\sin 8\mu +\cdots }$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Точно так же ряд Бесселя для m через β можно обратить, чтобы получить ^[27]

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Лежандр ^[28] показал, что расстояние по геодезической на сфероиде такое же, как расстояние по периметру эллипса. По этой причине выражение для m через β и обратное к нему, данное выше, играют ключевую роль в решении геодезической задачи с заменой m на s , расстоянием по геодезической и β, замененным на σ , длиной дуги на вспомогательная сфера. ^{[21] [29]} Необходимые ряды, расширенные до шестого порядка, даны Karney, ^[30] Eqs. (17) и (21), где ε играет роль n иτ играет роль μ .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-расчет дуг меридианов на различных геодезических опорных эллипсоидах