Радиальная базисная функция (RBF) интерполяция является передовым методом в теории приближений для построения высокого порядка точности интерполянты неструктурированных данных, возможно , в больших пространствах. Интерполянт представляет собой взвешенную сумму радиальных базисных функций . RBF-интерполяция - это метод без сетки , то есть узлы (точки в области) не обязательно должны лежать на структурированной сетке и не требуют формирования сетки . Он часто бывает спектрально точным [1] и стабильным для большого количества узлов даже в больших размерах.
Многие методы интерполяции могут использоваться в качестве теоретической основы алгоритмов аппроксимации линейных операторов , и интерполяция RBF не является исключением. RBF-интерполяция использовалась для аппроксимации дифференциальных операторов , интегральных операторов и поверхностных дифференциальных операторов . Эти алгоритмы были использованы , чтобы найти очень точные решения многих дифференциальных уравнений в том числе уравнений Навье-Стокса , [2] уравнения Кана-Хилларда , и уравнений мелкой воды . [3] [4]
Примеры
Позволять и разреши быть 15 равноотстоящими точками на интервале . Мы сформируем где является радиальной базисной функцией , и выберем такой, что ( интерполирует в выбранных точках). В матричных обозначениях это можно записать как
Выбор , гауссовский , с параметром формы, затем мы можем решить матричное уравнение для весов и построить интерполянт. Изобразив интерполирующую функцию ниже, мы видим, что она визуально одинакова везде, кроме около левой границы (пример явления Рунге ), где она все еще является очень близким приближением. Точнее максимальная погрешность примерно равна в .
Мотивация
Теорема Майрхубера – Кертиса гласит, что для любого открытого множества в с участием , а также линейно независимые функции на , существует набор точки в области такие, что матрица интерполяции
является единственным числом . [5]
Это означает, что если кто-то хочет иметь общий алгоритм интерполяции, он должен выбрать базисные функции в зависимости от точек интерполяции. В 1971 году Роллан Харди разработал метод интерполяции разрозненных данных с использованием интерполянтов вида. Это интерполяция на основе сдвинутых многоквадрических функций, которые теперь чаще записываются как, и является первым примером интерполяции радиальной базисной функции. [6] Было показано, что результирующая матрица интерполяции всегда будет невырожденной. Это не нарушает теорему Майрхубера – Кертиса, поскольку базисные функции зависят от точек интерполяции. Выбор такого радиального ядра, при котором матрица интерполяции не является сингулярной, является в точности определением радиальной базисной функции. Было показано, что любая полностью монотонная функция будет обладать этим свойством, включая гауссовские , обратные квадратичные и обратные многоквадрические функции. [7]
Настройка параметров формы
Многие радиальные базисные функции имеют параметр, который контролирует их относительную плоскостность или остроту. Этот параметр обычно обозначается символом при этом функция становится все более плоской по мере того, как . Например, Роллан Харди использовал формулудля мультиквадрика , однако в настоящее время формулавместо этого используется. Эти формулы эквивалентны с точностью до масштабного коэффициента. Этот фактор несущественен, поскольку базисные векторы имеют одинаковый диапазон, и веса интерполяции будут компенсировать. По соглашению базовая функция масштабируется так, чтобыкак видно на графиках в гауссовых функций и функций бамп .
Функция Гаусса для нескольких вариантов
График масштабированной функции выпуклости с несколькими вариантами параметров формы
Следствием этого выбора является то, что матрица интерполяции приближается к единичной матрице как приводящая к устойчивости при решении матричной системы. Результирующий интерполянт в целом будет плохо приближаться к функции, поскольку он будет близок к нулю везде, кроме точек интерполяции, где он будет резко пиковым - так называемый «интерполянт с гвоздями» (как видно на графике Направо).
На противоположной стороне спектра число обусловленности матрицы интерполяции будет расходиться до бесконечности, какчто приводит к плохому кондиционированию системы. На практике параметр формы выбирается так, чтобы матрица интерполяции находилась «на грани плохого согласования» (например, с числом обусловленности примернодля чисел с плавающей запятой двойной точности ).
Иногда при выборе параметра формы следует учитывать и другие факторы. Например, функция удара
Некоторые радиальные базисные функции, такие как полигармонические сплайны , не имеют параметров формы.
Рекомендации
- ^ Бухманн, Мартин; Нира, Дин (июнь 1993 г.). «Спектральная сходимость многоквадрической интерполяции» . Труды Эдинбургского математического общества . 36 (2): 319–333. DOI : 10.1017 / S0013091500018411 .
- ^ Флаер, Наташа; Барнетт, Грегори А .; Плетеный, Луи Дж. (2016). «Улучшение конечных разностей с помощью радиальных базисных функций: эксперименты по уравнениям Навье – Стокса» . Журнал вычислительной физики . 316 : 39–62. DOI : 10.1016 / j.jcp.2016.02.078 .
- ^ Вонг, С.М.; Hon, YC; Гольберг, Массачусетс (2002). «Радиальные базисные функции с компактным носителем для уравнений мелкой воды». Прикладная математика и вычисления . 127 (1): 79–101. DOI : 10.1016 / S0096-3003 (01) 00006-6 .
- ^ Флаер, Наташа; Райт, Грэди Б. (2009). «Метод радиальной базисной функции для уравнений мелкой воды на сфере» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 465 (2106): 1949–1976. DOI : 10.1098 / rspa.2009.0033 .
- ^ Майрхубер, Джон К. (1956). "О теореме Хаара о задачах приближения Чебычева, имеющих единственное решение". Труды Американского математического общества . 7 (4): 609–615. JSTOR 2033359 .
- ^ Харди, Роллан Л. (1971). «Мультиквадрические уравнения топографии и других нерегулярных поверхностей». Журнал геофизических исследований . 7 (8): 1905–1915. DOI : 10.1029 / JB076i008p01905 .
- ^ Fasshaur, Грег (2007). Бессеточные методы аппроксимации с помощью MATLAB . Мировое научное издательство. ISBN 978-981-270-633-1.