В теории вероятностей и математической физики , случайная матрица является матрицей -значная случайная величина , то есть, матрица , в которой некоторые или все элементы являются случайными величинами. Многие важные свойства физических систем могут быть математически представлены в виде матричных задач. Например, теплопроводность из решетки может быть вычислена из динамической матрицы взаимодействий частиц-частиц в кристаллической решетке.
В ядерной физике случайные матрицы были введены Юджином Вигнером для моделирования ядер тяжелых атомов. [1] Он постулировал, что расстояния между линиями в спектре ядра тяжелого атома должны напоминать расстояния между собственными значениями случайной матрицы и должны зависеть только от класса симметрии лежащей в основе эволюции. [2] В физике твердого тела случайные матрицы моделируют поведение больших неупорядоченных гамильтонианов в приближении среднего поля .
В квантовом хаосе гипотеза Бохигаса – Джаннони – Шмита (BGS) утверждает, что спектральная статистика квантовых систем, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение, описывается теорией случайных матриц. [3]
В квантовой оптике преобразования, описываемые случайными унитарными матрицами, имеют решающее значение для демонстрации преимущества квантовых вычислений над классическими (см., Например, модель дискретизации бозонов ). [4] Более того, такие случайные унитарные преобразования могут быть непосредственно реализованы в оптической схеме, путем сопоставления их параметров с компонентами оптической схемы (то есть с делителями луча и фазовращателями). [5]
Теории случайных матриц также нашли применение на хиральной оператора Дирака в КХД , [6] квантовой гравитации в двух измерениях, [7] мезоскопический физика , [8] спин-передачи крутящего момента , [9] дробно квантовый эффект Холла , [10 ] Локализация Андерсона , [11] квантовые точки , [12] и сверхпроводники [13]
Математическая статистика и численный анализ
В многомерной статистике случайные матрицы были введены Джоном Уишартом для статистического анализа больших выборок; [14] см. Оценку ковариационных матриц .
Были показаны важные результаты, расширяющие классические скалярные неравенства Чернова , Бернштейна и Хёффдинга на наибольшие собственные значения конечных сумм случайных эрмитовых матриц . [15] Выводятся результаты для максимальных сингулярных значений прямоугольных матриц.
В численном анализе случайные матрицы использовались со времен работы Джона фон Неймана и Германа Голдстайна [16] для описания ошибок вычислений в таких операциях, как умножение матриц . См. Также [17] [18] для получения более свежих результатов.
Теория чисел
В теории чисел распределение нулей дзета-функции Римана (и других L-функций ) моделируется распределением собственных значений некоторых случайных матриц. [19] Эта связь была впервые обнаружена Хью Монтгомери и Фрименом Дж. Дайсоном . Это связано с гипотезой Гильберта – Полиа .
Теоретическая неврология
В области теоретической нейробиологии случайные матрицы все чаще используются для моделирования сети синаптических связей между нейронами мозга. Было показано, что динамические модели нейронных сетей со случайной матрицей связности демонстрируют фазовый переход к хаосу [20], когда дисперсия синаптических весов пересекает критическое значение на пределе бесконечного размера системы. Связь статистических свойств спектра моделей случайных матриц с динамическим поведением случайно связанных нейронных сетей является предметом интенсивных исследований. [21] [22] [23] [24] [25]
Оптимальный контроль
В теории оптимального управления эволюция n переменных состояния во времени зависит в любой момент от их собственных значений и от значений k переменных управления. При линейной эволюции матрицы коэффициентов появляются в уравнении состояния (уравнении эволюции). В некоторых задачах значения параметров в этих матрицах неизвестны с уверенностью, и в этом случае в уравнении состояния присутствуют случайные матрицы, и проблема известна как проблема стохастического управления . [26] : гл. 13 [27] [28] Ключевым результатом в случае линейно-квадратичного управления со стохастическими матрицами является то, что принцип достоверности эквивалентностине применяется: хотя при отсутствии неопределенности множителя (то есть только с аддитивной неопределенностью) оптимальная политика с квадратичной функцией потерь совпадает с тем, что было бы принято, если бы неопределенность игнорировалась, это больше не выполняется при наличии случайных коэффициентов в уравнении состояния.
Гауссовские ансамбли
Наиболее изученными ансамблями случайных матриц являются ансамбли Гаусса.
Гауссов унитарный ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью
на пространстве эрмитовых матриц . Вот нормировочная константа, подобранная так, чтобы интеграл плотности был равен единице. Термин унитарное относится к тому факту, что распределение инвариантно относительно унитарного сопряжения. Гауссовский унитарный ансамбль моделирует гамильтонианы, лишенные симметрии относительно обращения времени.
Gaussian ортогональный ансамбль описывается гауссовой мерой с плотностью
на пространстве n × n вещественных симметрических матриц H = ( H ij )п я , j = 1. Его распределение инвариантно относительно ортогонального сопряжения и моделирует гамильтонианы с симметрией обращения времени.
Гауссов симплектический ансамбль описываются гауссовой мера с плотностью
на пространстве эрмитовых кватернионных матриц n × n , например симметричных квадратных матриц, составленных из кватернионов , H = ( H ij )п я , j = 1. Его распределение инвариантно относительно сопряжения симплектической группой и моделирует гамильтонианы с симметрией относительно обращения времени, но без симметрии вращения.
Гауссовы ансамбли GOE, GUE и GSE часто обозначаются их индексом Дайсона , β = 1 для GOE, β = 2 для GUE и β = 4 для GSE. Этот индекс подсчитывает количество реальных компонентов на элемент матрицы. Ансамбли , как определено здесь , имеют гауссово распределение матричных элементов со средним ⟨ H IJ ⟩ = 0, и два точечных корреляций , заданных
,
из которого следуют все высшие соотношения по теореме Иссерлиса .
Совместная плотность вероятности для собственных значений λ 1 , λ 2 , ..., λ n операторов GUE / GOE / GSE определяется выражением
где Z β , n - нормировочная константа, которую можно явно вычислить, см. интеграл Сельберга . В случае GUE ( β = 2) формула (1) описывает детерминантный точечный процесс . Собственные значения отталкиваются, поскольку совместная плотность вероятности имеет нуль ( порядка -го) для совпадающих собственных значений .
О распределении наибольшего собственного значения для матриц GOE, GUE и Wishart конечных размеров см. [29]
Распределение расстояний между уровнями
Из упорядоченной последовательности собственных значений определяют нормированные интервалы , где - средний интервал. Распределение вероятностей расстояний приблизительно определяется выражением
для ортогонального ансамбля GOE ,
для унитарного ансамбля ГУЭ , а
для симплектического ансамбля GSE .
Числовые константы таковы, что нормированы:
и средний интервал,
для .
Обобщения
Матрицы Вигнера - это случайные эрмитовы матрицы, такие что элементы
над главной диагональю расположены независимые случайные величины с нулевым средним и идентичными вторыми моментами.
Инвариантные матричные ансамбли представляют собой случайные эрмитовы матрицы с плотностью на пространстве вещественных симметричных / эрмитовых / кватернионных эрмитовых матриц, которое имеет форму, в
которой функция V называется потенциалом.
Гауссовы ансамбли - единственные частные частные случаи этих двух классов случайных матриц.
Спектральная теория случайных матриц
Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных значений при стремлении размера матрицы к бесконечности.
Глобальный режим
В глобальном режиме интересует распределение линейной статистики вида .
Эмпирическая спектральная мера
В эмпирической спектральной мере М Н из Н определяются
Обычно предел - это детерминированная мера; это частный случай самоусреднения . Интегральная функция распределения предельной мерой называется интегральной плотности состояний и обозначается Н ( λ ). Если интегральная плотность состояний дифференцируема, ее производная называется плотностью состояний и обозначается ρ ( λ ).
Предел эмпирической спектральной меры для матриц Вигнера был описан Юджином Вигнером ; см Вигнер распределения полукруга и Вигнер догадка . Что касается выборочных ковариационных матриц, теория была развита Марченко и Пастуром. [30] [31]
Предел эмпирической спектральной меры ансамблей инвариантных матриц описывается некоторым интегральным уравнением, возникающим из теории потенциала . [32]
Колебания
Для линейной статистики N f , H = n −1 Σ f ( λ j ), также интересны флуктуации около ∫ f ( λ ) dN ( λ ). Для многих классов случайных матриц центральная предельная теорема вида
известно, см. [33] [34] и др.
Местный режим
В локальном режиме нас интересуют расстояния между собственными значениями и, в более общем смысле, совместное распределение собственных значений в интервале длины порядка 1 / n . Различают совокупную статистику , относящуюся к интервалам внутри опоры ограничивающей спектральной меры, и краевую статистику , относящуюся к интервалам вблизи границы опоры.
Массовая статистика
Формально, зафиксировать в интерьере части поддержки в . Затем рассмотрим точечный процесс
где - собственные значения случайной матрицы.
Точечный процесс фиксирует статистические свойства собственных значений в окрестности . Для гауссовых ансамблей предел известен; [2] таким образом, для GUE это детерминантный точечный процесс с ядром
( синусоидальное ядро ).
Принцип универсальности постулирует, что предел as должен зависеть только от класса симметрии случайной матрицы (а не от конкретной модели случайных матриц или чего-либо еще ). Это было строго доказано для нескольких моделей случайных матриц: для ансамблей инвариантных матриц, [35] [36]
для матриц Вигнера, [37] [38]
и т. Д.
Статистика Edge
См. Раздел « Распределение Трейси – Уидома» .
Корреляционные функции
Совместная плотность вероятности собственных значений случайных эрмитовых матриц с статистическими суммами вида
куда
и является стандартной мерой Лебега на пространстве эрмитовых матриц, задается формулой
В -точечных корреляционные функции (или предельные распределения ) определяются как
которые являются кососимметричными функциями своих переменных. В частности, одноточечная корреляционная функция или плотность состояний есть
Его интеграл по борелевскому множеству дает ожидаемое количество собственных значений, содержащихся в :
Следующий результат выражает эти корреляционные функции как детерминанты матриц, сформированных путем вычисления соответствующего интегрального ядра в парах точек, появляющихся в корреляторе.
Теорема [Dyson-Мехт] Для любого , точечная корреляционной функция может быть записана в виде определителя
где - ое ядро Кристоффеля-Дарбу
ассоциированный с , записанный в терминах квазиполиномов
Матрицы Уишарта - это случайные матрицы размера n × n вида H = X X * , где X - случайная матрица размера n × m ( m ≥ n ) с независимыми элементами, а X * - сопряженная транспонированная матрица . В важном частном случае, рассмотренном Уишартом, элементы X являются одинаково распределенными гауссовскими случайными величинами (действительными или комплексными).
Предел эмпирической спектральной меры матриц Уишарта было найдено [30] с помощью Владимира Марченко и Л. Пастуром см распределение МАРЧЕНКО-Пастуром .
Случайные унитарные матрицы
Смотрите круговые ансамбли .
Неэрмитовы случайные матрицы
См. Циркулярный закон .
Путеводитель по ссылкам
Книги по теории случайных матриц: [2] [39] [40]
Обзорные статьи по теории случайных матриц: [17] [31] [41] [42] [43]
Исторические произведения: [1] [14] [16]
использованная литература
^ a b Вигнер, Э. (1955). «Характеристические векторы матриц с краями бесконечной размерности». Анналы математики . 62 (3): 548–564. DOI : 10.2307 / 1970079 . JSTOR 1970079 .
^ a b c Мехта, ML (2004). Случайные матрицы . Амстердам: Elsevier / Academic Press. ISBN 0-12-088409-7.
^ Bohigas, O .; Джаннони, MJ; Шмит, Шмит (1984). «Характеристика хаотических квантовых спектров и универсальность законов флуктуации уровней». Phys. Rev. Lett . 52 (1): 1–4. Полномочный код : 1984PhRvL..52 .... 1B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.52.1 .
^ Ааронсон, Скотт; Архипов, Алексей (2013). «Вычислительная сложность линейной оптики» . Теория вычислений . 9 : 143–252. DOI : 10.4086 / toc.2013.v009a004 .
^ Рычков VS, Borlenghi S, Jaffres H, Fert A, Waintal X (август 2009 г.). «Спиновый момент и волнистость в магнитных мультислоях: мост между теорией Вале-Ферта и квантовыми подходами». Phys. Rev. Lett . 103 (6): 066602. arXiv : 0902.4360 . Bibcode : 2009PhRvL.103f6602R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.103.066602 . PMID 19792592 . S2CID 209013 .
↑ Callaway DJE (апрель 1991 г.). «Случайные матрицы, дробная статистика и квантовый эффект Холла». Phys. Rev. B . 43 (10): 8641–8643. Bibcode : 1991PhRvB..43.8641C . DOI : 10.1103 / PhysRevB.43.8641 . PMID 9996505 .
^ Цумбюль DM, Миллер JB, Маркус CM, Campman K, Госсард AC (декабрь 2002). «Спин-орбитальная связь, антилокализация и параллельные магнитные поля в квантовых точках». Phys. Rev. Lett . 89 (27): 276803. arXiv : cond-mat / 0208436 . Bibcode : 2002PhRvL..89A6803Z . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.89.276803 . PMID 12513231 . S2CID 9344722 .
^ Bahcall SR (декабрь 1996). «Случайная матричная модель сверхпроводников в магнитном поле». Phys. Rev. Lett . 77 (26): 5276–5279. arXiv : cond-mat / 9611136 . Bibcode : 1996PhRvL..77.5276B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.77.5276 . PMID 10062760 . S2CID 206326136 .
^ а б Уишарт, Дж. (1928). «Обобщенное распределение моментов продукта в образцах». Биометрика . 20А (1–2): 32–52. DOI : 10.1093 / Biomet / 20a.1-2.32 .
^ Троппы, J. (2011). «Удобные хвостовые границы для сумм случайных матриц». Основы вычислительной математики . 12 (4): 389–434. arXiv : 1004,4389 . DOI : 10.1007 / s10208-011-9099-Z . S2CID 17735965 .
^ a b von Neumann, J .; Голдстайн, HH (1947). «Численное обращение матриц высокого порядка» . Бык. Амер. Математика. Soc . 53 (11): 1021–1099. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1947-08909-6 .
^ а б Эдельман, А .; Рао, Н.Р. (2005). «Теория случайных матриц». Acta Numerica . 14 : 233–297. Bibcode : 2005AcNum..14..233E . DOI : 10.1017 / S0962492904000236 .
^ Шен, Дж. (2001). «О сингулярных значениях гауссовских случайных матриц» . Linear Alg. Прил . 326 (1–3): 1–14. DOI : 10.1016 / S0024-3795 (00) 00322-0 .
^ Китинг, Джон (1993). «Дзета-функция Римана и квантовая хаология». Proc. Междунар. Школа физ. Энрико Ферми . CXIX : 145–185. DOI : 10.1016 / b978-0-444-81588-0.50008-0 . ISBN 9780444815880.
^ Сомполинский, H .; Crisanti, A .; Соммерс, Х. (июль 1988 г.). «Хаос в случайных нейронных сетях». Письма с физическим обзором . 61 (3): 259–262. Bibcode : 1988PhRvL..61..259S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.61.259 . PMID 10039285 .
^ Раджан, Канака; Эбботт, Л. (ноябрь 2006 г.). «Спектры собственных значений случайных матриц для нейронных сетей». Письма с физическим обзором . 97 (18): 188104. Bibcode : 2006PhRvL..97r8104R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.97.188104 . PMID 17155583 .
^ Уайнриб, Жиль; Тубуль, Джонатан (март 2013 г.). «Топологическая и динамическая сложность случайных нейронных сетей». Письма с физическим обзором . 110 (11): 118101. arXiv : 1210.5082 . Bibcode : 2013PhRvL.110k8101W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.110.118101 . PMID 25166580 . S2CID 1188555 .
^ Тимм, Марк; Вольф, Фред; Гейзель, Тео (февраль 2004 г.). «Топологические ограничения скорости сетевой синхронизации». Письма с физическим обзором . 92 (7): 074101. arXiv : cond-mat / 0306512 . Bibcode : 2004PhRvL..92g4101T . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.92.074101 . PMID 14995853 . S2CID 5765956 .
^ Мьюир, Дилан; Миссис-Флогель, Томас (2015). «Границы собственного спектра для полуслучайных матриц с модульной и пространственной структурой для нейронных сетей» (PDF) . Phys. Rev. E . 91 (4): 042808. Bibcode : 2015PhRvE..91d2808M . DOI : 10.1103 / PhysRevE.91.042808 . PMID 25974548 .
^ Чоу, Грегори П. (1976). Анализ и управление динамическими экономическими системами . Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-15616-7.
^ Турновский, Стивен (1976). «Оптимальная политика стабилизации для стохастических линейных систем: случай коррелированных мультипликативных и аддитивных возмущений». Обзор экономических исследований . 43 (1): 191–194. DOI : 10.2307 / 2296614 . JSTOR 2296741 .
^ Турновский, Стивен (1974). «Свойства устойчивости оптимальной экономической политики». Американский экономический обзор . 64 (1): 136–148. JSTOR 1814888 .
^ Chiani M (2014). «Распределение наибольшего собственного значения для реальных Wishart и гауссовских случайных матриц и простое приближение для распределения Tracy-Widom». Журнал многомерного анализа . 129 : 69–81. arXiv : 1209.3394 . DOI : 10.1016 / j.jmva.2014.04.002 . S2CID 15889291 .
^ а б . Марченко В.А.; Пастур, Лос-Анджелес (1967). «Распределение собственных значений для некоторых наборов случайных матриц». Математика СССР-Сборник . 1 (4): 457–483. Bibcode : 1967SbMat ... 1..457M . DOI : 10.1070 / SM1967v001n04ABEH001994 .
^ а б Пастур, Лос-Анджелес (1973). «Спектры случайных самосопряженных операторов». Русь. Математика. Surv . 28 (1): 1–67. Bibcode : 1973RuMaS..28 .... 1P . DOI : 10.1070 / RM1973v028n01ABEH001396 .
^ Пастур, L .; Щербина, М. (1995). «О подходе статистической механики в теории случайных матриц: интегральная плотность состояний». J. Stat. Phys . 79 (3–4): 585–611. Bibcode : 1995JSP .... 79..585D . DOI : 10.1007 / BF02184872 . S2CID 120731790 .
^ Йоханссон, К. (1998). «О флуктуациях собственных значений случайных эрмитовых матриц». Duke Math. Дж . 91 (1): 151–204. DOI : 10.1215 / S0012-7094-98-09108-6 .
^ ПАСТУР, Л. (2005). «Простой подход к глобальному режиму гауссовских ансамблей случайных матриц» . Украинская математика. Дж . 57 (6): 936–966. DOI : 10.1007 / s11253-005-0241-4 . S2CID 121531907 .
^ Пастур, L .; Щербина, М. (1997). «Универсальность локальной статистики собственных значений для класса унитарных инвариантных ансамблей случайных матриц» . Журнал статистической физики . 86 (1–2): 109–147. Bibcode : 1997JSP .... 86..109P . DOI : 10.1007 / BF02180200 . S2CID 15117770 .
^ Deift, P .; Kriecherbauer, T .; McLaughlin, KT-R .; Venakides, S .; Чжоу, X. (1997). «Асимптотика для многочленов, ортогональных относительно переменных экспоненциальных весов». Уведомления о международных математических исследованиях . 1997 (16): 759–782. DOI : 10.1155 / S1073792897000500 .
^ Erdős, L .; Péché, S .; Ramírez, JA; Schlein, B .; Яу, HT (2010). «Массовая универсальность матриц Вигнера». Сообщения по чистой и прикладной математике . 63 (7): 895–925.
^ Тао, Теренс ; Ву, Ван Х. (2010). «Случайные матрицы: универсальность локальной статистики собственных значений до края». Сообщения по математической физике . 298 (2): 549–572. arXiv : 0908.1982 . Bibcode : 2010CMaPh.298..549T . DOI : 10.1007 / s00220-010-1044-5 . S2CID 16594369 .
^ Андерсон, GW; Guionnet, A .; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19452-5.
^ Akemann, G .; Baik, J .; Ди Франческо, П. (2011). Оксфордский справочник по теории случайных матриц . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-957400-1.
^ Diaconis, Persi (2003). "Паттерны в собственных значениях: 70-я лекция Джозайи Уилларда Гиббса" . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 40 (2): 155–178. DOI : 10.1090 / S0273-0979-03-00975-3 . Руководство по ремонту 1962294 .
^ Diaconis, Persi (2005). "Что такое ... случайная матрица?" . Уведомления Американского математического общества . 52 (11): 1348–1349. ISSN 0002-9920 . Руководство по ремонту 2183871 .