Рациональное ценообразование

Эта статья, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Июнь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Рациональное ценообразование - это допущение в финансовой экономике о том, что цены на активы (и, следовательно, модели ценообразования на активы ) будут отражать безарбитражную цену актива, поскольку любое отклонение от этой цены будет «устранено арбитражем». Это предположение полезно при ценообразовании ценных бумаг с фиксированным доходом, особенно облигаций, и имеет фундаментальное значение для ценообразования производных инструментов.

Механика арбитража [ править ]

Арбитраж - это практика использования состояния дисбаланса между двумя (или, возможно, более) рынками. Если это несоответствие может быть использовано (например, после транзакционных издержек, затрат на хранение, транспортных расходов, дивидендов и т. Д.), Арбитражер может «зафиксировать» безрисковую прибыль, покупая и продавая одновременно на обоих рынках.

В целом арбитраж гарантирует соблюдение « закона одной цены »; арбитраж также уравнивает цены на активы с идентичными денежными потоками и устанавливает цену активов с известными будущими денежными потоками.

Закон одной цены [ править ]

Один и тот же актив должен торговаться по одинаковой цене на всех рынках (« закон одной цены »). Если это не так, арбитражер:

купить актив на рынке, где он имеет более низкую цену, и одновременно продать его ( короткую ) на втором рынке по более высокой цене
доставить актив покупателю и получить более высокую цену
заплатите продавцу на более дешевом рынке выручкой и положите разницу в карман.

Активы с одинаковыми денежными потоками [ править ]

Два актива с одинаковыми денежными потоками должны торговаться по одинаковой цене. Если это не так, арбитражер:

продать актив по более высокой цене ( короткая продажа ) и одновременно купить актив по более низкой цене
финансировать его покупку более дешевого актива за счет выручки от продажи дорогого актива и присваивать разницу
выполнить свои обязательства перед покупателем дорогого актива, используя денежные потоки от более дешевого актива.

Актив с известной будущей ценой [ править ]

Актив с известной будущей ценой должен сегодня торговаться по этой цене с дисконтом по безрисковой ставке .

Обратите внимание, что это условие можно рассматривать как применение вышеизложенного, где два рассматриваемых актива - это актив, который должен быть доставлен, и безрисковый актив.

(а) когда дисконтированная будущая цена выше сегодняшней цены:

Арбитражер соглашается поставить актив в будущем (т.е. продает форвард ) и одновременно покупает его сегодня на заемные деньги.
В день поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную цену.
Затем он выплачивает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между согласованной ценой и суммой погашения (т. Е. Задолженности) является арбитражной прибылью.

(b) когда дисконтированная будущая цена ниже сегодняшней цены:

Арбитражер соглашается заплатить за актив в будущем (т.е. покупает форвард ) и одновременно продает ( шорт ) базовый актив сегодня; он инвестирует (или банки) выручку.
В день поставки он обналичивает зрелую инвестицию, которая оценивается по безрисковой ставке.
Затем он принимает поставку базового актива и платит согласованную цену, используя инвестиции с истекшим сроком погашения.
Разница между стоимостью погашения и согласованной ценой и есть арбитражная прибыль.

Пункт (b) возможен только для тех, кто владеет активом, но не нуждается в нем до будущей даты. Таких сторон может быть немного, если краткосрочный спрос превышает предложение, что ведет к бэквордации .

Ценные бумаги с фиксированным доходом [ править ]

См. Также Арбитраж с фиксированным доходом ; Кредитный рейтинг облигаций .

Рациональное ценообразование - это один из подходов, используемых при ценообразовании облигаций с фиксированной процентной ставкой . Здесь каждый денежный поток может быть сопоставлен путем торговли (а) некоторой долей, кратной бескупонной облигации, соответствующей дате купона, и эквивалентной кредитоспособности (если возможно, от того же эмитента, что и оцениваемая облигация) с соответствующей срок погашения, или (б) в соответствующей полосе и ZCB. Затем, учитывая, что денежные потоки могут быть воспроизведены, цена облигации должна сегодня равняться сумме каждого из ее денежных потоков, дисконтированных по той же ставке, что и каждый ZCB (на # Активов с идентичными денежными потоками). Если бы это не было так, был бы возможен арбитраж, который вернул бы цену в соответствие с ценой, основанной на ZCB. Механика следующая.

Если цена облигации не соответствует приведенной стоимости ZCB, арбитражер может:

профинансировать ее покупку той облигации или суммы ZCB, которая была дешевле
путем короткой продажи другого
и выполнение своих обязательств по денежным потокам с использованием купонов или нулей с погашением в зависимости от обстоятельств.
тогда ее прибыль будет разницей между двумя значениями.

Формула ценообразования такова , что каждый денежный поток дисконтируется по ставке , соответствующей дате купона. Часто формула выражается как использование цен вместо ставок, поскольку цены более доступны. ${\ displaystyle P_ {0} = \ sum _ {t = 1} ^ {T} {\ frac {C_ {t}} {(1 + r_ {t}) ^ {t}}}}$ ${\ Displaystyle C_ {t} \,}$ $r_{t}\,$ $P_{0}=\sum _{t=1}^{T}C(t)\times P(t)$

Рациональное ценообразование также применимо к моделированию процентных ставок в более общем плане: кривые доходности должны быть свободными от арбитража по отношению к ценам отдельных инструментов . См. Разделы Bootstrapping (финансы) и Multi-curve framework .

Цены на деривативы [ править ]

Производное представляет собой инструмент , который позволяет при покупке и продаже одного и того же актива на двух рынках - спотовый рынок и рынок производных финансовых инструментов . Математические финансы предполагают, что любой дисбаланс между двумя рынками будет устранен арбитражем. Таким образом, в контракте с производным инструментом с правильной оценкой цена производного инструмента, цена исполнения (или справочная ставка ) и спотовая цена будут связаны таким образом, что арбитраж невозможен. См. Основную теорему о ценообразовании без арбитража .

Фьючерсы [ править ]

Во фьючерсном контракте , чтобы невозможен арбитраж, цена, уплачиваемая при поставке ( форвардная цена ), должна быть такой же, как стоимость (включая проценты) покупки и хранения актива. Другими слова, рациональная форвардная цена представляет ожидаемую величину будущего от лежащего в основе дисконтированного по безрисковой ставке (в « активе с известной в будущей-цене », как и выше); см. Спот - паритет будущего . Таким образом, для простого актива, не приносящего дивидендов, стоимость фьючерса / форварда будет определяться путем накопления приведенной стоимости на момент погашения по норме безрисковой доходности . $F(t)\,$ $S(t)\,$ $t\,$ $T\,$ $r\,$

F(t)=S(t)\times (1+r)^{(T-t)}\,

Это соотношение может быть изменено для затрат на хранение, дивидендов, дивидендной доходности и удобной доходности; см. ценообразование фьючерсных контрактов .

Любое отклонение от этого равенства допускает следующий арбитраж.

В случае, если форвардная цена выше :

Арбитражер продает фьючерсный контракт и покупает базовый актив сегодня (на спотовом рынке) на заемные деньги.
В день поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную форвардную цену.
Затем он выплачивает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между двумя суммами и составляет арбитражную прибыль.

В случае, если форвардная цена ниже :

Арбитражер покупает фьючерсный контракт и продает базовый актив сегодня (на спотовом рынке); он вкладывает выручку.
В день поставки он обналичивает зрелую инвестицию, которая оценивается по безрисковой ставке.
Затем он получает базовый актив и оплачивает согласованную форвардную цену, используя инвестиции с наступившим сроком погашения. [Если у него была короткая позиция по андерлару, он возвращает ее сейчас.]
Разница между двумя суммами и составляет арбитражную прибыль.

Свопы [ править ]

Рациональное ценообразование подкрепляет логику обмена оценки. Здесь два контрагента «свопируют» обязательства, эффективно обмениваясь потоками денежных средств, рассчитанных по условной основной сумме, а стоимость свопа представляет собой текущую стоимость (PV) обоих наборов будущих денежных потоков, «вычтенных» друг против друга. Чтобы избежать арбитража, условия своп-контракта таковы, что первоначально чистая приведенная стоимость этих будущих денежных потоков равна нулю; см. Своп (финансы) # Оценка и ценообразование . После продажи свопы также могут (должны) оцениваться с использованием рациональных цен. Приведенные ниже примеры относятся к процентным свопам. - и представляет собой чисто рациональное ценообразование, поскольку исключает кредитный риск - хотя этот принцип применим к любому типу свопа .

Оценка при инициировании [ править ]

Рассмотрим фиксированной к плавающей своп процентных ставок , когда Сторона А платит фиксированную ставку ( « свопы »), и Сторона Б платит плавающую ставку. Здесь фиксированная ставка будет такой, что приведенная стоимость будущих платежей с фиксированной ставкой Стороной A равна приведенной стоимости ожидаемых будущих платежей с плавающей ставкой (т. Е. NPV равна нулю). Если бы это было не так, арбитражер C мог бы:

Предположим , что положение с более низкой текущей стоимости платежей, а также заемные средства , равные этой текущей стоимости
Выполнять обязательства по денежному потоку по позиции за счет заемных средств и получать соответствующие платежи, которые имеют более высокую приведенную стоимость
Использовать полученные выплаты для погашения задолженности по заемным средствам
Карманная разница - где разница между текущей стоимостью кредита и текущей стоимостью притока является арбитражной прибылью.

Последующая оценка [ править ]

Плавающая часть процентного свопа может быть «разложена» на серию соглашений о форвардной процентной ставке . Здесь, поскольку своп имеет идентичные платежи в FRA, цены без арбитража должны применяться, как указано выше, т. Е. Стоимость этого участка равна стоимости соответствующих FRA. Точно так же часть свопа «фиксированное получение» может быть оценена путем сравнения с облигацией с тем же графиком выплат. (Relatedly, учитывая , что их базовых активов имеют те же денежные потоки, опционы на облигации и свопционы являются equatable.) См Своп (финансы) #using цены облигаций .

Параметры [ редактировать ]

Как и выше, если стоимость актива в будущем известна (или ожидается), это значение можно использовать для определения рациональной цены актива сегодня. Однако в опционном контракте исполнение зависит от цены базового актива, и, следовательно, платеж является неопределенным. Таким образом, модели ценообразования опционов включают логику, которая либо «фиксирует», либо «делает вывод» об этой будущей стоимости; оба подхода дают одинаковые результаты. Методы, фиксирующие будущие денежные потоки, предполагают ценообразование без арбитража , а методы, предполагающие ожидаемую стоимость, предполагают оценку без риска .

Для этого (в их простейшей, хотя и широко используемой форме) оба подхода предполагают «биномиальную модель» поведения базового инструмента , которая допускает только два состояния - вверх или вниз. Если S - текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо S вверх, либо S вниз . Здесь значение доли в активном состоянии равно S × u, а в неактивном состоянии - S × d (где u и d - множители с d <1 <u и предполагаем, что d <1 + r <u; см. модель биномиальных опционов). Затем, учитывая эти два состояния, подход «без арбитража» создает позицию, имеющую одинаковую ценность в любом из состояний - следовательно, известен денежный поток за один период и применимо арбитражное ценообразование. Подход, нейтральный к риску, выводит ожидаемую стоимость опциона из внутренних значений в двух последних узлах.

Хотя эта логика кажется далекой от формулы Блэка – Шоулза и решеточного подхода в модели биномиальных опционов , на самом деле она лежит в основе обеих моделей; см . PDE Блэка – Шоулза . Предположение о биномиальном поведении базовой цены является оправданным, поскольку количество временных шагов между сегодняшним днем (оценка) и исполнением увеличивается, а период на временной шаг, соответственно, короткий. Модель биномиальных опций допускает большое количество очень коротких временных шагов (при правильном кодировании ), в то время как модель Блэка – Шоулза фактически моделирует непрерывный процесс .

В приведенных ниже примерах в качестве базового актива используются акции, но их можно распространить на другие инструменты. Стоимость опциона пут может быть получена, как показано ниже, или может быть определена из стоимости колл с использованием паритета пут – колл .

Арбитражное бесплатное ценообразование [ править ]

Здесь будущая выплата «фиксируется» с использованием подхода «дельта-хеджирования» или « тиражирования портфеля ». Как и выше, эта выплата затем дисконтируется, и результат используется при оценке опциона сегодня.

Дельта-хеджирование [ править ]

Можно создать позицию, состоящую из Δ акций и 1 проданного колл , так что стоимость позиции будет одинаковой в состояниях S вверх и S вниз и, следовательно, известна с определенностью (см. Дельта-хеджирование ). Это определенное значение соответствует указанной выше форвардной цене ( «Актив с известной будущей ценой» ), и, как указано выше, для невозможности арбитража приведенная стоимость позиции должна быть ее ожидаемой будущей стоимостью, дисконтированной по безрисковой ставке. , т . Затем стоимость звонка определяется приравниванием этих двух факторов.

Решите относительно Δ такое, что:
значение позиции за один период = Δ × S вверх - ( S вверх - цена исполнения, 0) = Δ × S вниз - ( S вниз - цена исполнения, 0) m a x {\displaystyle max} m a x {\displaystyle max}
Найдите значение звонка, используя Δ, где:
значение позиции сегодня = значение позиции за один период ÷ (1 + r) = Δ × S current - значение вызова

Репликационный портфель [ править ]

Можно создать позицию, состоящую из Δ акций и $ B, заимствованных по безрисковой ставке, что будет производить идентичные денежные потоки по одному опциону на базовую акцию. Созданная позиция известна как «реплицирующий портфель», поскольку ее денежные потоки повторяют денежные потоки опциона. Как показано выше ( «Активы с идентичными денежными потоками» ), при отсутствии возможностей арбитража, поскольку производимые денежные потоки идентичны, цена опциона сегодня должна быть такой же, как и стоимость позиции сегодня.

Решите одновременно для Δ и B так, чтобы:
- Δ × S up - B × (1 + r) = (0, S up - цена исполнения) max {\displaystyle \max }
- Δ × S вниз - B × (1 + r) = (0, S вниз - цена исполнения) max {\displaystyle \max }
Найдите значение звонка, используя Δ и B, где:
- вызов = Δ × S ток - B

Обратите внимание, что здесь нет дисконтирования - процентная ставка появляется только в рамках строительства. Таким образом, этот подход используется вместо других, когда неясно, может ли безрисковая ставка применяться в качестве ставки дисконтирования в каждой точке принятия решения, или вместо этого потребуется надбавка к безрисковой в зависимости от штата. Лучшим примером этого может служить анализ реальных опционов ^[1], где действия руководства фактически изменяют характеристики риска рассматриваемого проекта, и, следовательно, Требуемая норма доходности может отличаться в активном и отрицательном состоянии. Здесь, в приведенных выше формулах, мы имеем: «Δ × S up - B × (1 + r up ) ...» и «Δ ×S down - B × (1 + r down ) ... ". См. Оценка реальных опционов # Технические соображения . (Другой случай, когда допущения моделирования могут отклоняться от рационального ценообразования, - это оценка опционов сотрудников на акции .)

Оценка без риска [ править ]

Здесь стоимость опциона рассчитывается с использованием предположения о нейтральности риска . Согласно этому предположению, « ожидаемое значение » (в отличие от «заблокированного» значения) дисконтируется . Ожидаемое значение рассчитывается с использованием внутренних значений из двух более поздних узлов: «Вариант вверх» и «Вариант вниз», с u и d в качестве множителей цены, как указано выше. Затем они взвешиваются по их соответствующим вероятностям: «вероятность» p восходящего движения базового актива и «вероятность» (1-p) нисходящего движения. Ожидаемое значение затем дисконтируются г , по безрисковой ставке .

Решить для p
в условиях нейтральности к риску, для невозможности арбитража по акциям, сегодняшняя цена должна представлять ее ожидаемую стоимость, дисконтированную по безрисковой ставке (т. е. цена акции - Мартингейл ):
${\begin{aligned}S&={\frac {p\times S_{u}+(1-p)\times S_{d}}{1+r}}\\&={\frac {p\times u\times S+(1-p)\times d\times S}{1+r}}\\\Rightarrow p&={\frac {(1+r)-d}{u-d}}\\\end{aligned}}$
Решите для значения вызова, используя p
для невозможности арбитража в колле сегодняшняя цена должна представлять ее ожидаемую стоимость, дисконтированную по безрисковой ставке:
${\begin{aligned}C&={\frac {p\times C_{u}+(1-p)\times C_{d}}{1+r}}\\&={\frac {p\times \max(S_{u}-k,0)+(1-p)\times \max(S_{d}-k,0)}{1+r}}\\\end{aligned}}$

Предположение о нейтральности риска [ править ]

Обратите внимание, что приведенная выше формула нейтрального риска не относится к ожидаемой или прогнозируемой доходности базового актива, а его волатильность - p, как определено, относится к нейтральной к риску мере, в отличие от фактического распределения вероятностей цен. Тем не менее, как ценообразование без арбитража, так и оценка без риска дают идентичные результаты. Фактически, можно показать, что «дельта-хеджирование» и «оценка без учета риска» используют идентичные формулы, выраженные по-разному. Учитывая эту эквивалентность, при ценообразовании производных финансовых инструментов допустимо исходить из «нейтральности риска». Более формальные отношения описываются с помощью фундаментальной теоремы о ценообразовании без арбитража .

Цена акций [ править ]

Теория арбитражного ценообразования (APT), общая теория ценообразования активов, стала влиятельной при ценообразовании акций . APT считает, что ожидаемая доходность финансового актива может быть смоделирована как линейная функция различных макроэкономических факторов, где чувствительность к изменениям каждого фактора представлена коэффициентом бета, зависящим от конкретного фактора :

E\left(r_{j}\right)=r_{f}+b_{j1}F_{1}+b_{j2}F_{2}+...+b_{jn}F_{n}+\epsilon _{j}

где

$E(r_{j})$ ожидаемая доходность рискованного актива,
$r_{f}$ является безрисковая ставка ,
$F_{k}$ макроэкономический фактор,
$b_{jk}$ чувствительность актива к фактору , $k$
и - идиосинкразический случайный шок рискованного актива со средним нулевым значением. $\epsilon _{j}$

Затем полученная с помощью модели норма прибыли будет использоваться для правильной оценки актива - цена актива должна равняться ожидаемой цене на конец периода, дисконтированной по ставке, подразумеваемой моделью. Если цена расходится, арбитраж должен вернуть ее в норму. Здесь для проведения арбитража инвестор «создает» актив с правильной оценкой ( синтетический актив), портфель с такой же чистой подверженностью каждому из макроэкономических факторов, что и актив с неверной оценкой, но с другой ожидаемой доходностью. См. Статью теории арбитражного ценообразования для получения подробной информации о построении портфеля. Таким образом, арбитражер может получить безрисковую прибыль следующим образом:

Если цена актива слишком низкая, портфель должен был бы вырасти со скоростью, предполагаемой APT, тогда как актив с неверной оценкой должен был бы подорожать больше, чем этот показатель. Следовательно, арбитражер мог:

Сегодня: короткая продажа портфель и купить недооценены-актив с доходами.
В конце периода: продайте актив с неверной оценкой, используйте выручку, чтобы выкупить портфель , и положите разницу в карман.

Если цена актива слишком высока, портфель должен вырасти в цене со скоростью, предполагаемой APT, тогда как актив с неверной оценкой будет стоить меньше, чем эта ставка. Следовательно, арбитражер мог:

Сегодня: короткая продажа актива с неверной оценкой и покупка портфеля на выручку.
В конце периода: продайте портфель , используйте выручку, чтобы выкупить актив по неверной цене, и положите разницу в карман.

Обратите внимание, что при «истинном арбитраже» инвестор фиксирует гарантированную выплату, тогда как при арбитраже APT инвестор фиксирует положительную ожидаемую выплату. Таким образом, APT предполагает «арбитраж ожиданий», то есть арбитраж со стороны инвесторов приведет цены на активы в соответствие с доходностью, ожидаемой моделью.

Модель ценообразования капитальных активов (CAPM) - более ранняя (более) влиятельная теория ценообразования активов. Несмотря на то, что CAPM основан на различных предположениях, в некотором смысле его можно рассматривать как «особый случай» APT; в частности, линия рынка ценных бумаг CAPM представляет собой однофакторную модель цены актива, где бета - это подверженность изменениям «стоимости рынка» в целом.

Ценообразование без арбитража при системном риске [ править ]

Классические методы оценки, такие как модель Блэка-Шоулза или модель Мертона, не могут учитывать системный риск контрагента, который присутствует в системах с финансовой взаимосвязью. ^[2] Более подробную информацию о нейтральной к риску, безарбитражной оценке активов и производных финансовых инструментов можно найти в статье о системном риске (см. Также оценку по системному риску ).

См. Также [ править ]

Стоимость активов § Рациональное ценообразование
Анализ условных претензий
Арбитраж с покрытым процентом
Гипотеза эффективного рынка
Справедливая стоимость
Основная теорема безарбитражного ценообразования
Человек экономический
Список тем оценки
Нет бесплатного обеда с исчезающим риском
Теория рационального выбора
Рациональность
Нейтральная к риску мера
Арбитраж волатильности
Системный риск
Моделирование кривой доходности / процентной ставки:
- Кривая доходности § Построение полной кривой доходности на основе рыночных данных
- Бутстреппинг (финансы)
- Мультикривый каркас

Ссылки [ править ]

^ См. Гл. 23, п. 5, в: Фрэнк Рейли, Кейт Браун (2011). «Инвестиционный анализ и управление портфелем». (10-е издание). Паб Юго-Западного колледжа. ISBN 0538482389
Перейти ↑ Fischer, Tom (2014). «Безарбитражное ценообразование при системном риске: учет совместного владения». Математические финансы . 24 (1): 97–124 (Дата публикации: 19 июня 2012 г.). arXiv : 1005.0768 . DOI : 10.1111 / j.1467-9965.2012.00526.x .

Внешние ссылки [ править ]

Ценообразование без арбитража

Ценообразование арбитражем , сайт "История экономической мысли"
Идея арбитражного ценообразования , Сами Мохаммед, Quantnotes
«Основная теорема» финансов ; часть II . Проф. Марк Рубинштейн , Школа бизнеса Хааса
Элементарная теория ценообразования активов , профессор KC Border California Institute of Technology
Понятие арбитража и бесплатный обед в математических финансах , профессор Вальтер Шахермайер
Никакого арбитража в непрерывном времени , профессор Тайлер Шамуэй

Риск-нейтралитет и ценообразование без арбитража

Риск-нейтральное ценообразование в дискретном времени ( PDF ), проф. Дон М. Чанс
Объяснение нейтральных к риску вероятностей . Николя Гизигер
Риск-нейтральная оценка: мягкое введение , часть II . Университет Джозефа Тама Дьюка

Применение к деривативам

Оценка опционов в биномиальной модели (в архиве ), профессор Эрнст Моуг, Политехнический институт Ренсселера
Ценообразование фьючерсов и форвардов по арбитражным аргументам , примечания
Связь между фьючерсами и спотовыми ценами , Общество инвестиционных аналитиков Южной Африки.
Иллюзии динамической репликации , Эмануэль Дерман и Нассим Талеб
Обмены и опционы , профессор Дон М. Шанс

[Reilly_&_Brown-1] См. Гл. 23, п. 5, в: Фрэнк Рейли, Кейт Браун (2011). «Инвестиционный анализ и управление портфелем». (10-е издание). Паб Юго-Западного колледжа. ISBN 0538482389

[Fischer_(2014a)-2] Перейти ↑ Fischer, Tom (2014). «Безарбитражное ценообразование при системном риске: учет совместного владения». Математические финансы . 24 (1): 97–124 (Дата публикации: 19 июня 2012 г.). arXiv : 1005.0768 . DOI : 10.1111 / j.1467-9965.2012.00526.x .